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数学符号表 数学符合的意思 数学符号代表的意义 数学符号用法


数学符号表
数学上,有一组常在数学表达式中出现的符号。数学工作者熟悉这些符号,不是每次使用都加以说明。所以,对于数学初学者,下面的列表给出了很 多常见的符号包括名称、读法和应用领域。另外,第三栏有一个非正式的定义,第四栏有个简单的例子。 注意,有时候不同符号有相同含义,而有些符号在不同的上下文中有不同的含义。 名称 符号 等号 读法 数学领域 定义 举例

r />=
不等号

等于 所有领域

x = y 表示 x 和 y 是相同的东西或其值相等。

1 + 1 = 2

≠ < > ? ?
加号

不等于 所有领域 严格不等号 小于,大于

x ≠ y 表示 x 和 y 不是相同的东西或其值不相等。 ≠ 2 1

x < y 表示 x 小于 y。
序理论 x > y 表示 x 大于 y。

3 < 4 5 > 4

不等号 小于等于,大于等于

x ? y 表示 x 小于或等于 y。
? y 表示 x 大于或等于 y。

序理论 x

3 ? 4;5 ? 5 5 ? 4;5 ? 5

+ ?
减号

加 算术

6 + 3 表示 6 加 3。 6 ? 3 表示 6 减 3。

6 + 3 = 9 6 ? 3 = 3

减 算术 负号 负 算术 补集 减 集合论 乘号 乘以 算术 直积 6 × 3 表示 6 乘以 3。 6 × 3 = 18 ?3 表示 3 的负数。 ?(?5) = 5

A ? B 表示包含所有属于 A 但不属于 B 的元素的
集合。

{1,2,4} ? {1,3,4}

=

{2}

×
向量积

… 和…的直积 集合论 向量积 向量代数

X × Y 表示所有第一个元素属于 X,第二个元素属 {1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} 于 Y 的有序对的集合。

u × v 表示向量 u 和 v 的向量积。

(1,2,5) × (3,4,?1) = (?22, 16, ? 2)

÷ /

除号 除以 6 ÷ 3 或 6 / 3 表示 6 除以 3 或 3 除 6。 算术 根号 …的平方根 实数 复根号 …的平方根 复数 若用极坐标表示复数 z = r exp(iφ )(满足 -π < φ ? π ),则 √z = √r exp(iφ /2)。 |x| 表示实数轴(或复平面)上 x 和 0 的距离。 |3| = 3, |-5| = |5| |i| = 1, |3+4i| = 5 表示其平方为 x 的正数。 12/4 = 3 6 ÷ 3 = 2

| |

绝对值 …的绝对值

数 阶乘

!
概率分布

…的阶乘 组合论

n! 表示连乘积 1×2×…×n。

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

~ ? →
实质蕴涵

满足分布 统计学 推出,若…则 …

X ~ D 表示随机变量 X 概率分布为 D。

X ~ N(0,1):标准正态分布

A ? B 表示 A 真则 B 也真;A 假则 B 不定。
→ 可能和 ? 一样,或者有下面将提到的函数的意 x = 2 ? x2 = 4 为真,但 x2 = 4 ? 思。 般情况下为假(因为 x 可以是 ?2)。 ? 可能和 ? 一样,或者有下面将提到的父集的意 思。

x=2 一

命题逻辑

? ? ? ? ?

实质等价 当且仅当

A ? B 表示 A 真则 B 真,A 假则 B 假。
命题逻辑 逻辑非 非,不 命题 ?A 为真当且仅当 A 为假。

x + 5 = y +2 ? x + 3 = y

?(?A) ? A 将一条斜线穿过一个符号相当于将 "?" 放在该符号 x ≠ y ? 命题逻辑 前面。 逻辑与或交运算

?(x =

y)

∧ ∨

与 命题逻辑,格理论 逻辑或或并运算

若 A 为真且 B 为真,则命题 A ∧ B 为真;否则为 n < 4 假。 若 A 或 B(或都)为真,则命题 A ∨ B 为真;若 n ? 4

∧ ∨

n >2 ? n = 3,当 n 是自然数 n ? 2 ? n ≠ 3,当 n 是自然数

或 命题逻辑,格理论 异或

两者都假则命题为假。

⊕ ?

