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高二数学导数导学案


黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心

高三数学
授课教师 授课时间 课型 姚智鑫 2013.02.03 复习

导学案
叶沁 导数 6 课时

授课对象 授课题目 使用课时

教学目标

1、掌握导数的概念。 2、通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该

点的切线的斜 率,理解导数的概念并会运用概念求导数。 3、学会利用公式,求一些函数的导数。 4、理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题。

5、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理。
6、掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学重点 和难点 参考教材

导数的概念及导数的应用。

高中数学
§3.1.2 导数的概念

探究任务一:瞬时速度 问题 1:在高台跳水运动中,运动员有不同时刻的速度是 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 探究任务二:导数 问题 2: 瞬时速度是平均速度

?s 当 ?t 趋近于 0 时的 ?t

导数的定义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ,我 ? lim ?x ?0 ?x ?x 处 的 导 数 , 记 作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 即
?x ?0

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
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注意:(1)函数应在点 x0 的附近有定义,否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中, ?x 趋近于 0 可正、可负、但不为 0,而 ?y 可以为 0 (3)

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?y 是函数 y ? f (x) 对自变量 x 在 ?x 范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲 ?x 线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )及点 ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x) )的割线斜率
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f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f (x) 在点 x0 的处瞬时变化率, ?x ?0 ?x 它反映的函数 y ? f (x) 在点 x0 处变化的快慢程度.
(4)导数 f ( x0 ) ? lim
/

小结:由导数定义,高度 h 关于时间 t 的导数就是运动员的瞬时速度,气球半径关于体积 V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

1

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 ※ 典型例题 例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 在第 xh 时,原油的温度(单位: c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
0

总结:函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减;它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例 2 已知质点 M 按规律 s=2t +3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),
2

?s . ?t ?s (2)当 t=2,Δ t=0.001 时,求 . ?t
(1)当 t=2,Δ t=0.01 时,求 (3)求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度 小结: 利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x ?y 第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x
第二步:求平均变化率 练 1. 一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是 s(t ) ? t 2 (位移单位:m,时间单位:s),求小 球在 t ? 5 时的瞬时速度
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三、总结提升 四、※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ) ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 2 2. y ? x 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
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3. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x

) D.大于 0 或小于 0

A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 4.如果质点 A 按规律 s ? 3t 2 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为

2

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1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 5. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k 课后作业 1. 高台跳水运动中, ts 时运动员相对于水面的高度是: h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 (单位: m), 求运动员在 t ? 1s 时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.

2. 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s)的关系可 1 用函数 s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 U ? mv 2 . 求物体开始运动后第 5s 时的动能. 2

§3.1.3 导数的几何意义 学习目标 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 理解导数的概念并 会运用概念求导数. 学习过程 一、课前准备 ?y 复习 1:曲线上 P( x1 , y1 ), P ( x1 ? ?x, y1 ? ?y) 的连线称为曲线的割线,斜率 k ? ? 1 ?x 复习 2:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义当自变量在 x ? x0 附近改变 ?x 时,函数值也相应地 改变 ?y ? ,如果当 ?x 时,平均变化率趋近于一个常数 l ,则数 l 称为函数 f ( x) 在点 x0 的瞬时变化率. 记作:当 ?x 时, ?l 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:导数的几何意义 问题 1:当点 Pn ( x n , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) ,沿着曲线 f ( x) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时,割线的变化 趋是什么?

3

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 新知:当割线 P Pn 无限地趋近于某一极限位置 PT 我们就把极限位置上的直线 PT,叫做曲线 C 在点 P 处的切线 割线的斜率是: kn ?
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当点 Pn 无限趋近于点 P 时, k n 无限趋近于切线 PT 的斜率. 因此,函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 数就是切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x 新知: 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率. 即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

※ 典型例题 例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象.根据图 象,请描述、比较曲线 h (t ) 在 t0 , t1 , t2 附近的变化情况.

