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宁夏石嘴山市平罗中学重点班2016届高三(上)第一次月考数学试题(解析版)(理科)[1]


2015-2016 学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三(上)第一次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每小题只有唯一正确答案.) 1.sin600°的值是( ) A. B. C. D.

2.设集合 A={x| A.{x|x>﹣1}

},B={x|lgx>0},则 A∪B=( B.

{x|﹣1<x<1} C.?
2



D.{x|﹣1<x<1 或 x>1} )

3.设扇形的半径长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.4 B.3 C.2 D.1 4.由曲线 y= A. B.4 ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6 )

5.下列命题正确的个数是( ) A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”; a b a b D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A.1 B.2 C.3 D.4
3 2 3 2

6.若函数 f(x)= A.﹣10 B.10 C.﹣5 D.5
x

是奇函数,则实数 a 的值是(



7. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



8.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1) ,则实数 x 的取值 范围是( ) A. ( ,1) B. (0, )∪(1,+∞) C. ( ,10) D. (0,1)∪(10,+∞)

9.函数的 y=f(x)图象如图 1 所示,则函数 y=

的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

10.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒 有 f′(x)<2(x∈R) ,则不等式 f(x)<2x+1 的解集为( ) A. (1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) .当 x∈[﹣3,﹣1)时,f(x)=﹣(x+2)
2

,当 x∈[﹣1,3)时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=( A.336 B.355 C.1676 D.2015



12.若直角坐标平面内的两个不同点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P, Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”) . 已知函数 f (x) =

, 则此函数的“友

好点对”有( A.0 B.1

) 对. C.2

D.3

二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题 5 分,共 20 分) 13.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣ 则 f(1)﹣f′(1)= 14.已知:sinθ+cosθ= ( . ,

<θ<π) ,则 tanθ=



15.已知 p: 数 a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实 . ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,若在区 .
2

16.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

间[﹣1, 3]内, 函数 g (x) =f (x) ﹣log( 有 4 个零点, 则实数 a 的取值范围是 a x+2)

三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分.共 70 分) 17. (10 分) (2015 秋?石嘴山校级月考) (1)已知 tan(3π+α)=3,试求 的值. (2)已知角 α 的终边经过点 P(﹣4,3) ,求 sinαcosα+cos α﹣sin α+1 的值. 18. (12 分) (2015 春?淄博校级期末)已知 p:x +4mx+1=0 有两个不等的负数根,q:函数 2 x f(x)=﹣(m ﹣m+1) 在(﹣∞,+∞)上是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)已知函数 f(x)=x﹣klnx,常数 k>0. (1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求 k 的取值范围. 20. (12 分) (2014 春?南安市校级期末)函数 数,且 (1)确定函数 f(x)的解析式 (2)若函数 f(x)在(﹣1,1)是单调递增函数,求解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 21. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)某地区有 100 户农民,都从事水产养殖.据了解, 平均每户的年收入为 3 万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分农民从事水产加 工.据估计,如果能动员 x(x>0)户农民从事水产加工,那么剩下的继续从事水产养殖的 农民平均每户的年收入有望提高 2x%,而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为 万元. (1)在动员 x 户农民从事水产加工后,要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前 从事水产养殖的农民的总年收入,求 x 的取值范围; (2)若 0<x≤25,要使这 100 户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水 产养殖的农民的总年收入,求 a 的最大值. 22. (12 分) (2015?汕头模拟)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . 是定义在(﹣1,1)上的奇函
2 2 2

(Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围.

2015-2016 学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高三(上) 第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每小题只有唯一正确答案.) 1.sin600°的值是( ) A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 把原式的角度 600°变形为 2×360°﹣120°,然后利用诱导公式化简,再把 120°变为 180°﹣60°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:sin600°=sin(2×360°﹣120°) =﹣sin120°=﹣sin(180°﹣60°) =﹣sin60°=﹣ .

故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值, 熟练掌握诱导公式是解本题的关键, 同时注意 角度的灵活变换.

