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四川省成都七中2015-2016学年高一上学期入学考试数学试卷 Word版含答案


成都七中高 2018 届高一上学期入学考试数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一.选择题(每小题5 分,共60 分)
a b b c ?

1、设a、 b、 c 是不为零的实数,那么x ?

a

?

的值有
c

/>(



A.3 种

B.4 种

C.5 种

D.6 种 )

2、已知m 2 ?? 2 m n ?? 1 3, 3 m n ?? 2 n 2 ?? 2 1, 那么2 m 2 ??1 3 m n ?? 6 n 2 ?? 4 4 的值为 ( A.45 B.55 C.66 D.77

3、已知a、 b 满足等式x ???a 2 ?? b 2 ?? 2 0 , y ???4 ( 2 b ?? a ) ,则x、 y 的大小关系是( A. x ??? y 4.如果0 ??
p ?? 1 5



B. x ??? y
??

C. x ???y

D. x ??? y )

, 那么代数式 x ?? p ?? x ??1 5 x ?? p ??1 5 在 p ???x ?? 15 的最小值是(

A.30

B.0

C. 15

D.一个与 p 有关的代数式 )

5.正整数a、 b、 c 是等腰三角形的三边长,并且a ?? b c ?? b ?? ca ?? 24 ,则这样的三角形有 ( A.1 个 6.分式
6x x ??1 2 x ??1 0 ?? 2 x ?? 2

B.2 个 可取的最小值为

C.3 个

D.4 个 ( )

A.4

B.5
a ? b

C.6
a ?? c b ?? c ?? a b ?? c

D.不存在 ,则??A B C 一定是 ( )

7.已知??A B C 的三边长分别为a、 b、 c ,且 A.等边三角形 C.底边长为a 的等腰三角形 8.若关于x 的方程 x ?? 1
x ?? x ??1
1

B.腰长为a 的等腰三角形 D.等腰直角三角形
a x ?? 2 ( x ??1)( x ?? 2 )
1 1

x ?? 2 ?

无解,求a 的值为(

)

A.-5

B.2

C. -5 或2

D. -5 或2
2

或-2

9.已知m 为实数, 且s i n ?? , c o s ??? 是关于x 的方程3 x

?? m x ?? 1 ???0

的两根, 则s i n

4

??

? cos

??

的值为 (



2

1

7

A.

9

B.

3

C.

9

D. 1

11.已知关于x 的整系数二次三项式a x
y

2

?? b x ?? c

,当x 取1,3,6,8 时,某同学算得这个二次三项式的值 ( D. )
x ?? 8 时 , y ?? 5 0

分别为1,5,25,50.经验算,只有一个是错误的,这个错误的结果是
x ?? 1 时, y ?? 1

A.

B.

x ?? 3 时 , y ?? 5

C.

x ?? 6 时 ,y ?? 2 5

12.已知0 ??

a ?? 1

, 且满足

?? a ?? 1 ? ?

2 ? ?? ?? ? a ?? ? ?? ? 30 30 ? ? ?

x ????? ? a ? 2 9 ?? ?? 1 8(??x ??表示不超过 ? ?? 30 ? ? ??

的最大整数) ,

?

则 ? 10 a ??的值等于( A.5 B.6

) C.7 D.8

二.填空题 (每小题4 分,共16 分) 13.一个正三角形 A B C 的每一个角各有一只蚂蚁,每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动,目标角是随机 选择,则蚂蚁不相撞的概率是 。 14. 如图,设??A B C 和??C D E 都是等边三角形,且?? E B D
??? 62

,则??AEB 的度数为



(14 题图)

(15 题图)

?
? 1 ( x ?? 0 ) x

15.如图, 点 A、B 为直线 y ??? x 上的两点, 过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y ??



C 、D

两点。若B D ???2 A C ,则4 O C

2

?? O D

2

的值为



16.给出下列命题: (1)一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形; (2)两组对角的内角平分线分别平行的四边形是平行四边形; (3)一组对边中点间的距离等于另一组对边长和的一半的四边形是平行四边形; (4) 两条对角线都平分四边形面积的四边形是平行四边形。 其 中真命题是 .(写出所有真命题的编号)

三.解答题(本大题6 个小题,共74 分) 17.(12 分) 设 求
2 7- 1 0 2 = a ?? b

,其中a 为正整数,b 在0 , 1 之间;

a ?? b a ?? b

的值。

18.(12 分) 红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元,经过市场调研发现,这种商品在未来40 天内的日销售量
m (件)与时间t (天)的关系如下表所示。

时间t /天 日销售量 m /件 未 来 格
1 y ??

1 94

3 90

6 84

10 76

36 24

… …

40

天 内 ,前

20

天 每天的价 y

(元 / 件 )与时间 t

( 天)的 函 数关 系 式为


4

t ?? 2 5 (1 ???t

,后 ??? 2 0 , 且 t 为 整 数 )

20

天每天的价格 y

(元 /件)与时间 t (天)的函数关系

1 y ?? - t ?? 4 0 ( 2 1 ?? t ?? 4 0 , 且t 为整数) 。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题。 2

(1) (2)

认真分析表格中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些 数据的m (件)与t (天)的关系式。 试预测未来40 天中哪一天的日销售利润最大,最大利润是多少?