※ 动手试试 练 1. 求双曲线 y ?

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2

练 2. 求 y ? x 2 在点 x ? 1 处的导数.

三、总结提升 ※ 学习小结 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率. 即 k = f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

其切线方程为 ※ 知识拓展 导数的物理意义: 如果把函数 y ? f ( x) 看做是物体的运动方程(也叫做位移公式,自变量 x 表示时间) ,那么 ?y 导数 f ?( x0 ) 表示运动物体在时刻 xo 的速度, ,即在 xo 的瞬时速度.即 vx0 ? f ?( x0 ) ? lim ?t ?0 ?x ?v 而运动物体的速度 v (t ) 对时间 t 的导数,即 v?(t ) ? lim 称为物体运动时的瞬时加速度. ?t ?0 ?t ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知曲线 y ? 2 x 2 上一点,则点 A(2,8) 处的切线斜率为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 2

4

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 2. 曲线 y ? 2 x2 ? 1 在点 P ( ?1,3) 处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 B. y ? ?4 x ? 7 C. y ? 4 x ? 1 D. y ? 4 x ? 7 f ( x0 ? h) ? f ( x 0 ) 3. f ( x) 在 x ? x0 可导,则 lim ( ) h ?0 h A.与 x0 、 h 都有关 B.仅与 x0 有关而与 h 无关 C.仅与 h 有关而与 x0 无关 D.与 x0 、 h 都无关 4. 若函数 f ( x) 在 x0 处的导数存在,则它所对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 的切线方程为 5. 已知函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数为 11,则 f ( x0 ? ?x) ? f ( x 0 ) = lim ?x ?0 ?x 课后作业 三、如图,试描述函数 f ( x) 在 x = ?5, ?4, ?2, 0,1 附近的变化情况.

2.已知函数 f ( x) 的图象,试画出其导函数 f ?( x) 图象的大致形状.

§3.2.1 几个常用函数导数 学习目标 1.掌握四个公式,理解公式的证明过程;2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题. 学习过程 一、课前准备 复习 1:导数的几何意义是:曲线 y ? f (x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此,如 果 y ? f (x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 复习 2:求函数 y ? f (x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ?
/ (2)(3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim

(2)求平均变化率

?y ?x ?0 ?x
5

?y ? ?x

=

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 (3)二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数 新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

.

反思: y ? ? 1 表示函数 y ? x 图象上每一点处的切线斜率为 . 若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 探究任务二:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x 的图象,并根据 导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数 y ? kx(k ? 0) 增(减)的快慢与什么有关?

※ 典型例题 例 1 求函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

变式: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数 小结:利用定义求导法是最基本的方法,必须熟记求导的三个步骤:作差,求商,取极 限. 例 2 画出函数 y ? 切线方程.

1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的 x

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程. 变式 2:求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程. 小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的. ※ 动手试试 练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程. 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 利 用 定 义 求 导 法 是 最 基 本 的 方 法 , 必 须 熟 记 求 导 的 三 个 步 骤: , , . 2. 利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是 不同的. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. f ( x) ? 0 的导数是( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 2.已知 f ( x) ? x 2 ,则 f ?(3) ? ( A.0 B.2 x C.6 ? 3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 的点为( ) 4 1 1 1 1 A. (0, 0) B. (2, 4) C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4 1 4. 过曲线 y ? 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为 为 . 课后作业 1. 已知圆面积 S ? ? r 2 ,根据导数定义求 S ?(r ) . ) D.9

,在 t ? 4 时的速度

§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 复习 1:常见函数的导数公式:

C '? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ;
1 1 (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . x ln a x 复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 (log x)? ?
a

(a x )? ? a x ln a(a ? 0) ; (e

x

)? ? e x ;

(1) y ? x 6
y? 1
4

(2) y ? x

(3) y ?

