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高中数学立体几何练习及作业


高中数学第九章立体几何练习及作业
第一课:练习:1、填空,正方体三个面所在平面 A1C1 , A1 B, BC1 分别记作 ? , ? , ? 使用适
当的符号填空(1) A1 (3) A1

? ; B1
(4) ? ?;

(2) B1 ? ;

? ; C1

?



? ; D1 ? ; A1 B1
?。

? ? A1 B1 ; ?

(5) A1 B1 ? ? BB1 ;

?;

BB1

2、根据下列语句说出有关点、线、面的关系,并作图。 (1)A ? ? , B ? ? ; (2)l ? ? , m ? ? ; (3)? ? ? ? l ; (4)P ? l , Q ? l , P ? ? , Q ? ?

作业:1、为什么照相机支架只用三只腿就够了?2、为什么有的自行车后轮旁只安装一只
撑脚?3、填空:如图 A 平面 ABC; A 平面 BCD; BD 平面 ABD; BD 平面 ABC 平面 ABC ? 平面 ACD= ; ? =BC。 4、用符号表示下列语句,并作图。 (1)点 P 在平面 ? 内,但在平面 ? 外。 (2)直线 l 在平面内,但不在平面 ? 内。 (3)直线 l 和 m 相交于点 P ; (4)平面 ? 和 ? 的交线是 l ,点 P 在 l 上。

(5)直线 l 经过平面 ? 内一点 P ,但 l 在 ? 外。

第二课:练习:1、两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是
A 2 个 B 由无数个且在一条直线上 C 一个或无数个 2、点 A 在直线 l 上, l 在平面 ? 外,用符号表示正确的是 A A? l, l ? l B D 1个

A ? l, l ? ?

C

A ? l, l ? ?

D

A ? l, A ? ?

3、若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? c, a ? b ? M , 则 A

M ?c

B

M ?c

C

M ??

D

M ??

4、三条直线相交于一点过每两条相交直线作一个平面,最少可作几个平面?最多可作几个 平面? 5、已知直线 a // b 且 l ? a ? A, l ? b ? B ,求证: a, b, l 三线共面。

作业:1、怎样用两根拉紧的细线来检验桌子的四条腿的底端是否共面?
2、选择题: (1)经过同一直线上的 3 个点的平面 A 有且只有一个 B 有且只有 3 个 C 有无数个 D 零个

(2)直线 a, b, c 两两平行,但不共面,经过其中 2 条直线的平面共有 A1个 B2个 C3个 D 6个 (3)直线 a, b, c 交于一点,经过 3 条直线的平面有 A 0 个 B 1 个 C 无数个 D 0 个或 1 个

1

(4)过不共面的 4 点中的 3 个点的平面共有 A 0 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 3、不共面的 4 个点中能否有 3 个点共线?为什么? 4、三角形、梯形是否一定是平面图形?为什么? 5、一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? 6(选作)已知三直线 a // b // c 且直线 l 与 a, b, c 分别交于 A, B, C 三点求证: a, b, c, l 共面。

第三课:练习:1、两个平面重合的条件是
A 有两个公共点 B 由无数个公共点 C 存在不共线的三个公共点 D 有一条公共直线 2、下列命题中为真命题的是 A 空间不同三点确定一平面 B 空间两两相交的三条直线确定一平面 C 两组对边相等的四边形是平面四边形 D 和同一直线都相交的三条平行直线在同一个平面内 3、在空间四点中,无三点共线是四点共面的 条件。 4、空间四点中,其中无三点共线,可确定 个平面,若将此四点两两相连,再 以所得线中点为顶点构成一个几何体,则这个几何体最多有 个面。 5、一直线和直线外不在同一直线上的三点可确定 个平面。

作业:1、一条直线与两条平行直线都相交,判断这三条直线是否在同一个平面内,并说明
理由。2、过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线,判断这三条直线是否共 面,并说明理由。3、四条线段顺次首尾连接,所得图形一定是平面图形吗?为什么? 4、已知 a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, P ? b, PQ // a, 求证: PQ ? ? 。

第四课:练习:1、空间两直线平行是指
A 无交点 B 共面且无交点 C 和同一直线垂直 D 以上都不对 2、在空间,如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边 ,则这两个角 A 相等 B 互补 C 相等或互补 D 既不相等也不互补 3、如图: AA 1 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA 1 异面的棱共有 A 3条 B 4条 C 5条 D 6条