2.设集合 A={x|

},B={x|lgx>0},则 A∪B=(



A.{x|x>﹣1} B.{x|﹣1<x<1} C.? D.{x|﹣1<x<1 或 x>1} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出两集合的并集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:2 <2 <2,即﹣1<x<1,即 A=(﹣1,1) , 由 lgx>0=lg1,即 x>1,即 B=(1,+∞) , 则 A∪B={x|﹣1<x<1 或 x>1}. 故选 D 点评: 此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 3.设扇形的半径长为 2cm,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.4 B.3 C.2 D.1 考点: 弧度制的应用.
2
﹣1

x



专题: 三角函数的求值. 分析: 设扇形的弧长为 2,根据扇形的半径和面积,利用扇形面积公式列式算出 l=4,再 由弧度的定义加以计算,即可得到该扇形的圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形的圆心角的弧度数是 α,弧长为 l, 2 ∵扇形的半径长 r=2cm,面积 S=4cm , ∴S= lr,即 4= ×l×2,解之得 l=4, 因此,扇形圆心角的弧度数是 α= = =2. 故选:C. 点评: 本题给出扇形的半径和面积, 求圆心角的大小. 考查了扇形的面积公式和弧度制的 定义等知识,属于基础题. 4.由曲线 y= A. B.4 ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6 )

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键, 要确定出曲线 y= , 直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 解答: 解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

点评: 本题考查曲边图形面积的计算问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考 查学生的转化与化归能力和运算能力, 考查学生对定积分与导数的联系的认识, 求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 5.下列命题正确的个数是( )

A.“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是真命题; B.命题 p:x≠2 或 y≠3,命题 q:x+y≠5 则 p 是 q 的必要不充分条件; C.“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”; a b a b D.“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”. A.1 B.2 C.3 D.4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断; B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确; C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断; D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论. 解答: 解:对于 A 项“在△ ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题为“在△ ABC 中, 若 A>B,则 sinA>sinB”, 若 A>B,则 a>b,根据正弦定理可知 sinA>sinB,∴逆命题是真命题,∴A 正确; 对于 B 项,由 x≠2,或 y≠3,得不到 x+y≠5,比如 x=1,y=4,x+y=5,∴p 不是 q 的充分条 件; 若 x+y≠5,则一定有 x≠2 且 y≠3,即能得到 x≠2,或 y≠3,∴p 是 q 的必要条件; ∴p 是 q 的必要不充分条件,所以 B 正确; 3 2 3 2 对于 C 项,“?x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“?x∈R,x ﹣x +1>0”;所以 C 不对. a b a b 对于 D 项,“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 ﹣1”.所以 D 正确. 故选:C. 点评: 本题主要考查各种命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强.
3 2 3 2

6.若函数 f(x)=

是奇函数,则实数 a 的值是(



A.﹣10 B.10 C.﹣5 D.5 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 不妨设 x<0,则﹣x>0,根据所给的函数解析式求得 f(x)=﹣x +ax,而由已知 2 可得 f(﹣x)=x +5x,结合奇函数中 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得答案. 解答: 解:当 x<0 时,﹣x>0, ∵f(x)=
2


2

∴f(x)=﹣x +ax,f(﹣x)=x +5x, 又∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , 2 2 即 x +5x=﹣(﹣x +ax) , ∴a=﹣5, 故选:C 点评: 本题主要考查分段函数求函数的奇偶性,函数的奇偶性的定义,属于基础题. 7. 已知 m∈R, “函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在 (0, +∞) 上为减函数”的 (
x



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据函数的性质求出 m 的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即 可. 解答: 解:若函数 y=f(x)=2 +m﹣1 有零点,则 f(0)=1+m﹣1=m<1, 当 m≤0 时,函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数不成立,即充分性不成立, x 若 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数,则 0<m<1,此时函数 y=2 +m﹣1 有零点成立,即 必要性成立, x 故“函数 y=2 +m﹣1 有零点”是“函数 y=logmx 在(0,+∞)上为减函数”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据函数零点和对数函数的性质求出等 价条件是解决本题的关键. 8.已知 f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1) ,则实数 x 的取值 范围是( ) A. ( ,1) B. (0, )∪(1,+∞) C. ( ,10) D. (0,1)∪(10,+∞)
x