若 A 和 B 刚好有一个为真,则命题 A ⊕ B 为真。 (?A) ⊕ A 恒为真,A ⊕ A 恒为假。 命题逻辑,布尔代数 A ? B 的意义相同。

异或

全称量词

? ?

对所有;对任意;对任一 谓词逻辑 存在量词 存在 谓词逻辑 唯一量词

? x: P(x) 表示 P(x) 对于所有 x 为真。

? n ∈ N: n2 ? n

? x: P(x) 表示存在至少一个 x 使得 P(x) 为真。? n ∈ N: n 为偶数

?! := ≡ :?
集合括号 定义

存在唯一 谓词逻辑 定义为

?! x: P(x) 表示有且仅有一个 x 使得 P(x) 为 真。

?! n ∈ N: n + 5 = 2n

x := y 或 x ≡ y 表示 x 定义为 y 的一个名字(注
意:≡ 也可表示其它意思,例如全等)。 所有领域 P :? Q 表示 P 定义为 Q 的逻辑等价。

cosh x := (1/2)(exp x + exp (?x))

A XOR B :? (A ∨ B) ∧ ?(A ∧ B)

{ , } { : }

…的集合 集合论 集合构造记号 满足…的集合

{a,b,c} 表示 a, b,c 组成的集合。 {x : P(x)} 表示所有满足 P(x) 的 x 的集合。

N = {0,1,2,…}

{n ∈ N : n2 < 20} = {0,1,2,3,4}

{x | P(x)} 和 {x : P(x)} 的意义相同。

{ | } ? {} ∈ ? ? ? ? ?

集合论

空集 空集 ? 表示没有元素的集合。 {n ∈ N : 1 < n2 < 4} = ? 集合论 {} 的意义相同。 元素归属性质 属于;不属于 所有领域 子集 …的子集

a ∈ S 表示 a 属于集合 S;a ? S 表示 a 不属于 S。

(1/2)?1 ∈ N 2?1 ? N

A ? B 表示 A 的所有元素属于 B。 A ∩ B ? A;Q ? R
集合论 A ? B 表示 A ? B 但 A ≠ B。

父集 …的父集

A ? B 表示 B 的所有元素属于 A。 A ∪ B ? B;R ? Q
集合论 A ? B 表示 A ? B 但 A ≠ B。

并集


交集

…和…的并集 集合论

A ∪ B 表示包含所有 A 和 B 的元素但不包含任何
其他元素的集合。

A ? B ? A ∪ B = B



…和…的交集 集合论

A ∩ B 表示包含所有同时属于 A 和 B 的元素的集
合。

{x ∈ R : x2 = 1} ∩ N = {1}

补集

\
函数应用

减;除去 集合论

A \ B 表示所有属于 A 但不属于 B 的元素的集合。{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

f(x)

f(x) 表示 f 在 x 的值。
集合论

f(x) := x2,则 f(3) = 32 = 9。

( )