4、设直线 a , b 分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则 a 与 b A 平行 B 相交 C 异面 D 可能相交,也可能异面。 5、一条直线与两条平行直线中的一条是异面直线,那么它与另一条的位置关系是 6、两条异面直线是指 A 空间两条没有公共点的直线 B 平面内一直线与这个平面外 的一直线 C 分别在两个平面内的两直线 D 不同在任何一个平面内的两直线
/ / / ?ABC ? ?A/ B / C / 7、 如图: 已知 AA , BB , CC 不共面, 且 AA // BB , BB // CC , 求证:
/ / / / ? ?

A B C B
/

B B B

? ?
C
/

D/

C/

E/ A
/

/
A/ A 作业 1 图 D

?P /
B/ C B

F/ E

/

A

F 作业 2 图

练习 7 图

作业:1、如图:长方体的木块的 A / C / 面上有一点 P ,过点 P 画一条直线和棱 BC 平
2

行,说明画法和理由。 2、如图:在正方体中,

AE ? A/ E / , AF ? A/ F / ,求证: EF // E / F / 。
?

3、已知直线 a 和两条异面直线 b, c 都相交,画出每两条相交直线所确定的平面,并标注字 母。4、画出三条直线,使每两条都成异面直线。 5、和两条异面直线 AB, CD 都相交的两条直线 AC, BD 一定是异面直线吗?

第五课:练习:1、若 a , b 是异面直线, b, c 是异面直线,则 a , c 的位置关系是
2、没有公共点的两直线的位置关系是 3、 下列说法中正确的是 A

a ? ?,b ? ? , 则 a , b 异面 B

b, c 异面, 则 a, c a , b 异面,

异面 C a , b 不同在平面 ? 内, 则 a , b 异面

D a , b 不同在任何一个平面内, 则 a , b 异面。 A 分别与 a , b 相

4、异面直线 a , b 分别在平面 ? 和 ? 内,若 ? ? ? ? l 则直线 l 必定

交 B 与 a , b 都不交 C 至多与 a , b 中的一条相交 D 至少与 a , b 中的一条相交 5、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与对角线 AC1 异面的棱共有 6、 a , b 是异面直线, c // a ,则 b 与 c 的位置关系是 。 条。

作业:1、什么叫两条异面直线所成的角?什么叫两条异面直线互相垂直?
2、已知长方体的长与宽都是 4 厘米,高是 2 名厘米。 (1)求 BC 与 A C , AA 与 BC 所成的角的余弦值。 (2)求 AA 与 BC , AA 与 CD , AA 与 CC 所成角的大小。 (3)异面直线 BB 与 D C 的距离。
/ / / /

/

/

/

/

/

/

/

第 六 课 : 练 习 : 1 、 如 图 : 在 正 方 体 中 , E1, F1 分 别 是 A1 B1 , C1 D1 上 的 点 , 且
B1 E1 ? D1 F1 ? A1 B1 ,求 BE1 与 DF 1 所成角的余弦值。 4

2、如图: A, B, C , D 是异面直线 AB, CD 上的点,线段 AB ? CD =4, M 为 AC 的中点, N 为 BD 的中点,MN=3,求异面直线 AB,CD 所成角的余弦值。 3、如图:在空间四边形 ABCD 中, AB ? BC ? CD ? DA ? BD ? a ,

M , N 分别是 BC, AD 的中点,求异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值。

3

作业:1、和两异面直线都垂直的直线 A 不一定存在 B 仅有一条 C 有两条 D 有无数
条 2、空间四边形 ABCD 的各边长均为 a ,且对角线 AC ? BD ? a , E , F 分别是 BC, AD 的 中点,求 EF 与 AB 所成的角 。 3、 在棱长为 a 的正方体 AC1 中, (1) 求 A1C 与 B1 B 所成的角; (2) 若 E , F 分别是 BB1 , CC1 的中点,求 AE 与 BF 所成的角的余弦值; (3)求 A1C 与 BD 的距离。

第七课:练习:1、判断(1)若 a // b ,则 a 平行于经过 b 的任何平面
(2) a // ? ,则 a 平行于 ? 内的任何直线; (3) a // ? , b // ? ? a // b (4) a // b, a // ? , b ? ? ? ? // b ; (5) a // b, b ? ? ? a // ? (6)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行; (7)过直线外一点可作无数个平面与已知直线平行。 2、平面 ? , ? , ? 两两相交, a, b, c 为三条直线,且 a // b ,那么 a 与 c , b 与 c 有什么关系, 为什么?