1 x2

(4)

x3

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数 新 知 [ f ( x)?g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) [ ]? ? g ( x) [ g ( x)]2 :
[f ? ? (x ? ? ) g

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数. 小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试 练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x ; (2) y ? 2e x ; (3) y ? 2 x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (4) y ? 3cos x ? 4sin x .

7

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 练 2. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? xn ex ; (3) y ?

x3 ? 1 sin x

三、总结提升 ※ 学习小结 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用 求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法 则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,首先要注意化简的 等价性,避免不必要的运算失误. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1 1 1 1 1 1. 函数 y ? x ? 的导数是( )A. 1 ? 2 B. 1 ? C. 1 ? 2 D. 1 ? x x x x x 2. 函数 y ? sin x(cos x ?1) 的导数是( ) A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x C. cos 2 x ? cos x cos x 3. y ? 的导数是( ) x sin x x sin x ? cos x A. ? 2 B. ? sin x C. ? x x2 4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8 x ? 2 x 2 ,且 f ?( x0 ) ? 4 ,则 x0 = sin x 5.曲线 y ? 在点 M (? , 0) 处的切线方程为 x 课后作业 3V 1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ? 3 的导数. 4? D. cos2 x ? cos x

D. ?

x cos x ? cos x x2

2. 已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 §3.3.1 函数的单调性与导数 一、课前准备 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有= 上的 函数. 复习 2: C ' ?
(ln x) ' ?

,那么函数 f(x)就是区间 I

; ( xn )' ? ;
x

; (sin x) ' ?
(e )' ?

; (cos x) ' ?
(a )' ?
x

; ;

; (loga x)' ?



二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系: 问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的导数.从函数

y ? x 2 ? 4x ? 3 的图像来观察其关系:
y=f(x)=x2-4x+3 切线的斜率 f′(x)
(2,+∞) (-∞,2) y ? f ( x) 在区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大 而 ,即 y
/

在区间(2, ? ? )内,切线的斜率 为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的 增大而 ,即 y ? ? 0 时,函数

y
f?x? = ?x2-4?x?+3

? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为

函数.

新知:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数
y ? f ( x) 在这个区间内的减函数.

B O
1 2 3

A

x

试试:判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2)
f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤: ①求函数 f(x)的导数 f ?( x) .②令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间. 探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f ( x) 有什么特性? ※ 典型例题 例 1 已知导函数的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时,f ?( x) ? 0 ; x ? 4 , x ? 1 时,f ?( x) ? 0 ; x ? 4 , x ? 1 时,f ?( x) ? 0 . 当 或 当 或 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状.

9

黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 变 式 : 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 如 图 所 示 , 试 画 出 导 函 数 f ?( x) 图 象 的 大 致 形

状. 例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的 容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

※ 动手试试 练 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: ( 1) f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ; ( 2) f ( x) ? e x ? x ; ( 3) f ( x) ? 3x ? x3 ;
f ( x) ? x ? x ? x .
3 2

( 4)

练 2. 求证:函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数. 三、总结提升 ※ 学习小结 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的定义域;②求函数 f(x)的导数 f ?( x) .③令 f ?( x) ? 0 ,求出全部驻点; ④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内 f ?( x) 的符号,由此确定 f ( x) 的单 调区间 注意:列表时,要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑. ※ 知识拓展 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快,这时,函数的图象就比较“陡峭” (向上或向下) ;反之,函数的图象就“平缓”一些. 如 图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象“陡峭” ,在 (b, ??) 或 (??, a) 内的图象“平缓”.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有( A. b ? 4ac ? 0
2

) D. b 2 ? 3ac ? 0

B. b ? 3ac ? 0
2

C. b ? 4ac ? 0
2

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 2. (2004 全国)函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) ? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C. ( , ) D. (2? ,3? ) 2 2 2 2 3. 若在区间 (a, b) 内有 f ?( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 (a, b) 内有( ) A. f ( x) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x) ? 0 D.不能确定 4.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是
2

,减区间是

5.已知 f ( x) ? x ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于 课后作业 1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ; (2) f ( x) ? 3x ? x3 ; (3) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, ) . 2

?