考点: 函数单调性的性质;偶函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数的性质,f(1)=f(﹣1) ,在[0,+∞)上是减函数,在(﹣∞,0)上 单调递增,列出不等式,解出 x 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数, ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, 由 f(lgx)>f(1) ,f(1)=f(﹣1) 得:﹣1<lgx<1, ∴ <x<10,

故答案选 C. 点评: 本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用. 9.函数的 y=f(x)图象如图 1 所示,则函数 y= 的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 综合题. 分析: 本题考查的知识点是对数函数的性质, 及复合函数单调性的确定, 由对数函数的性 质得,外函数 y=log0.5u 的底数 0<0.5<1,故在其定义域上为减函数,根据复合函数单调性 “同增异减”的原则,不难给出复合函数的单调性,然后对答案逐一进行分析即可. 解答: 解:∵0.5∈(0,1) ,log0.5x 是减函数. 而 f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,2)上是增函数, 故 log0.5f(x)在(0,1]上是增函数,而在[1,2)上是减函数. 分析四个图象,只有 C 答案符合要求 故选 C 点评: 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则: “同增”的意思是:g(x) ,h(x)在定义域是同增函数或者都是减函数时,f(x)是增函数; “异减”的意思是:g(x) ,h(x)在定义域是一个增函数另一个减函数的时候,f(x)是减 函数 10.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒 有 f′(x)<2(x∈R) ,则不等式 f(x)<2x+1 的解集为( ) A. (1,+∞) B. (﹣∞,﹣1) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: 令 F(x)=f(x)﹣2x﹣1,从而求导可判断导数 F′(x)=f′(x)﹣2<0 恒成立, 从而可判断函数的单调性,从而可得当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,从而得到不等式 f(x) <2x+1 的解集. 解答: 解:令 F(x)=f(x)﹣2x﹣1, 则 F′(x)=f′(x)﹣2, 又∵f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)<2, ∴F′(x)=f′(x)﹣2<0 恒成立, ∴F(x)=f(x)﹣2x﹣1 是 R 上的减函数, 又∵F(1)=f(1)﹣2﹣1=0, ∴当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即 f(x)﹣2x﹣1<0, 即不等式 f(x)<2x+1 的解集为(1,+∞) ; 故选 A. 点评: 本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用,属于中档题. 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) .当 x∈[﹣3,﹣1)时,f(x)=﹣(x+2) 2 ,当 x∈[﹣1,3)时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=( ) A.336 B.355 C.1676 D.2015 考点: 数列与函数的综合.

专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 直接利用函数的周期性,求出函数在一个周期内的和,然后求解即可. 解答: 解:定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) .可得函数的周期为:6, 2 当 x∈[﹣3,﹣1)时,f(x)=﹣(x+2) , 当 x∈[﹣1,3)时,f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(﹣3)=﹣1,f(4)=f(﹣2) =0,f(5)=f(﹣1)=﹣1,f(6)=f(0)=0, 2015=6×335+5, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+335[f(1)+f (2)+…+f(6)]=1+2﹣1+0﹣1+335×(1+2﹣1+0﹣1+0)=336. 故选:A. 点评: 本题考查数列与函数相结合,函数的值的求法,函数的周期性的应用,考查计算能 力. 12.若直角坐标平面内的两个不同点 P、Q 满足条件: ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P, Q]与[Q, P]看作同一对“友好点对”) . 已知函数 f (x) =

, 则此函数的“友

好点对”有( ) 对. A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 函数的概念及其构成要素. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意可知只须作出函数 y= 定它与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个数即可. 解答: 解:由题意得:
2