作业:1、如图,求证: BA/ // 面 CD / 。2、如图:已知 AB // ? , AC // BD 且 AC, BD 与 ?
分别相交于 C , D 。求证: AC ? BD 。 3、已知 a , b 异面,画平面 ? ,使 a ? ? 且 b // ? 。

4、如图: ? ? ? ? AB, P ? ? 过点 P 画一直线 l ,使 l // ? 。 A

D/ A/ A D B/ B

C C

/

B D

C

?

?

?P
A

B

?

第一题图 第二题图 第四题图 5、已知空间四边形 ABCD 中,E、F、G 分别是 AB、BC、CD 中点。求证:面 EFG//BD; 面 EFG//AC。

第八课:练习:1、若直线 m 不平行于平面 ? , 且 m ? ? ,则下列结论正确的是
A ? 内所有直线与 m 异面 B ? 内不存在与 m 平行的直线 C ? 内存在唯一的直线与 m 平行 D ? 内所有直线与 m 都相交。 2、 a , b 是两条异面直线,A 是不在 a , b 上的点,则下列结论成立的是 A 过点 A 有且只有一个平面与 a , b 都平行 B 过点 A 至少有一个平面与 a , b 都平行 C 过点 A 有无数个平面与 a , b 都平行 D 过点 A 且平行 a , b 的平面可能不存在。
4

3、两条平行线中的一条平行于一个平面,那么另一条与此平面的位置关系是 4、已知直线 l // ? ,直线 a ? ? ,则 l 与 a 必定 A 平行 B 异面 C 相交 D 无公共点 5、已知直线 a, b, c 及平面 ? ,则下列条件中使 a // b 成立的是 A

a // ? , b // ?

B

a ? c, b ? c

C

a // c, b // c

D

a // ? , b ? ?

6、三条直线 a, b, c 两两异面,它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行, 则 a 与 b 所成的角的度数为 。 7、空间四边形 ABCD 中,AC=2,BD=4,AC 与 BD 成 450 角,M,N,P,Q 分别是四边 中点,则四边形 MNPQ 的面积是 ; 8、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 是 DD1 的中点,求证:B1D//面 A1C1E。 9、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, (1)画出与 AC 平行且仅过正方体三个顶点的截面; (2)画出过 A1C1 且和 DB1 平行的截面。 10、 已知平面外的两条平行线中的一条和这个平面平行, 求证另一条直线也和这个平面平行。

作业:1、如图: ? ? ? ? CD, ? ? ? ? EF, ? ? ? ? AB, AB // ? ,求证:CD//EF。
2、如图: a // b, a ? ? ? A, 求证: b 与 ? 相交。 B a A D F b

?

?
C

?
E

?

A

第一题 第二题 3、求证:若一条直线与两相交平面平面平行,则此直线与它们的交线平行。 4、空间四边形 ABCD 中,P、Q、R 分别为 AB、AD、CD 的中点,平面 PQR 交 BC 于 S。 求证:四边形 PQRS 为平行四边形。

第九课:练习:1、 a ? ? , b // ? ,则 a 与 b 的位置关系是
A 平行 B 垂直 C 垂直相交 D 垂直异面

2、若直线 l 不垂直于平面 ? ,那么在平面 ? 内 A 不存在与 l 垂直的直线 B 只存在一条与 l 垂直的直线 C 存在在无数条直线与 l 垂直 D 以上都不对 3、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与 AD1 垂直的平面是

5

A 平面 DD1C1C B 平面 A1DB1 C 平面 A1B1C1D1 D 平面 A1DB 4、 如图: 已知 PA ? 平面 ABC , AB 是 ?O 的直径, C 是 ?O 上的任一点, 求证:PC ? BC 5、如图:已知 ? ? ? ? l , PA ? ? 于 A, PB ? ? 于 B, AQ ? l 于点 Q ,求证: BQ ? l 6、如图:已知异面直线 a, b, a // ? , b // ? , AB 是 a , b 的公垂线,求证: AB ? ? 。 P