§3.3.2 函数的极值与导数 学习目标 1.理解极大值、 极小值的概念 2.能够运用判别极大值、 极小值的方法来求函数的极值; 3.掌握求可导函数的极值的步骤. 学习过程 一、课前准备 复习 1: 设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数, 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解 不等式, x 的范围就是递增区间.③令 得 解不等式, x 的范围, 得 就是递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值 有什么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y ? f ( x) 的导数的符号有 什么规律?

看出, 函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ; 而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫 做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值.极大值点、极小值点统称为 极值点,极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ,刻 画的是函数的 .

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 (能,不能)成为 极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数 为 ,但它 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 条件. ※ 典型例题 1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

变式 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图 象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值. y

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域;(2)求导数 f′(x);(3)求方程 f′(x)=0 的根 (4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格. 检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个 根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象.
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奎屯 新疆

※ 动手试试 练 1. 求下列函数的极值: (1)f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ; (2)f ( x) ? x3 ? 27 x ; (3)f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (4)f ( x) ? 3x ? x3 .

练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪些是极 大值点,哪些是极小值点.

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三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求可导函数 f(x)的极值的步骤;2. 由导函数图象画出原函数图象;由原函数图象 画导函数图象. ※ 知识拓展 函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见: “有极值但不一定可导” ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( )A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则此函数是 ( ) A. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x B. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( ) A.a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B.a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C.a ? ?1, b ? 5 上都不正确 4. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 D. 以

5. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为 课后作业 1. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数 y ? f ?( x) 有极大 值? (2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值?(3)函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有极 小值?

2. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48x ? x . §3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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一、课前准备 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x0 是 f (x) 的极值点, 并且如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足 “左正右负” 则 x0 是 f (x) 的 , f ( x0 ) 是极值, 是极 值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f (x) 的 极
王新敞
奎屯 新疆

点,f ( x0 ) 点, f ( x0 ) 是

值 复习 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试 求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由.

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f (x) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大 值,最小值呢?

在图 2 中,在闭区间 ?a, b? 上的极大值是 ,极小值是 ;最大值是 ,最 小值是 . 新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 试试:

图1 图2 在图 1 中,在闭区间 ?a, b? 上 的 最 大 值 是

,最小值是



上图的极大值点 ,为极小值点为 ; 最大值为 ,最小值为 . 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的; 函数的极值是比较极值点附近函数值得 出的. 2.函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件 3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个, 可能一个没有. ※ 典型例题

1 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值 为最小值.

x 2 ? ax ? b 例 2 已知 f ( x) ? log 3 , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满 x 足下列两个条件: (1) f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f (x) 的最小
值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 变式:设
?

2 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 3 2

6 ,求函数的解析式. 2

小结: 本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法, 从逆向思维出发, 实现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点 值大小上,从而解决问题. ※ 动手试试 练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ?[1, 2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ? 37 .(1)求实数 a 的值; (2) 求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

三、总结提升 ※ 学习小结 设函数 f (x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f (x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步 骤如下: ⑴求 f (x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b? 上的最值.

※ 知识拓展 利用导数法求最值, 实质是在比较某些函数值来得到最值, 因些我们可以在导数法求极 值的思路的基础上进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x 2 ,? ,直接求得函数值,然后
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黄冈中奥教育-专业的数理化辅导中心 去与端点的函数值比较就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合, 也可以求最值. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的值为 ( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 15 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 5. 已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的 最小值是 课后作业 1. a 为常数,求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1) f ( x) 的单调区间; 求 (2) f ( x) 在区间 [?2, 2] 上 若 的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

教师评定:
学生上次作业评价: ○ 好 学生本次上课情况评价: ○ 好 教务主任签字: ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差

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