优先组合 先执行括号内的运算。 所有领域 (8/4)/2 = 2/2 = 1;8/(4/2) = 8/2 = 4

? :X →Y
o

函数箭头 从…到… 集合论 复合函数 复合 集合论 自然数

?: X → Y 表示 ? 从集合 X 映射到集合 Y。

设 ?: Z → N 定义为 ?(x) = x2。

fog 是一个函数,使得 (fog)(x) = f(g(x))。

若 f(x) = 2x,且 g(x) = x + 3,则 (fog)(x) = 2(x + 3)。

N ?
整数

N N 表示 {1,2,3,…},另一定义参见自然数条目。 数 {|a| : a ∈ Z} = N

Z ?
有理数

Z Z 表示 {…,?3,?2,?1,0,1,2,3,…}。 数 {a : |a| ∈ N} = Z

Q

Q 数

3.14 ∈ Q Q 表示 {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}。 π ? Q

?
实数

R ?
复数

R 数 R 表示 {limn→∞ an : ? n ∈ N: an ∈ Q, 极限存 在}。

π ∈ R √(?1) ? R

C ?
无穷

C C 表示 {a + bi : a,b ∈ R}。 数

i = √(?1) ∈ C

∞ π || || ∑
求积 圆周率

无穷 数 pi 几何 范数 …的范数;…的长度 线性代数 求和 从…到…的和 算术 从…到…的积

∞ 是扩展的实数轴上大于任何实数的数;通常出现 limx→0 1/|x| = ∞ 在极限中。

π 表示圆周长和直径之比。

A = π r2 是半径为 r 的圆的面积

||x|| 是赋范线性空间元素 x 的范数。

||x+y|| ? ||x|| + ||y||

∑k=1n ak 表示 a1 + a2 + … + an.

∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

∏k=1 ak 表示 a1a2···an. 算术

n

∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360



直积 …的直积 集合论 ∏i=0nYi 表示所有 (n+1)-元组 (y0,…,yn)。 ∏n=13R = Rn

导数

'

… 撇; …的导数 微积分 不定积分 或 反导数

f '(x)函数 f 在 x 点的倒数,也就是,那里的切线斜
率。

若 f(x) = x2, 则 f '(x) = 2x

…的不定积分; …的反导数 ∫ f(x) dx 表示导数为 f 的函数.

∫x2 dx = x3/3



微积分 定积分 从…到…以…为变量的积分 微积分 梯度 ∫ab f(x) dx 表示 x-轴和 f 在 x = a 和 x = b 之 ∫0b x2 间的函数图像所夹成的带符号面积。 dx = b3/3;

?

…的(del 或 nabla 或梯度) 微积分 偏导数 …的偏导数 微积分 边界 …的边界 拓扑 次数 …的次数 多项式 垂直 垂直于

?f (x1, …, xn) 偏导数组成的向量 (df / dx1, …, 若 f (x,y,z) = 3xy + z2 则 ?f = (3y, 3x, 2z) df / dxn). 设有 f (x1, …, xn), ?f/?xi 是 f 的对于 xi 的当其他 2 若 f(x,y) = x y, 则 ?f/?x = 2xy 变量保持不变时的导数. ?{x : ||x|| ? 2} = {x : || x || = 2}

?

?M 表示 M 的边界

?f(x) 表示 f(x)的次数( 也记作 degf(x) )

x ⊥ y 表示 x 垂直于 y; 更一般的 x 正交于 y.
几何

若 l⊥m 和 m⊥n 则 l || n.

⊥ ?

底元素 底元素 格理论 蕴含 蕴含; 模型论

x = ⊥ 表示 x 是最小的元素.

?x : x ∧ ⊥ = ⊥

A ? B 表示 A 蕴含 B, 在 A 成立的每个 模型中, B
也成立.

A ? A ∨ ?A

推导

?
正则子群

从…导出 命题逻辑, 谓词逻辑

x ? y 表示 y 由 x 导出.

A → B ? ?B → ?A

?
商群

是…的正则子群 群论

N ? G 表示 N 是 G 的正则子群.

Z(G) ? G

/
同构

模 群论

G/H 表示 G 模其子群 H 的商群.

{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} / {0, b} = {{0, b}, {a, b+a}, {2a, b+2a}}


正比

同构于 群论

G ≈ H 表示 G 同构于 H

Q / {1, ?1} ≈ V, 其中 Q 是四元数群 V 是 克莱因四群.



正比于 所有领域

G

H 表示 G 正比于 H

若Q

V,则 Q=KV


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