P

A

C A 第四题
O

?
B

?
A

a

?
Q B

l

b

B 第六题

第五题

7、判断(1) l ? ? ? l ? ? ? ? ; (2) m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ? l ? ? (3) l // m, m // n, l ? ? ? n ? ? 8、已知三条共点直线两两垂直,求证:其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面。 9、求证:平面外一点与这个平面内各点连接而成的线段中,垂直于平面的线段最短。

作业:1、填空 (1) l ? ? , m ? ? ? m
l ? m, l ? n ? l ? ? ;(3)l // m, l ? ? ? m

?

(2) m ? ? , n ? ? , m 与 n



已知 l // ? , m ? ? , 求证; l ? m 。 ? 2、

3、如图:在 Rt ?ABC 中, D 是斜边 AB 的中点, AC ? 6cm, BC ? 8cm, EC ? 面 ABC ,

EC ? 12cm ,求 EA, EB, ED 。
4、将三角形硬纸板沿它的一边 BC 上的高 AD 对折成一个角度,然后将它立在桌面上,使 点 B, C, D 落在桌上,这时直线 AD 与桌面有什么关系? 5、如图: AB ? 5, BC ? AB, BD ? AB ,在 BC, BD 所在的平面内 ? 有点 E, BE ? 7 。 (1)

EB 和 AB, CD 和 AB 成多少度; (2) AE 的长是多少?
(第 3 题) E 第4题 题 B D B A 第5题 题 C E

A B D

C A

D C

第十课:练习:1、判断: l // m, m ? ? , n ? ? ? l // m
6

2、已知 A, B 两点在平面 ? 的同侧,且它们与 ? 的距离相等,求证: AB // ?

3、下列命题中,正确的是 A

a // b ? ? ? b // ? a ? ?? a // ? ? ??b ?? a ? b?
A

B

a?b? ? ? b // ? a ? ??

C

b ??? ? ? b // a a ? ??

D

4、下列条件中,能使直线 m ? ? 的是 B

m ? b, m ? c, b ? ? , c ? ?
D

m ? b, b // ?

C

m ? b ? A, b ? ?

m // b, b ? ?

5、已知 P 是三角形 ABC 所在平面外一点, PA, PB, PC 两两互相垂直, H 是 ?ABC 的垂 心,求证: PH ? 面ABC 。

作业:1、有一旗杆高 8 米,在它的顶出系两条长 10 米的两条绳子,并把它们的两个下端
固定在地面上的两点(和旗杆脚不在同一直线)如果这两点都和旗杆脚距离 6 米,那么旗杆 就和地面垂直,为什么? 2、如图:? ? ? ? AB, PC ? ? , PD ? ? , C, D 是垂足,直线 AB 和 CD 有什么关系,并证 明你的结论。 3、如图: m, n 是空间两条相交直线, l1 , l 2 是与 m, n 都垂直的两条直线,直线 l 与 l1 , l 2 都相 交,求证: ?1 ? ? 2 。 4、 M 是 ?ABC 所在平面外一点, MA ? MB ? MC , MO ? ABC 垂足为 O ,则点 O 是 ?ABC 的 心 5、如图: AB 为异面直线 a , b 的公垂线, a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? c ,求证: AB // c 。 6、在空间四边形 PABC 中, AB ? PB, AC ? PC, AE ? BC 于 E , PF ? AE 于 F 。 求证: PF ? ABC 。

l1
P C

1

l2

2 m n

l

?

A b

P

?

B D A

?

a

B

?

A

F B

C E

第 2 题图

第 3 题图

第 5 题图

第 6 题图

第十一课:练习:1、平面的一条斜线和这个平面所成角的范围是

7

(0, ] B [0, ] C [0, ) D (0, ? ) 2 2 2 2、P 为 ?ABC 所在平面外一点, 且 PA ? PB ? PC , 则 P 在平面 ABC 上的射影为 ?ABC
A 的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 3、 P 为 ?ABC 所在平面外一点,且 P 到三角形三边距离相等,则 P 在平面 ABC 上的射影 为 ?ABC 的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心

?

?

?

