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2014-2015学年江苏省徐州市新沂二中高一(下)月清数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省徐州市新沂二中高一(下)月清数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置 上 1. (5 分) (2014 春?徐州期末)过点(2,1)且斜率为 2 的直线方程为 2x﹣y﹣3=0 . 考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点斜式方程求解. 解答: 解:过点(2,1

)且斜率为 2 的直线方程为: y﹣1=2(x﹣2) , 整理,得 2x﹣y﹣3=0. 故答案为:2x﹣y﹣3=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要注意点斜式方程的合理运用. 2. (5 分) (2015?盐城校级模拟)直线 x﹣y+3=0 在 y 轴上的截距为 3 . 考点: 确定直线位置的几何要素;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 通过 x=0 求出 y 的值,即可得到结果. 解答: 解:直线 x﹣y+3=0,当 x=0 时,y=3, 直线 x﹣y+3=0 在 y 轴上的截距为:3. 故答案为:3. 点评: 本题考查直线方程的应用,直线的截距的求法,基础题. 3. (5 分) (2014 春?宿迁期末)已知数列{an}的通项公式为 an= 项. 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由通项公式的定义,令 an= 解答: 解:在数列{an}中, ∵an=
2

,那么

是它的第 4

,解出 n 即可.

=



∴n +n=20, 解得 n=4 或 n=﹣5(舍去) ; ∴ 是{an}的第 4 项.

故答案为:4. 点评: 本题考查了通项公式的应用问题,解题时直接应用通项公式的定义,即可解出 n 的值, 是容易题.

4. (5 分) (2014 春?宿迁期末)已知等差数列{an}中,a4=2,a6=6,Sn 是其前 n 项和,则 S9= 36 . 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a4=2,a6=6, ∴S9= = = =36.

故答案为:36. 点评: 本题考查等差数列的前 9 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列 的性质的合理运用. 5. (5 分) (2014 春?宿迁期末)在△ ABC 中,A=30°,B=120°,b=12,则 c= 4 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 易求角 C,由正弦定理得 ,解出即可. .

解答: 解:在△ ABC 中,A=30°,B=120°,则 C=30°, 由正弦定理,得 ,解得 c=4 ,

故答案为:4 . 点评: 该题考查正弦定理及其应用,熟记定理的内容并能灵活应用是解题关键. 6. (5 分) (2015 春?宿迁校级期中)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2 ﹣3,则数列{an} 的通项公式为 .
n

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析:根据数列的前 n 项和与第 n 项的关系求通项公式. 借助公式 进行求解,注意讨论 解答: 解:解:当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2 ﹣2)﹣(2 当 n=1 时,a1=﹣1,不满足上式;
n n﹣1

﹣2)=2?2

n﹣1

=2

n



故答案为: 点评: 本题考查了数列的求和公式,解题时要根据实际情况注意公式的灵活运用,注意对首 项的验证;属于中档题 7. (5 分) (2014 春?宿迁期末)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinB= ,则角 B 的大小是 .

考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用余弦定理表示出 cosB,代入已知等式求出 tanB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:在△ ABC 中,cosB= 代入已知等式得:sinB=cosB,即 tanB=1, 则 B= . ,

故答案为: 点评: 此题考查了余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题 的关键. 8. (5 分) (2014 春?徐州期末)如图,给出一个算法的伪代码,则 f(﹣2)+f(3)= ﹣1 .

考点: 选择结构. 专题: 算法和程序框图.

分析: 算法的功能是求 f(x)= 可得答案.

的值,分别求得 f(﹣2)和 f(3)的值,

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 f(x)=

的值,

∴f(﹣2)=﹣2×4﹣1=﹣9; 3 f(3)=2 =8; ∴f(﹣2)+f(3)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了选择结构的程序语句,根据语句判断算法的功能是关键. 9. (5 分) (2014 春?徐州期末)如图是一个算法流程图,则输出的 a 的值是 26 .

考点: 专题: 分析: 解答:

程序框图. 算法和程序框图. 根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 a<10,跳出循环,计算输出 a 的值. 解:由程序框图知:第一次循环 a=1+1=2;
2

第二次循环 a=2 +1=5; 2 第三次循环 a=5 +1=26, 不满足条件 a<10,跳出循环,输出 a=26. 故答案为:26. 点评: 本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题 的常用方法.
2

10. (5 分)存在实数 x,使得 x ﹣4bx+3b<0 成立,则 b 的取值范围是 b> 或 b<0 .

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;转化思想.