(3) 在实际销售的前20 天中, 该公司决定每销售1 件商品就捐赠a 元利润( a ??4 ) 给希望工程。 公司通 过 销售记录发现, 前 20 天中, 每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t (天) 的增大而增大, 求a 的 取 值范围。

19. (12 分)

如图,点P 为 行 线,交 . 求证:

O O

外一点,过点P 作

O

的两条切线,切点分别为 A ,
O

B

.过点 A 作 PB 的平

于点C .连结PC ,交

于点E ;连结 AE ,并延长AE 交PB 于点K

P E ?? A C ?? C E ?? K B



20.(12 分) 如图, 正方形A B C D 被两条与边平行的线段E F 、 G H 形P F C H 分割成4 个小矩形,P 是EF 与G H 的交点, 若矩

的面积恰好是矩形 A G P E 面积的2 倍,试确定??H A F 的大小,并证明你的结论。

21.(12 分) 如图(1) ,抛物线y ?? a x 2 ?? b x ?? 3 经过A ( ??3 , 0 ) , B ( ??1, 0 ) 两点。 (1)求抛物线的解析式; (2) 设抛物线的顶点为M , 直线 y ?????2 x ?? 9 与 y 轴交于点C , 与直线O M 交于点D 。 现将抛物线平移,

保持顶点在直线O D 上。若平移的抛物线与射线C D (含端点C )只有一个公共点,求它的顶点横坐标的 值 或取值范围; (3)如图(2)将抛物线平移,当顶点至原点时,过Q ( 0 , 3 ) 作不平行于x 轴的直线抛物线于E 、 F 两点。

问在 y 轴的负半轴上是否存在点P , 使??PEF 说明理由。

的内心在 y 轴上?若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 请

(1)

(2)

22.

(14 分)
2

设a 是正整数,如果二次函数 y ???2 x

?? ( 2 a ?? 23 ) x ?? 10 ?? 7 a 和反比例函数y ?

11

?? 3 a

的图象有公共整

x

点(横坐标和纵坐标都是整数的点) ,求a 的值和对应的公共整点.

成都七中高2018 届高一上学期入学考试数学试题参考答案
一.选择题 1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.C 11.D 12.B

二.填空题 13.

1
14.

122?? 15. 6

16.(2),(4)

4
三.解答题 17.

? ?
??10 ??

解 .? 27 2

? 5 ? 2 ????5 ?
2

?

2 ?? 3 ??(2 ? 2 )

由 条 件 得 : a ?? 3, b ?? 2 ?? 2 a ??b ?? ? 5 ? 2 ?? 6 2 ??7 a ??b 1? 2
18.

解 .1)m?? (

?2 t?? 96. 20时, 1 ? 2 ?? 16. ( t??14)2 ?? 578.

(2)设日销售利润为W 元,当 1 ??t?? 1 W ?? (?2 t?? 96)( t?? 25 ?? 20) ?? 4 所以当 t?? 14时,W 有最大值578元。 当 21 ??t??

1 40 时, W ?(- 2 t ?? 96)(?? t ?? 40 ?? 20) ?? ( t ?? 44)2 2

因 当 ??t?? 21

40 时,W 随t 增大而减小,故当 t?? 21时,W 有最大值513

综上所述,第14 天时的销售利润最大,最大 578 元. 1 (3) W ?(- 2 t ?? 96)( t ?? 25 ?? 20 ??a ) ?? 4 对称轴为 t?? 14 ?? 2a , ? 1 ??t?? ??14 ?? 2a??
19.

1 ? 2

t?? 480 ?? 96a ) , t2 ??(14 ?? 2a

20,且t 为整数,W 随t 的增大而增大, 19.5 ??a?? 2.75,故2.75 ?? a?? 4

证明: 因为AC∥PB, 所以?KPE ???ACE . 又PA 是⊙O 的切线, 所以?KAP ???ACE . 故 KP KE KA KP ?KPE ???KAP ,于是△KPE∽△KAP,所以 ?? ,即 由切割线定理得KB2 ??KE ??KA ,

所以, KP=KB. 因为AC∥PB, 所以, △KPE∽△ACE, 于是 即PE ??AC ??CE ??KB .
20.

KP2 ??KE ??KA . PE ?? KP , 故 AC PE ?? KB AC CE CE

M

解. 设A G ??

a ,B G

?? b ,A E ??

x,E D ??

x?? y (1) ?a?? b?? y,则 ?? x ?? b y (2) ?2a
? 2a x?? x2

,

由( 1)得 a?? x ?? 将(2)代入得a2 ??(a?? x)2 ? y2 ? b2 即D H ?? F B ?? ?M A B ??

y?? b , 平方得 a2
? 2a x?? x2 ?C F2

y?? b2, ?? y2 ?? 2b

x?? b2. ?? y2 ?? 4a y2 ?? b2.
?? F H 2,?? a?? x ?? F H ?? R t △A D H, 得 A M ????B A H ? ?H A D ?? 45?? ?? A H 90?.