C 在 ? 上的射影为 C (不在 AB 4、Rt ?ABC 的斜边 AB 在平面 ? 内, 直角顶点 C 在 ? 外,
/

上) , 则 ?ABC 是
/

A 直角三角形

B 锐角三角形

C 钝角三角形

D B或C

5 、如图:直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 ? 内, AC 和 BC 与 ? 所成角分别为是

300 ,450 , CD 是斜边 AB 上的高,求 CD 与平面 ? 所成的角。
6、 (1)直线 l1 , l 2 和平面 ? 所成角相等,能否有 l1 // l 2 ? (2)如图: AB ? 2a, AC ? ? , BD ? ? , C ? ? , D ? ? , CD ? a , 那么直线 AB 与 ? 所成角是 多少 7(选做) 、正方体 AC1 , E 是 CC1 的中点,求 BE 与平面 B1 BD 所成角的余弦值。 A C

?
A 第 5 题图 D B

B C

?

D

第 6(2)题图 及 斜 线 段

作业:1、求证:两平行线与同一平面所成的角相等。 2 、 从 平 面 外 一 点 D 向 平 面 引 垂 线 段 DA

DB, DC, DA ? a, ?BDA ? ?CDA ? 600 , ?BDC ? 900 ,求 BC 的长。
3、正方体 AC1 的棱长为 a ,求 BC1 与平面 ACC1 A1 所成角的大小。

第十二课:练习:1、正方体 AC1 中,对角线 AC1 与面对角线 BD 垂直吗?
2、如图:已知点 O 是 ?ABC 的三条高的交点, PO ? 面 ABC ,连 A, O 并延长 AO 与 BC 相交,求证: PA ? BC 。 3、 在图形 V ? ABC 中, 求证:AB ? CD, AC ? BC VO ? ABC, O ? CD,VA ? VB, AD ? BD 。 4 、 P 是 ?ABC 所在平面外一点, P 到 ?ABC 三边的距离相等, PO ? ? 于点 O , O 在 ?ABC 内,则 O 是 ?ABC 的 A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心

8

V P A O C A D O C

B B B B 第 2 题图 第 3 题图 B B 作业:1、从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜线和这个角两边的夹角 B 相等,求证:斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线。 2、正方形 ABCD 的边长为 12, PA ? 面 ABCD, PA ? 12 ,则 P 到对角线 BD 的距离为 A 12 3 B

12 2

C

6 3

D

6 6

3、如图: A 是平面 BCD 外一点, AB ? CD, AC ? BD ,求证: AD ? BC 4、如图:正方体 AC1 中, (1)求证: A1C ? B1 D1 (2)求证: A1C ? 面 AB1 D1

5、 (定理)如图: AB 与平面 ? 所成的角为 ? , AC 在平面 ? 内, AC 和 AB 在 ? 内的 射影 AB1 所成的角为 ? ,设 ?BAC ? ? ,求证: cos? ? cos? ? cos ? 。 C1 B

A A1 B C 第 3 题图 D A

D1 D B1

C

B 第 4 题图

?

B1 C

A

第 5 题图

第十三课:练习:1、判断: (1) m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ?
(2) ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n (4) ? 内任意一直线都平行于 ? ? ? // ? (5)一平面内两相交直线分别平行于另一平面内两相交直线 ? 两平面平行 2、求证:夹在两平行平面间的平行线段相等(它的逆命题成立吗?) 3、与两个平面的交线平行的直线和这两个面的位置关系是 A 都平行 B 都相交 C 在两平面内 D 至少与其中一个平面平行 4、如果两个平面分别经过两平行线中的一条那么这两个平面 A 平行 B 相交 C 重合 D 平行或相交 5、已知平面 ? 与 ? 不重合,则 ? // ? 的一个充分条件是
9

(3) ? // ? , l ? ? ? l // ?

A C

m ? ? , n ? ? , m // n m // ? , n // ? , m // n

B D

m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? m ? ? , n ? ? , n // m

6、下列命题: (1)平行于同一直线的两个平面平行; (2)垂直于同一直线的两个平面平行; (3)平行于同一平面的两平面平行; (4)与一直线成等角的两个平面平行。其中正确的命 题是 。 7、已知 a , b 是两异面直线,平面 ? 过 a 且与 b 平行,平面 ? 过 b 且与 a 平行求证:? // ? 。 8、 在正方体 AC1 中, 求证: 面 MNP // 面 A1 BD 。 M , N , P 分别是棱 CC1 , B1C1 , C1 D1 的中点,

作业:1、如图:在图形 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?ABB1 ? ?A1 B1 B ? ?CBB1 ? ?C1 B1 B ? 900 ,
那么平面 AC1 内的直线 AC 和 A1C1 有什么关系,为什么?
/ / / 2、 (1)如图: A, B, C 为不在同一直线上的三点, AA // BB // CC ,求证:面 ABC ? 面 ? ?