(x>0)的图象关于原点对称的图象,确

函数 f(x)=

,“友好点对”的对数,
2

等于函数(x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x ﹣4x(x≤0)交点个数 在同一坐标系中做出函数 y= ﹣4x(x≤0)的图象如下图所示: (x>0)的图象关于原点对称的图象,与函数 y=﹣x
2

由图象可知,两个图象只有一个交点. 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,分段函数,新定义,其中将“友好点对”的对数转 化为对应图象交点个数是解答的关键. 二、填空题(请将正确答案填在答案卷的横线上.每小题 5 分,共 20 分) 13.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y=﹣ 则 f(1)﹣f′(1)= 2 . ,

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 由定义在 R 上的函数 y=f (x) 的图象在点 M (1, ( f 1) ) 处的切线方程为 y=﹣ 知 ,f(1)+ =2,由此能求出 f(1)﹣f′(1) . ,

解答: 解:∵定义在 R 上的函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1) )处的切线方程为 y= ﹣ ∴ , ,f(1)+ =2,

∴f(1)=2﹣ = , ∴f(1)﹣f′(1)= =2.

故答案为:2. 点评: 本题考查导数的几何意义的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

14.已知:sinθ+cosθ=



<θ<π) ,则 tanθ= ﹣2 .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 把已知等式两边平方, 利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简, 整理求 出 2sinθcosθ 的值, 解答: 解:把 sinθ+cosθ=
2

①两边平方得:

(sinθ+cosθ) =1+2sinθcosθ= , 即 2sinθcosθ=﹣ , ∵ <θ<π,

∴sinθ>0,cosθ<0,即 sinθ﹣cosθ>0, ∴(sinθ﹣cosθ) =1﹣2sinθcosθ= , 即 sinθ﹣cosθ= ②, ,cosθ=﹣ ,
2

联立①②得:sinθ=

则 tanθ=﹣2, 故答案为:﹣2 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

15.已知 p: 数 a 的取值范围是

,q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0,若 p 是¬q 的充分不必要条件,则实 .

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的解法. 分析: 由已知可得:p: ,q:x<a,或 x>a+1,再由求命题否定的方法求出 q,
?

结合充要条件的判定方法,不难给出答案. 解答: 解:∵p: ,

q: (x﹣a) (x﹣a﹣1)>0, ∴q:x<a,或 x>a+1 ? ∴ q:a≤x≤a+1 ? 又∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴

解得: 则实数 a 的取值范围是

故答案为: 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系. 16.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,若在区
2

间[﹣1,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 [5, +∞) . 考点: 抽象函数及其应用;函数的零点与方程根的关系. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x+1)=﹣ ,可得 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶
2

函数,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,可得函数在[﹣1,3]上的解析式.根据题意可得函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2 有 4 个交点,即可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ 故 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函数,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,可得当 x∈[0,1]时,f(x)=x , 2 2 故当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,当 x∈[1,3]时,f(x)=(x﹣2) . 由于函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2) 有 4 个交点, 所以可得 1≥loga(3+2) , ∴实数 a 的取值范围是[5,+∞) . 故答案为:[5,+∞) . 点评: 本题主要考查函数的周期性的应用, 函数的零点与方程的根的关系, 体现了转化的 数学思想,属于基础题. 三、解答题(解答要有必要的文字说明或演算过程,否则不得分.共 70 分) 17. (10 分) (2015 秋?石嘴山校级月考) (1)已知 tan(3π+α)=3,试求 的值. (2)已知角 α 的终边经过点 P(﹣4,3) ,求 sinαcosα+cos α﹣sin α+1 的值. 考点: 同角三角函数基本关系的运用;任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值.
2 2 2 2

,故有 f(x+2)=f(x) ,

分析: (1)原式利用诱导公式化简,再利用同角三角函数间基本关系变形,将已知等式 变形后代入计算即可求出值; (2) 利用任意角的三角函数定义求出 tanα 的值, 原式利用同角三角函数间的基本关系变形, 将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵tan(3π+α)=tanα=3, ∴原式= (2)∵角 α 的终边经过点 P(﹣4,3) , ∴sinα= = ,cosα=﹣ =﹣ ,即 tanα=﹣ , = = = = ;

