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16~29届全国中学生物理竞赛力学篇


力学篇 (16)四、 (20 分)经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的 研究,使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成,其中每 个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远,可以当作孤立系统处理。 现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该双星系统中每个星体的质量都是 M ,两者相距

L 。他 们正绕两者连线的中点作圆周运动。 1. 试计算该双星系统的运动周期 T计算 。 2. 若实验上观测到的运动周期为 T观测 ,且 T观测 :T计算 ?1: N ( N ?) 。为了解释 T观测 与 T计算 1 的不同,目前有一种流行的理论认为,在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模 型,我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质,而不考虑其它暗物质的影响。试 根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

?(17)四、宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量小得 很多,飞行器的速率为v0,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍.有人企图借助飞行器与小行星的 碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案: (1)当飞行器在其圆周轨道的适当位置时,突然点 燃飞行器上的喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,已使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的 切线方向离开圆轨道; (2)飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘,速度的方向和小行星在该 处速度的方向相同,正好可被小行星碰撞; (3)小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰,不计燃烧的燃料质量. ? 1.试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系; ? 2.设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为E1.如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道 上突然点燃喷气发动机,经过极短时间后立即关闭发动机,已使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向 离开圆轨道后能直接飞出太阳系.采用这种办法时,飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示,问E


/E2为多少?

图2 (19)七、 (26 分)一根不可伸长的细轻绳,穿 上一粒质量为 m 的珠子(视为质点) ,绳的下端 固定在

A 点,上端系在轻质小环上,小环可沿 A 在同一竖直平面 A 点到杆的距

固定的水平细杆滑动 (小环的质量及与细杆摩擦 皆可忽略不计) 细杆与 , 内.开始时,珠子紧靠小环,绳被拉直,如图复 19-7-1 所示,已知,绳长为 l ,

离为 h ,绳能承受的最大张力为 Td ,珠子下滑 过程中到达最低点前绳子被拉断, 求细绳被拉断 时珠子的位置和速度的大小(珠子与绳子之间无摩擦) 注:质点在平面内做曲线运动时,它在任一点的加速度沿该点轨道法

线方向的分量称为法向加速度 an ,可以证明, an

? v2 / R , v 为质点在该点时速度的大小, R 为轨道曲

线在该点的“曲率半径” ,所谓平面曲线上某点的曲率半径,就是在曲线上取包含该点在内的一段弧,当这 段弧极小时,可以把它看做是某个“圆”的弧,则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径.如图复 19-7-2 中曲线在

A 点的曲率半径为 RA ,在 B 点的曲率半径为 RB .

(20)五、(22 分)有一半径为 R 的圆柱 A,静止在水平地面上,并与竖直墙面相接触.现有另一质量与 A 相同,半径为 r 的较细圆柱 B,用手扶着圆柱 A,将 B 放在 A 的上面,并使之与墙面相接触,如图所示,然 后放手. 己知圆柱 A 与地面的静摩擦系数为 0.20,两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30.若放手后,两圆柱体能保 持图示的平衡,问圆柱 B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱 B 的半径 r 的值各应满足什么条件? (21)二、(20 分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相差半 个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径 R 的 2 倍,卫星通过近地点时的速度 v ?

3GM 4R ,

式中 M 为地球质量,G 为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪,可测出卫星与任意两点的两条连线之 间的夹角.试设计一种测量方案,利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离. (最后结果 要求用测得量和地球半径 R 表示)

六、(20 分)如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位于光滑的水 平桌面上(图中纸面) ,A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与 A、 B、C 的各连接处皆为“铰链式”的(不能对小球产生垂直于杆方向的作用 力) .已知杆 AB 与 BC 的夹角为??

D B A
A

? ,?? < ?/2.DE 为固定在桌面上

一块挡板,它与 AB 连线方向垂直.现令 A、B、C 一起以共同的速度 v 沿平 行于 AB 连线方向向 DE 运动, 已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩 擦力作用,求碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 变为 0 这一极短时间 内挡板对 C 的冲量的大小. (22) 一、图中的 AOB 是游乐场中的滑道模型,它位于竖直平面内, 由两个半径都是 R 的 1/4 圆周连接而成,它们的圆心 O1 、 O2 与两圆 弧的连接点 O 在同一竖直线上.O2 B 沿水池的水面.一小滑块可由弧

????