A/ B / C / 。 (2)如图:直线 AA 1 , BB 1 , CC1 交于点 O , AO ? A 1O, BO ? B1O, CO ? C1O ;
求证:面 ABC // 面A1 B1C1 3、求证:经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。 C1 C1 A1 B1 C A/ C/ B/ A1 O B1

1
B A C 第 2(2)题图

1

A 第 1 题图

B A

1

B 第 2(1)题图

第十四课:练习:1、 ? , ? 是不重合的两个平面,则下列条件中,可推出 ? // ? 的是
A

? , ? 都与直线 l 成等角

B

? 内有不公线的三点到 ? 的距离相等

C l , m 是 ? 内的两条直线且 l // ? , m // ?

D l , m 是异面直线且 l // ? , m // ? , l // ? , m // ?

2、若平面 ? // ? ,直线 a ? ? ,点 B ? ? ,则在 ? 内过点 B 的所有直线中 A 不一定存在与 a 平行的直线 B 只有两条与 a 平行的直线 C 存在无数条与 a 平行的直线 D 只有一条与 a 平行的直线 3、命题: (1)与三角形两边平行的两个平面平行于这个三角形的第三边; (2)与三角形两
10

边垂直的直线垂直于第三边 ; (3)与三角形三个顶点等距离的平面平行于这个三角形所在 的平面。其中假命题的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3 个

b // ? 4、 设 a , b 是两条互不垂直的异面直线, 过 a , b 分别作平面 ? , ? , 对于下列 4 种情况 (1)
(2) b ? ? ; (3) ? // ? ; (3) a ? ? 可能的情况有 A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种

0 5、夹在两个平行平面 ? , ? 之间的线段 AB ? 8 ,且 AB 与 ? 成 45 角,则 ? 与 ? 之间的距

离为 6、 设平面 ? // 平面 ? ,A, C ? ? , B, D ? ? , 直线 AB ? CD ? S , 若 AS ? 18, BS ? 9, CD ? 34 则 CS ? ;

7 、如图:已知平面 ? , ? 外一点 O ,三条射线 OA, OB, OC 分别交 ? 于 A, B, C ,交 ? 于 (1)求证: ?ABC ~ ?A1 B1C1 ; (2)若 OA ? a, AA1 ? b, B1C1 ? c ,求 BC 的长。 A1 , B1 , C1 。 8、如图:直线 PQ 分别交两平行平面 ? , ? 于两点 A, B ,直线 PD 分别交平面 ? , ? 于两点

C , D , 直 线 QF 分 别 交 于 平 面 ? , ? 于 两 点 F , E 。 若 PA ? 9, AB ? 12, QB ? 16 且

S ?ACF ? 72, 求 S ?BDE 。
O B1 P

A1

C1

?

A F B C

?

?
D

B A C

?

E

Q 第 7 题图 第 8 题图 作业:1、一条直线和两个平行平面相交,求证:它和两平面所成角相等。 2、两平行平面之间的距离为 12,一条直线和它们相交成 60 角,求这条直线上夹在这两平 行平面间的线段长。 3、如图: a , b 是异面直线, a ? ? , b // ? , b ? ? , a // ? ,求证: ? // ? 。
0

? // ? // ? , 直线 a 和 b 分别交 ? , ? , ? 于点 A, B, C 和点 D, E, F , 求证: 4、 如图:

AB DE ? 。 BC EF

11

第 3 题图

第 4 题图

第十五课:练习:1、如图:二面角 ? ? l ? ? 的大小为 300 , P ? ? ,点 P 到 ? 的距离
为 h ,求点 P 到 l 的距离。

?P

?
?

