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坐标系与参数方程知识整理


坐标系与参数方程
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求: 1.坐标系 ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图 形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2.参数方程 ① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结 1.平面直角坐标系中的伸缩变换:设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

?:?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下,点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩 ? y ? ? ? y , ( ? ? 0 ). ?

变换,简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一 个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系 M(ρ , θ )
ρ

O

θ

x

3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐 标,记为 M ( ? ,? ) . ★一般地,不做特殊说明,我们认为 ρ ≥0, ? 可取任何值 ★极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标

( ? ,? ) 表示的点也是唯一确

定的。

5. 极坐标与直角坐标的互化:

y ? ? sin?,x ? ? cos? , y ? 2 ? x 2 ? y 2,tan? ? ( x ? 0) x

6.圆的极坐标方程 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, 在极坐标系中,以 C ( a, 7.直线的极坐标方程 在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 8.参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ?

a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每 ? y ? g (t ),

一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上, 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.各圆锥曲线及直线的参数方程 ①圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

②椭圆

? x ? acos? , x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . 2 a b ? y ? bsin?.

★规定 ? 的范围是 ? ? [0, 2? ) ★椭圆上任意一点的坐标可以设为 (a cos ? , b sin ? ) ,这是求解椭圆相关问题的重要方法 ③双曲线

? x ? asec? , x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . 2 a b ? y ? b tan ?.

★规定 ? 的范围是 ? ? [0, 2? ) ,且 ? ?

?

3 ,? ? ? 2 2



1 ? sec ? ) cos ?

★双曲线上任意一点的坐标可以设为 (a sec ? , b tan ? ) ,这是求解椭圆相关问题的重要方法

? x ? 2pt 2 , ④抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ? (t为参数) . ? y ? 2pt.
2

★几何意义:参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 t ? ⑤经过点 M 0 ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

1 tan ?

? x ? x0 ? tcos? , ( t 为参数). ? y ? y0 ? tsin? .

★几何意义:直线上的动点 M 与定点 M 0 的距离,等于参数 t 的绝对值 ∣MM ∣ ∣∣ t 0 ?


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