A

C
A A

E

A

O1

O

AO 的任意点从静止开始下滑.
1.若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中,在两个圆弧上滑过 的弧长相等,则小滑块开始下滑时应在圆弧 AO 上的何处?(用该 处到 O1 的连线与竖直线的夹角表示) . 2.凡能在 O 点脱离滑道的小滑块,其落水点到 O2 的距离如何? 七、 (25 分) 如图所示,在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的

O2

B

O

A

k x B

l

小球 A 和质量为 2m 的小球 B.A 用细线拴住悬挂起来,系统处于静止状态,此时弹簧长度为 l .现将细线 烧断,并以此时为计时零点,取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴 Ox,原点 O 与此时 A 球的 位置重合如图.试求任意时刻两球的坐标.

(23) 二、 (25 分)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2 l ,两端和中心处分 别固连着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上 另有一质量为 M 的小球 A,以一给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A,B,C,D 的速度,并详细讨论以后可能发生的运动 情况。 (24) 一、 (20 分)如图所示,一块长为 L

? 1.00 m 的光滑平板 PQ 固定在轻质弹簧上端,弹簧的下

端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出竖直导轨) ,从而只能地竖直

? 2.00 s 。一小球 B 放在光滑的水平台面上,台面的 右侧边缘正好在平板 P 端的正上方,到 P 端的距离为 h ? 9.80 m 。平板静止在其平衡位置。水球 B 与平
方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期 T 板 PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度 ? 0 ,使它从水平台面抛出。已知小球 B 与平板发生弹性碰 撞,碰撞时间极短,且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板 PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰 撞, ? 0 的值应在什么范围内?取 g

? 9.8m / s 2

二、 (25 分)图中所示为用三角形刚性细杆 AB、BC、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和 CD 杆可分别 绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相 连,可绕连接处转动(类似铰链) 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 ? 转到图中所示的位置时,AB 杆处于竖 直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45°角,已知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长度由图给定。求 此时 C 点加速度 ac 的大小和方向(用与 CD 杆之间的夹角表示)

(25)二、 (21 分)嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点离地面 高 Hn

? 2.05 ?102 km ,远地点离地面高 H f ? 5.0930 ?104 km ,周期约为 16 小时,称为 16 小时

轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在远地点点火,使卫星进入新 轨道 (如图中曲线 2 所示) 以抬高近地点。 , 后来又连续三次在抬高以后的近地点点火, 使卫星加速和变轨, 抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和地月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示) 。已知 卫星质量 m ? 2.350 ?10 球半径 r
3

kg ,地球半径 R ? 6.378 ?103 km ,地面重力加速度 g ? 9.81m / s 2 ,月

? 1.738 ?103 km 。

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点火时间很短, 可以认为椭圆轨道长轴方向不变。 设推力大小 F=490N, 要把近地点抬高到 600km, 问点火时间应持续多长? 3、试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周期。 4、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据此估算月球质量与地球 质量之比值。

三、 (22 分)足球射到球门横梁上时,因速度方向不同、射在横梁上的位置有别,其落地点也是不同的。 已知球门的横梁为圆柱形,设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上,球与横梁间的滑动 摩擦系数 ?

? 0.70 ,球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70。试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落

在球门线内(含球门上)?足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂 直于横梁的轴线)的夹角 ? (小于 90 )来表示。不计空气及重力的影响。
?

(26)一、5.如图,给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度,使之开始运动。一学生利用角动量定理来 考察此木块以后的运动过程: “把参考点设于如图所示的地面上一点 O,此时摩擦力 f 的力矩为 0,从而地 面木块的角动量将守恒,这样木块将不减速而作匀速运动。 ”请指出上述推理的错误,并给出正确的解释:

v O f

。 二、 (20 分)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的 轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑于桌角 A、B、C、D 处,桌腿竖直立在 水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于 桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F, 令

B O C 2 3

F P D 4

A

OP ? c ,求桌面对桌腿 1 的压力 F 。 OA
1

1

三、 (15 分) 1.一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧的另一 端与固定墙面相连,小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀速运动的参考系里观 察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。

。 2.若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质 量均匀分布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距离为 R,万有引力恒量为 G。学生甲以地 心为参考系,利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相对于地心参考系的加速度为 a m