l
2、正方体的对角面 ABC1D1 与正方体的各面所成的二面角分别是多少度?3、二面角指的是 A 两个面相交所成的角 B 经过同一直线的两个面组成的图形 C 从一条直线出发的两 个半平面组成的图形 D 两个相交平面所夹的不大于 90 的角 4、已知 ?ABC 中, AB ? 2, BC ? 4, ?ABC ? 450 , BC 在平面 ? 内, ?ABC 所在平面与面
0

? 成 300 角,则 ?ABC 在平面内 ? 的射影面积可能是 A

6 B 3 6 C 2 6 D 6 2

5、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角是锐角 ? , ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的 距离为 4,那么 tan ? 的值等于

A

3 4
0

B

3 5

C

3 7 7

D

7 3

6、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 60 , P ? ? ,若 P 到平面 ? 的距离为 3 ,则 P 点在

? 上的射影 P1 到平面 ? 的距离为



7、自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系 A 相等 B 互补 C 互余 D 无法确定 8 、如图: ?AOB ? 90 ,过点 O 引 ?AOB 所在平面的斜线 OC, OC 与 OA, OB 分别成
0

450 ,600 角,求二面角 A ? OC ? B 的平面角的余弦值。
9、如图:在正方体中,求二面角 B ? A1C1 ? B1 的平面角的正切值。

12

10、如图:在 60 的二面角 ? ? l ? ? 内有一点 P ,它到面 ? , ? 的距离分别为 3 和 5,求点
0

P 到棱 l 的距离。

?
D1 C B O A A1 D B1 H C1 O C P

G

? C A B C C 第8题 第9题 第 10 题 C 作业: 1、 (1) 如图: 立体图形 V ? ABC 的四个面是全等的正三角形, 画出二面角 V ? AB ? C 的平面角,并求大小。 (2)立体图形中 V ? ABCD ,底面是正方形 ABCD ,其它四个侧面都是全等的正三角形, 画出二面角 V ? AB ? C 的平面角并求大小。
2、在一个斜坡上,有一条与坡脚的水平线成 45 角的直道,沿着条道行走到 40 米时,人升 高 14.14 米,求坡面的倾斜度(即坡面与水平面所成的二面角) 。 3、如图:要把正方体铁块加工成一个 V 形铁块,使 V 形面成直二面角,上口宽 40 mm , 求 切削深度。 4、 已知二面角 ? ? l ? ? 是 450, 点 P 在半平面 ? 内, 点 P 到半平面 ? 的距离是 h, 求点 P 到 棱 l 的距离。
0

V C A B 第 1(1)图 D

V

A

C

B 第 1(2)题 第3题

第 十 六 课 : 练 习 : 1 、 如 图 : 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , DA ? 平 面 ABC ,
(1) EF ? DC ; (2)面 DBC ? 面AEF ?ABC ? 900 , AE ? CD, AF ? BD ,求证:

S 是 ?ABC 所在平面外一点, 2、 如图: SA ? SB ? SC, ?ASC ? 90 , ?ASB ? ?BSC ? 60
0

0

求证:平面 ASC ? 平面 ABC 。 3、 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, E , F 分别是 AB,PD 的中点,二面角 P ? CD ? B 为

450 , 求证:平面 PEC ? 面 PCD 。
13

D E S

P F

F A

C

A

C E B B

A

D C

B

作业:1、自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线,求证:它们所成的角与这个
二面角的平面角互补。 2、一张菱形硬纸板 ABCD 的中心是点 O ,沿它的一条对角线对折,使 BO ? DO, 这时二
0 面角 B ? AC ? D 是多少度?要使二面角 B ? AC ? D 为 60 , 点 B 和 D 间的距离应是线段

BO 的几倍?
3、求证: (1)如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。 (2)如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。 4(定理) 、已知 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,求证: l ? ? 5、 (定理) (1)求证:如果三条直线共点两两互相垂直,那么它们中每两条直线确定的平 面也两两互相垂直。 (2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

第十七课:练习:1、如图: ?ABC 的边 BC 在平面 ? 内,顶点 A ? ? ,设 ?ABC 的
面积为 S , 它在平面 ? 内射影的面积为 S , 且平面 ? 与 ?ABC 所在平面所成的二面角为 ?
/

(0 ? ? ? ) ,求证: S ? S cos? (求二面角大小的定理-条件是一个面是另一个面的射影)
/

? 2

2、如图:矩形 ABCD 中, AB ? BC ,沿 BD 将 ?ABD 折起后,使点 A 在平面 BCD 上的 射影恰好是 BC 的中点 E ,求二面角 A ? BD ? C 的大小。 3、已知正方体 AC1 中, M 是 AA 1 与底面 ABCD 所成的二面角的平 1 的中点,求平面 MDB 面角的正切值。 第 1 题图 A B C A/ A C C BC C D 第 2 题图 A C D C C C C

?
B C E

?