?? y2 ?? b2,得 a?? x ?? ?? C H2

F H.
????M A B?? ?B A H

延长 C B至 M ,使 B M ?? D H, 连接 A M ,由 R t △A B M ?H A D,?? ?M A H ?△ A H F , ?? ?M A F ?? ?H A F,?? ?H A F ??

再证△A M F

?
21.
解 .(1)y ??? x2 ??? 4x ??? 3.'

G P y ??
1 2 析式为 y ?? (x ?? h

H

(2)M(? 2,? 1),直线 O D的解析式为

x ,设平移的抛物线的解
1 ??? h ?? 2 9,解得 h ??

(i) 当抛物线经过点

C时,? C (0, 9) ,?? h2
?? 1 ?? 4

?? 1 ?? 4

145

.

?? 当

?? 1 4

145

??? h ??

145 时,平移的抛物线与射 ? ?y 程组??

线C D只有一个公共点。 1 2

?? (x ?? h)2 ?

h
,

( i)当抛物线与射线

C D只有一个公共时,由方

?? ?y ?? ?2x ??? 9 得x2 ?? (? 2h???2)x ?? h2 1 ??? h???9 2 ??? ?????? (?2h ??? 2)2 ??? 4(h2 1 ??? h???9) ?? 2 此时抛物线与射线 0,解得 h ??? 4. ??? 0.

C D的交点为(
?? 1 145 4

3, 3) ,符合题意。 ?? 1 ?? ??? h ?? 4 为y ?? 145 )

综上所述, h ??? 4 或 (3)将抛物线平移,当顶 假设存在满足题设条件

点至原点时,其解析式 的点 P (0,t), 如图,过

x2 ,设E F的解析式为

y ??? k

P作P H // x轴,分别过
??? ? Q P F ??? ? H F P,

E 、F作G H的

H.
?△ P E F 的内心在

y轴上, ?? ? G E P G P
???

??? ? E P Q

?△G E P 与△H F P 相似, ???

G E

,

P H
??? ?? xE

H F yF

x

F

??? E

y

?t ? ? ?t

k xE k xF

???3 ??t ' ???3 ??t ? xF). ?? k x - 3 ??? 0.

???2k xExF ?? (t???3)( xE
2

?y ?? 由?? ?y ?? ?? xE

x k x ???3
? xF

,得x2

??? k, xExF

??? ? 3. 0 ?? t ??? ?3

???2k (? 3) ?? (t?? 3)k? k ?? ??? P (0,? 3),使△P E F 的内心在

y轴上。

??y ??2 x 2 ??(2a ??23)x ??10 ??7a, 2 消去 y 得2 x ??(2a ??23)x ??10 ??7a = ? 22. 解 联立方程组 ?? 11 ??3a , ??y ? ? x 11??3a 3 2 ,即2 x ??(2a ??23)x ??(10 ??7 a ) x ??3a ??11 ??0 ,分解因式得 x (2x ??1) x 2 ??(a ??12)x ??11 ??3a ??0

?

?

(1)

如果两个函数的图象有公共整点,则方程(1)必有整数根,从而关于

x

的一元二次方程 (2)

x 2 ??(a ??12)x ??11 ??3a ??0
必有整数根, 所以一元二次方程 ( 2) 的判别式

???? 应该是一个完全平方数, 而

????(a ??12)2 ??4(11 ??3a) ??a 2 ??36a ??100 ??(a ??18)2 ??224 .
所以 (a ??18) 则
2

??224 应 该 是 一 个 完 全 平 方 数 , 设 (a ??18)2 ??224 ??k 2 (其中 k 为 非 负 整 数 ) ,

(a ??18)2 ??k 2 ??224 ,即(a ??18 ??k )(a ??18 ??k ) ?? 224 .
显然a ??18 ??k 与a ??18 ??k 的奇偶性相同,且a ??18 ??k ??18 ,而224 ??112 ??2 ??56 ??4 ??28 ??8 ,所 以

?a ??39, ?a ??12, ?a ??0, ?a ??18 ??k ??112, ?a ??18 ??k ??56, ?a ??18 ??k ??28, 或?? 或?? 解得?? 或?? 或?? ?? ?a ??18 ??k ??2, ?a ??18 ??k ??4, ?a ??18 ??k ??8, ?k ??55, ?k ??26, ?k ??10, ?a ??39, ?a ??12, 而a 是正整数,所以只可能?? 或?? ?k ??55, ?k ??26.

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当a ??39 时,方程(2)即x

2

??51x ??106 ??0 ,它的两根分别为 2 和??53 ,易求得两

个函数的图象 有公共整点(2,?53) 和(?53,2) . 当a ??12 时,方程(2)即x
2

??24 x ??25 ??0 ,它的两根分别为1 和??25 ,易求得两个函数

的图象有公共 整点(1,?25) 和(?25,1)

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