?G

M R2



学生乙以月心为参考系,同样利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到地球相对于月心参考系的加速度为

ae ? G

m R2

。这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以地心参考

系(以地心速度作平动的参考系)和月心参考系(以月心速度作平动的参考系)求出正确结果。 (27)一、(15 分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图)。若干个摆球位于同一高 度并等间距地排成一条直线,它们的悬挂点在 不同的高度上,摆长依次减小。设重力加速度

g ? 9.8m / s 2 。
1.试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出 每个摆的摆长),要求满足:(a)每个摆的摆长 不小于 0.450m ,不大于 1.000m ; (b)初 始时将所有摆球由平衡点沿 相同的一个小位移 x0 ( x0

x 轴正方向移动

? 0.450m ),然

后同时释放,经过 40s 后,所有的摆能够同时回到初始状态。 2.在上述情形中,从所有的摆球开始摆动起,到它们的速度首次全部为零所经过的时间为 。 二、(20 分)距离我们为 L 处有一恒星,其质量为 M,观测发现其位置呈周期性摆动,周期为 T,摆动范围 的最大张角为 ? ? 。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作周期运动的行星引起的,试给出这颗 行星的质量 m 所满足的方程。 若L

? 10 光年, T ? 10 年, ?? ? 3 毫角秒, M ? M S ( M S 为太阳质量),则此行星的质量和它运

动的轨道半径 r 各为多少?分别用太阳质量 M S 和国际单位 AU(平均日地距离)作为单位, 只保留一位有效 数字。 已知 1 毫角秒 ?

1 1 角秒, 角秒 ? 1 1000 3600

度, ? 1.5 ?10 1AU

8

km , c ? 3.0 ?105 km / s 。 光速
? ? R ,可绕竖直的对称

三、(22 分)如图,一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为 m ,半径为 R,螺距 H 轴 OO? 无摩擦地转动,连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计。一质 量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动。 首先扶住小球使其静 止于螺旋环上的某一点 A,这时螺旋环也处于静止状态。然后放开小球,让小球 沿螺旋环下滑,螺旋环便绕转轴 OO? 转动。求当小球下滑到离其初始位置沿竖 直方向的距离为 h 时,螺旋环转动的角速度和小球对环作用力的大小。

(28) 一、 (20 分)如图所示,哈雷彗星绕太阳 S 沿椭圆轨道逆时针方向运动, 其周期 T 为 76.1 年,1986 年它过近日点 P0 时与太阳 S 的距离 r0=0.590AU,AU 是 天文单位,它等于地球与太阳的平均距离,经过一段 时间,彗星到达轨道上的 P 点,SP 与 SP0 的夹角θ
P

=72.0°。已知:1AU=1.50×10 m,引力常量 G=6.67
-11

11

×10

Nm /kg ,太阳质量 mS=1.99×10 kg,试求 P 到

2

2

30

太阳 S 的距离 rP 及彗星过 P 点时速度的大小及方向 (用 速度方向与 SP0 的夹角表示) 。 二、 (20 分) 质量均匀分布的刚性杆 AB、 如图放置, CD A 点与水平地面接触,与地面间的静摩擦系数为μ A,B、D 两点 与光滑竖直墙面接触,杆 AB 和 CD 接触处的静摩擦系数为μ C, 两杆的质量均为 m,长度均为 l。 1、 已知系统平衡时 AB 杆与墙面夹角为θ , CD 杆与墙面夹角 求 α 应该满足的条件(用α 及已知量满足的方程式表示) 。 2、若μ A=1.00,μ C=0.866,θ =60.0°。求系统平衡时α 的取 值范围(用数值计算求出) 。

三、 (25 分)在人造卫星绕星球运行的过程中,为了保持其对 称转轴稳定在规定指向,一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴转,但有时为 了改变卫星的指向,又要求减慢或者消除卫星的旋转,减慢或者消除卫星旋转的一种方法就是所谓消旋法, 其原理如图所示。 一半径为 R,质量为 M 的薄壁圆筒, ,其横截面如图所示, 图中 O 是圆筒的对称轴,两条足够长的不可伸长的结实的长度 相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的 Q、Q′(位于圆筒

直径两端)处,另一端各拴有一个质量为

m 2

的小球,正常情况下,绳绕在圆筒外表面上,两小球用插销

分别锁定在圆筒表面上的 P0、P0′处,与卫星形成一体,绕卫星的对称轴旋转,卫星自转的角速度为ω 0。 若要使卫星减慢或者停止旋转(消旋) ,可瞬间撤去插销释放小球,让小球从圆筒表面甩开,在甩开的整个 过程中,从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时,立即使绳与卫 星脱离,解除小球与卫星的联系,于是卫星转动停止。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在 Q、Q′处。 1、 求当卫星角速度减至ω 时绳拉直部分的长度 l; 2、 求绳的总长度 L; 3、 求卫星从ω 0 到停转所经历的时间 t。


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