作业:1、求证:如果平面 ?

C C C C C l 都垂直于平面 ? ,那么 l // ? 。 和不在这个平面内的直线 C C C
14

2、判断: (1) ? ? ? , ? ? ? ? ? // ? ; (2) ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ; (3) ? // ?1 , ? // ?1 , ? ? ? ? ?1 ? ?1 。 3 、 ? ? ? , ? ? ? ? l , A ? ? , B ? ? , AB ? a, AB 与 ? , ? 所成的角分别是 ?1 和 ?2 ,求点 (定理) A, B 在 l 上的射影 A / , B / 间的距离。 4、在立体图形中, ?VAB ? ?VAC ? ?ABC ? 900 , 求证:面 VAB ? 面VBC 。

?
V A B/ B A/ 第三题图

?
C

B A 第四题图

l

第十八课:练习:1、判断(1) a , b 是异面, b, c 异面 ? a, c 异面;
(2)在一个平面内,经过一条直线外一点有一条直线和这条直线垂直 (空间呢?) (3)在一个平面内,经过一条直线外一点有一条直线和这条直线平行(空间呢?) 2、下列命题正确的是 A

a ? b, a ? c ? b // c

B

a // b ? ??b?c a ? c?

C

a // b, a 与 c 相交 ? b ? c ? ?

D 一条直线至多与两条异面直线中的一条相交 。 A

3、 a , b 异面, a ? ? , b ? ? , ? ? ? ? l , 则 B

a , b 与 l 分别相交
D B

l 与 a , b 都不交

C

l 至多与 a , b 中一条交
A D

l 至少与 a , b 中一条交

4、 l1 // l 2 充分条件是 C

l1 ? ? , l 2 ? ? l2 ? ? , l1 // ?

l1 // ? , l 2 // ?

l1 , l 2 与 ? 成等角

5、 l // ? , l ? ? , ? // ? ,求证: ? ? ? 6、 AC ? ? , AC ? l, C ? l, BD ? ? , BD ? l, D ? l, AC ? 2, BD ? 4, AB ? 17, CD ? 2 , 求 ? ? l ? ? 大小。

作业:1、判断: (1) l1 ? l 2 ? l3 ? P ? l1 , l 2 , l3 共面; (2) l1 // l 2 // l3 ? l1 , l 2 , l3 共面;
(3) l1 ? l 2 ? P, l 2 ? l3 ? Q, l1 ? l3 ? S ( P, Q, S 是不同三点) ? P, Q, S 共面;
15

2、求证: (1)两两相交且不共点的四条直线共面; (2)若两条直线分别和两条平行直线都相交则这四条直线共面。 3、如图: ? ? ? ? m, n // ? , n // ? ,求证: m // n 4、 如图:?ABC 中,?C 是钝角, 平面 ABC 外有一点 P, PC ? 24, 点 P 到直线 AC, BC 的 距离 PD 和 PE 都等于 6 10 ,求: (1)点 P 到面 ABC 的距离; (2) PC 与面 ABC 所成的 角。 5、求证:经过一点且和一条已知直线垂直的所有直线都在同一平面内。 6、已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 1200, A ? ? , B ? ? ,点 A 和 B 到棱 l 的距离分别为 2 和 4,且 AB ? 10, 求直线 AB 和棱 l 所成角,以及直线 AB 和平面 ? 所成角。

n

?
?
m
第 3 题图

P B EC C D A

第 4 题图

7、l 与面 ? 所成的角为 ? ,l ? ? ? O ,面 ? 内过点 O 的直线 m 与 l 所成角为 ? 、 与 l 在? 上 的射影所成的角为 ? ,则 cos? ? cos? ? cos ? 。 8、已知 ? ? ? , ? ? ? ? l , n ? ? ,则 n 在面 ? 上的射影在 l 上。

16


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