分析: 先把原命题等价转化为存在实数 x,使得函数 y=x ﹣4bx+3b 的图象在 X 轴下方,再利 用开口向上的二次函数图象的特点,转化为函数与 X 轴有两个交点,对应判别式大于 0 即可 解题. 2 解答: 解:因为命题:存在实数 x,使得 x ﹣4bx+3b<0 成立的等价说法是: 2 存在实数 x,使得函数 y=x ﹣4bx+3b 的图象在 X 轴下方, 即函数与 X 轴有两个交点,故对应的△ =(﹣4b) ﹣4×3b>0?b<0 或 b> . 故答案为:b<0 或 b> . 点评: 本题主要考查二次函数的图象分布以及函数图象与对应方程之间的关系,是对函数知 识的考查,属于基础题.
2

2

11. (5 分) (2014?奉贤区二模)设实数 x,y 满足

,则 x﹣2y 的最大值等于 2 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:设 z=x﹣2y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分) : 平移直线 y= , ,过点 B(2,0)时,直线 y= 的截距最小,此时 z 最大,

由图象可知当直线 y=

代入目标函数 z=x﹣2y,得 z=2 ∴目标函数 z=x﹣2y 的最大值是 2. 故答案为:2.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利 用数形结合是解决问题的基本方法.

12. (5 分)已知△ ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ ABC 的面积为 15 . 考点: 余弦定理;数列的应用;正弦定理. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 因为三角形三边构成公差为 4 的等差数列,设中间的一条边为 x,则最大的边为 x+4, 最小的边为 x﹣4,根据余弦定理表示出 cos120°的式子,将各自设出的值代入即可得到关于 x 的方程,求出方程的解即可得到三角形的边长,然后利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解:设三角形的三边分别为 x﹣4,x,x+4, 则 cos120°= 化简得:x﹣16=4﹣x,解得 x=10, 所以三角形的三边分别为:6,10,14 则△ ABC 的面积 S= ×6×10sin120°=15 . =﹣ ,

故答案为:15 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值, 是一道中档题. 13. (5 分) (2014 春?徐州期末)已知关于 x 的不等式 ax﹣b<0 的解集是(3,+∞) ,则关于 x 的不等式 >0 的解集是 (﹣3,2) .

考点: 其他不等式的解法;一次函数的性质与图象. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 a<0,且 =3.可得关于 x 的不等式 >0,即 <0,即(x+3)

(x﹣2)<0,由此求得它的解集. 解答: 解:∵关于 x 的不等式 ax﹣b<0,即 ax<b 的解集是(3,+∞) , ∴a<0,且 =3.

∴关于 x 的不等式

>0,即

<0,即

<0,即 (x+3) (x﹣2)<0,

求得﹣3<x<2, 故答案为: (﹣3,2) . 点评: 本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题.

14. (5 分)若 a>0,b>0,且

,则 a+2b 的最小值为



考点: 基本不等式.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把 a+2b 变形为 a+2b= a+2b= 解答: 解:∵a>0,b>0,且 ∴a+2b= = ﹣ = 当且仅当 ∴a+2b 的最小值为 故答案为 . ,a>0,b>0,且 . = . ,即 ,a= 时取等号. = , ,再利用已知可得 ,利用基本不等式即可得出.

点评: 恰当变形利用基本不等式是解题的关键. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (14 分) (2014 春?徐州期末)在锐角△ ABC 中,已知 a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且 S△ ABC= ,求 a+b 的值.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把已知等式中的边转换成角的正弦,化简可求得 sinC 的值,进而 求得 C. 2 2 (2)先根据三角形面积公式求得 ab 的值,进而利用余弦定理和 C 求得 a +b 的值,最后通过 配方法求得 a+b. 解答: 解: (1)∵ a=2csinA, ∴ sinA=2sinCsinA, ∵sinA≠0, ∴sinC= ∵0<A< ∴C= . , , ,

(2)S△ ABC= absinC=

∴ab=6, cosC= ∴a +b =13, ∴a+b= = =5.
2 2

=

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.在解三角形过程中往往需要用正弦定理 和余弦定理对三角形问题进行边角问题的转化. 16. (14 分) (2014 春?徐州期末)已知等差数列{an}中,a3=8,a9=2a4,Sn 是等比数列{bn}的 前 n 项和,其中 S3= ,S6= .

(1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)设 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差,由此能出 an=2n+2.利用 等比数列的前 n 项和公式求出等比数列的首项和公比,由此能求出 bn=2?( ) . (2)cn= = =(n+1)?3 .由此利用错位相减法能示出{cn}的前 n 项和 Tn.
n n

解答: 解: (1)∵等差数列{an}中,a3=8,a9=2a4, ∴ ,解得 a1=4,d=2,

∴an=4+(n﹣1)×2=2n+2. ∵Sn 是等比数列{bn}的前 n 项和,其中 S3= ,S6= ,



,解得 q= ,



∴bn= (2)cn= =

=2?( ) . =(n+1)?3 .
n

n

Tn=2×3+3×3 +4×3 +…+(n+1)×3 ,① ,② ①﹣②,得:﹣2Tn=6+3 +3 +…+3 ﹣(n+1)×3 =6+ = ﹣(n﹣2)×3 ∴Tn= ﹣(n+1)×3
n+1 n+1 2 3 n n+1

2

3

n



﹣ .