则原式=

=

=

=



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用, 以及任意角的三角函数定义, 熟练掌握 同角三角函数间的基本关系是解本题的关键. 18. (12 分) (2015 春?淄博校级期末)已知 p:x +4mx+1=0 有两个不等的负数根,q:函数 2 x f(x)=﹣(m ﹣m+1) 在(﹣∞,+∞)上是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出命题 p,q 成立的等价条件,结合复合命题的真假关系进行求解即可. 解答: 解:p:x +4mx+1=0 有两个不等的负根?
2 2

,解得 m> ﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) 2 x 2 q:函数 f(x)=﹣(m ﹣m+1) 在(﹣∞,+∞)上是增函数,则 0<m ﹣m+1<1,解得 0 <m<1﹣﹣﹣(5 分) 若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则 p,q 为一真,一假, (1)若 p 真,q 假,则 ,解得 m≥1;﹣﹣﹣﹣(8 分)

(2)若 p 假,q 真,则

,解得 0<m≤ ﹣﹣﹣﹣(11 分)

综上,得 m≥1,或 0<m≤ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查复合命题之间的关系的应用,求出命题 p,q 的等价条件是解决本题 的关键. 19. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)已知函数 f(x)=x﹣klnx,常数 k>0.

(1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,根据 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,可求 k 的值,令 f′(x)> 0,可得函数 F(x)的单调递增区间,令 f′(x)<0,可得单调递减区间; (2)根据函数 g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,可得 g′(x)=2x﹣k(1+lnx)≥0 对 x∈(1,2)恒成立,即 k≤ 范围. 解答: 解(1) :求导函数,可得 f′(x)=1﹣ ,因为 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,f′ (1)=0, ∴k=1, ∴f′(x)=1﹣ , 令 f′(x)>0,可得 x∈(1,+∞)∪(﹣∞,0) , ∵x>0, ∴x∈(1,+∞) 令 f′(x)<0,可得 x∈(0,1) , 故函数 F(x)的单调递增区间是(1,+∞) ,单调递减区间是(0,1) . (2) :因为函数 g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,则 g′(x)=2x﹣k(1+lnx)≥0 对 x∈(1,2)恒成立,即 k≤ 令 h(x)= ∴h′(x)= 对 x∈(1,2)恒成立. 对 x∈(1,2)恒成立, 对 x∈(1,2)恒成立,求出最小值,即可求得 k 的取值

所以 h(x)在(1,2)单调递增,hmin(x)>h(1)=2, ∴k≤2. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,解题的关键是分 离参数,确定函数的最值. 20. (12 分) (2014 春?南安市校级期末)函数 数,且 (1)确定函数 f(x)的解析式 (2)若函数 f(x)在(﹣1,1)是单调递增函数,求解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 综合题;方程思想;转化思想. 是定义在(﹣1,1)上的奇函

分析: (1)由题意,可先由函数

是定义在(﹣1,1)上的奇函数及

求出 a,b 的值,由此可得函数的解析式; (2)先由函数是奇函数,将不等式 f(t﹣1)+f(t)<0 变为 f(t﹣1)<f(﹣t) ,再由函

数 f(x)在(﹣1,1)是单调递增函数,可将不等式等价转化为

,解之即

可得到不等式的解集

解答: 解: (1)依题意得



解得

∴ (2)∵f(x)在(﹣1,1)是奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∴f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t) ∵f(x)在(﹣1,1)上是增函数



,解得

∴不等式的解集为 点评: 本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式, 建立方程求参数, 是函数性质考查 的常见题型,也是高考的热点,本题考查了方程的思想与转化的思想,有一定的综合性 21. (12 分) (2015 秋?石嘴山校级月考)某地区有 100 户农民,都从事水产养殖.据了解, 平均每户的年收入为 3 万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分农民从事水产加 工.据估计,如果能动员 x(x>0)户农民从事水产加工,那么剩下的继续从事水产养殖的 农民平均每户的年收入有望提高 2x%,而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为 万元. (1)在动员 x 户农民从事水产加工后,要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前 从事水产养殖的农民的总年收入,求 x 的取值范围; (2)若 0<x≤25,要使这 100 户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水 产养殖的农民的总年收入,求 a 的最大值. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用.