点评: 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错 位相减法的合理运用. 17. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx+1 (1)若 f(x)>0 的解集是{x|x<3 或 x>4},求实数 a,b 的值. (2)若 f(﹣1)=1 且 f(x)<2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意得:a>0 且 3,4 是方程 ax +bx+1=0 的两个根.利用根与系数的关系解 出即可. (2)由 f(﹣1)=1,解得 a=b.而 f(x)<2 恒成立,即:ax +bx﹣1<0 恒成立.所以 a<0 2 且△ =b +4a<0,解出即可. 2 解答: 解 (1)由题意得:a>0 且 3,4 是方程 ax +bx+1=0 的两个根.
2 2 2

所以

,解得





(2)由 f(﹣1)=1,解得 a=b, 而 f(x)<2 恒成立,即:ax +bx﹣1<0 恒成立. 当 a=0 时,显然恒成立. 2 2 当 a≠0 时,必须 a<0 且△ =b +4a<0,即 a +4a<0,解得﹣4<a<0, 故所求的 a 的取值范围是(﹣4,0]. 点评: 熟练掌握一元二次不等式的解法与判别式的关系、根与系数的关系是解题的关键. 18. (16 分) (2014?南通一模)如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60°的方向,且在港口 A 北偏西 30°的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北 偏东 30°的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小 时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船.已知两船同时出发, 补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇?
2

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (1)给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间,已知其速度,则只要求得 AB 的路程, 再利用路程公式即可求得所需的时间. (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合,根据题意 确定各边长和各角的值,然后由余弦定理解决问题. 解答: 解: (1)由题意知,在△ OAB 中,OA=120,∠AOB=30°,∠OAB=60°. 于是 AB=60,而快艇的速度为 60 海里/小时, 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时. …(5 分) (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合. 为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行, 设 t 小时后恰与科考船在 C 处相遇.…(7 分) 在△ OAB 中,OA=120,∠AOB=30°,∠OAB=60°,所以 , 而在△ OCB 中,BC=60t,OC=20(2+t) ,∠BOC=30°,…(9 分) 2 2 2 由余弦定理,得 BC =OB +OC ﹣2OB?OC?cos∠BOC, 即 亦即 8t +5t﹣13=0,解得 t=1 或
2

, (舍去) .…(12 分)

故 t+2=3.即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇.…(14 分) 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,考查学生分析解决问题的能力.余弦定理在解实际问 题时有着广泛的应用,一定要熟练的掌握.

19. (16 分) (2015 春?宿迁校级期中) 已知数列{an}, {bn}满足 a1= , an+bn=1, bn+1= (1)求 b1,b2,b3,b4; (2)求证:数列 是等差数列,并求出数列{bn}通项公式;



(3)设 Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求证:Sn< .

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等差关系的确定;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)通过 an+bn=1 变形可得 bn+1=

,代入计算即可;

(2)通过 bn+1=

,变形可得



=﹣1,进而可得结论;

(3)通过 bn=

可得 anan+1=



,并项相加即可.

解答: (1)解:∵an+bn=1, ∴bn+1= = = = ,

又∵a1= , ∴b1=1﹣a1=1﹣ = , ∴b2= = = ,

b3=

=

= ,

b4=

=

= ;

(2)证明:∵bn+1=





=





=







=﹣1,

又∵

=

=﹣4,

∴数列

是以﹣4 为首项、﹣1 为公差的等差数列,





∴bn=1﹣

=

; , , = ﹣ , = .

(3)证明:∵bn= ∴ ∴anan+1= ∴

点评: 本题考查数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20. (16 分) (2014 春?宿迁期末)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的 * 2 n∈N ,都有 2Sn=an +an. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 b1=1,2bn+1﹣bn=0(n∈N ) ,且 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3)在(2)的条件下,是否存在整数 m,使得对任意的正整数 n,都有 m﹣2<Tn<m+2.若 存在,求出 m 的值;若不存在,试说明理由. 考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)易求 a1=1,n≥2 时, ,化简可得 an﹣an﹣1=1,可 知{an}为等差数列,易求 an; (2)由条件可知{bn}为等比数列,易求 bn,cn,利用错位相减法可求得 Tn; (3)只需求得 Tn 的范围,由(2)知 Tn<4.由数列单调性可得 Tn≥T1=1,于是可得 m; 2 解答: 解: (1)当 n=1 时,2S1=a1 +a1.∴a1=1, 当 n≥2 时, 整理,得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵an+an﹣1>0,∴an﹣an﹣1=1, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. (2)由 b1=1, ∴ ∴Tn=1+2× + , ,① ,得 , ,

,② ①﹣②,得

=

, ∴Tn=4﹣(n+2) .

(3)由(2)知,对任意 n∈N*,都有 Tn<4. ∵ ,

∴Tn≥T1=1,∴0<Tn<4(n∈N*) . 故存在整数 m=2,使得对于任意 n∈N*,都有 m﹣2<Tn<m+2. 点评: 该题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查数列求和,考查学生综合运用知识分 析问题解决问题的能力,错位相减法对数列求和是考查重点,要熟练掌握.


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