分析: (1)由题中条件:“从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的 年总收入”得到一个不等关系,列不等式得 x 的取值范围; (2)问题先转化成一个不等关系,然后分离参数 a,利用基本不等式及单调性求出最值得 答案. 解答: 解: (1)由题意得 3(100﹣x) (1+2x%)≥3×100, 2 即 x ﹣50x≤0,解得 0≤x≤50, ∵x>0,∴0<x≤50; (2)从事水产加工的农民的年总收入为 3(a﹣ )x 万元,

从事水产种植农民的年总收入为 3(100﹣x) (1+2x%)万元, 根据题意得,3(a﹣ 即 ax≤100+x+ 又 x>0,∴a≤ 而 + +1≥2 + )x≤3(100﹣x) (1+2x%)恒成立,

恒成立. + +1 恒成立, +1=5(当且仅当 x=50 时取得等号) , +1 的递减区间,即有 x=25 时,取得最小值,且为 4+1+1=6,

由(0,25]为

∴a 的最大值为 6. 点评: 本题主要考查函数在实际生活中的应用、 考查了利用基本不等式求最值, 考查数学 转化思想方法,属中档题.

22. (12 分) (2015?汕头模拟)已知函数 f(x)=(2﹣a)lnx+ +2ax(a≤0) . (Ⅰ)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a∈(﹣3,﹣2) ,x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,求导,令 f′(x)=0,解方程,分析导数的变化 情况,确定函数的极值; (Ⅱ)当 a<0 时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数 f(x)单调区间; (Ⅲ)若对任意 a∈(﹣3,﹣2)及 x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2) |成立,求函数 f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)依题意知 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=0 时,f(x)=2lnx+ ,f′(x)= ﹣ = ,

令 f′(x)=0,解得 x= , 当 0<x< 时,f′(x)<0; 当 x≥ 时,f′(x)>0 又∵f( )=2ln =2﹣2ln2

∴f(x)的极小值为 2﹣2ln2,无极大值. (Ⅱ)f′(x)= ﹣ +2a= ,

当 a<﹣2 时,﹣ < , 令 f′(x)<0 得 0<x<﹣ 或 x> , 令 f′(x)>0 得﹣ <x< ; 当﹣2<a<0 时,得﹣ > , 令 f′(x)<0 得 0<x< 或 x>﹣ , 令 f′(x)>0 得 <x<﹣ ;

当 a=﹣2 时,f′(x)=﹣

≤0,

综上所述,当 a<﹣2 时 f(x) ,的递减区间为(0,﹣ )和( ,+∞) ,递增区间为(﹣ , ) ; 当 a=﹣2 时,f(x)在(0,+∞)单调递减; 当﹣2<a<0 时,f(x)的递减区间为(0, )和(﹣ ,+∞) ,递增区间为( ,﹣ ) . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间[1,3]上单调递减, 当 x=1 时,f(x)取最大值; 当 x=3 时,f(x)取最小值; |f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣[(2﹣a)ln3+ +6a]= ﹣4a+(a﹣2)ln3, ∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立, ∴(m+ln3)a﹣2ln3> ﹣4a+(a﹣2)ln3 整理得 ma> ﹣4a,

∵a<0,∴m<

﹣4 恒成立, < ﹣4<﹣ ,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣ ∴m≤﹣ .

点评: 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题,在求函数的单调区间时,体现 了分类讨论的思想方法;恒成立问题,转化为函数的最值问题,体现了转化的思想.属


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