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数列解答题练习答案


13-14 学年度上学期高三理数综合练习

高三理科数学寒假作业 数列答案
1.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为 bm,求 数列{bm}的前 m 项和 Sm. 解 (1)因为{an}是一个等差数列, 所以 a3+a4+a5=3a4=84,即 a4=28. 设数列{an}的公差为 d,则 5d=a9-a4=73-28=45,故 d=9. 由 a4=a1+3d 得 28=a1+3×9,即 a1=1. 所以 an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8(n∈N*). (2)对 m∈N*,若 9m<an<92m, 则 9m+8<9n<92m+8,因此 9m-1+1≤n≤92m-1, 故得 bm=92m-1-9m-1. 于是 Sm=b1+b2+b3+…+bm =(9+93+…+92m-1)-(1+9+…+9m-1) 9×?1-81m? 1-9m = - 1-81 1-9 2m+1 m 9 -10×9 +1 = . 80 2.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解 (1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3 +aq2=3+q2,由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a -1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 1 代入(*)得 a=3. 3.在等比数列{an}中,a2=6,a3=18, (1)求数列{an}的通项公式;
1

(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由 a2=6,a3=18,得公比 q=3, 因此 a1=2, 故 an=2· 3n-1. (2)因为 bn=an+(-1)nln an =2· 3n-1+(-1)nln(2· 3n-1) =2· 3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3] =2· 3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 所以 Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]· (ln 2-ln 3)+[-1 n +2-3+…+(-1) n]ln 3. 所以当 n 为偶数时, 1-3n n n Sn=2× + ln 3=3n+2ln 3-1; 1-3 2 当 n 为奇数时, 1-3n ?n-1 ? Sn=2× -(ln 2-ln 3)+? ln 3 -n?· 1-3 ? 2 ? n-1 =3n- 2 ln 3-ln 2-1. n n ? ?3 +2ln 3-1,n为偶数, 综上所述,Sn=? n-1 n 3 - ? ? 2 ln 3-ln 2-1,n为奇数. an+an+1 4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= 2 ,n∈N*. (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. (1)证明 b1=a2-a1=1. an-1+an 1 1 当 n≥2 时,bn=an+1-an= 2 -an=-2(an-an-1)=-2bn-1,∴{bn} 1 是以 1 为首项,-2为公比的等比数列. ? 1? (2)解 由(1)知 bn=an+1-an=?-2?n-1, ? ? ? 1? 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+?-2?+… ? ? 1 ? ? +?-2?n-2 ? ?
2

? 1? - 1-?-2?n 1 ? ? 2? ? 1? ? =1+ =1+3?1-?-2?n-1? 1 ? ? ? ? ? ? 1-?-2? ? ? 5 2? 1? =3-3?-2?n-1. ? ? 5 2? 1? 当 n=1 时,3-3?-2?1-1=1=a1, ? ? 1 5 2? ? ∴an=3-3?-2?n-1(n∈N*). ? ? 5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), 又 S1-31=a-3(a≠3),故数列{Sn-3n}是首项为 a-3,公比为 2 的等比数 列, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*. (2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n -1 +(a-3)2n-2, 当 n=1 时,a1=a 不适合上式, ?a,n=1, 故 an=? n-1 n-2 ?2×3 +?a-3?2 ,n≥2. an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 ?3?n-2 ? - ? ? ? +a-3?, =2n 2?12· ? ?2? ? ?3?n-2 ?2? +a-3≥0?a≥-9. 当 n≥2 时,an+1≥an?12· ? ? 又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). (二)数列综合问题 (数列与函数、不等式等知识的综合问题) 3 1 1 6.在数列{an}中,a1=5,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= an-1 an-1 * (n∈N ). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
3

(1)证明 ∵an=2-

1

an-1

(n≥2,n∈N*),bn=

1 . an-1

1 1 ∴n≥2 时,bn-bn-1= - an-1 an-1-1 an-1 1 1 1 = - = - =1. 1 ? an-1-1 an-1-1 an-1-1 ? ?2-a ?-1 ? n-1? 1 5 又 b1= =-2. a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 1 2 (2)解 由(1)知,bn=n-2,则 an=1+b =1+ , 2n-7 n 2 设函数 f(x)=1+ , 2x-7 7? ?7 ? ? 易知 f(x)在区间?-∞,2?和?2,+∞?内均为减函数. ? ? ? ? ∴结合函数 f(x)的图象可得,当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3. 7.将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … 已知表中的第一列数 a1,a2,a5,…构成一个等差数列,记为{bn},且 b2 =4,b5=10.表中每一行正中间一个数 a1,a3,a7,…构成数列{cn},其前 n 项和为 Sn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数 列,公比为同一个正数,且 a13=1. ①求 Sn; ②记 M={n|(n+1)cn≥λ,n∈N*},若集合 M 的元素个数为 3,求实数 λ 的 取值范围. 解 (1)设等差数列{bn}的公差为 d, ?b1+d=4, ?b1=2, 则? 解得? ?b1+4d=10, ?d=2, 所以 bn=2n. (2)①设每一行组成的等比数列的公比为 q.
4

由于前 n 行共有 1+3+5+…+(2n-1)=n2 个数, 且 32<13<42, a10=b4=8, 1 所以 a13=a10q3=8q3,又 a13=1,所以解得 q=2. n ?1?n-1 ?2? = n-2. 由已知可得 cn=bnqn-1,因此 cn=2n· ? ? 2 1 2 3 n 所以 Sn=c1+c2+c3+…+cn= -1+20+21+…+ n-2, 2 2 n-1 1 1 2 n S n= 0+ 1+…+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 2 n+2 1 1 1 1 1 n 1 n 因此2Sn= -1+20+21+…+ n-2- n-1=4- n-2- n-1=4- n-1 , 2 2 2 2 2 2 n+2 解得 Sn=8- n-2 . 2 n?n+1? n ②由①知 cn= n-2,不等式(n+1)cn≥λ,可化为 n-2 ≥λ. 2 2 n?n+1? 设 f(n)= n-2 , 2 15 计算得 f(1)=4,f(2)=f(3)=6,f(4)=5,f(5)= 4 . ?n+1??2-n? 因为 f(n+1)-f(n)= , 2n-1 所以当 n≥3 时,f(n+1)<f(n). 因为集合 M 的元素个数为 3,所以 λ 的取值范围是(4,5]. 8.已知正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a2 n=Sn+Sn-1(n≥2),a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(1-an)2-a(1-an),若 bn+1>bn 对任意 n∈N*恒成立,求实数 a 的 取值范围. 解 (1)因为 a2 n=Sn+Sn-1(n≥2), 2 所以 an-1=Sn-1+Sn-2(n≥3), 2 两式相减得 an -a2 n-1=Sn-Sn-2=an+an-1, 所以 an-an-1=1(n≥3). 2 又 a2 =S2+S1,且 a1=1,得 a2 2-a2-2=0, 由 a2>0,得 a2=2,所以 an-an-1=1(n≥2).所以 an=n. (2)法一 bn=(1-n)2-a(1-n)=n2+(a-2)n+1-a, 令 g(t)=t2+(a-2)t+1-a, 2-a 3 当 2 <2时,即 a>-1 时,g(t)在[2,+∞)上为增函数,且 g(1)<g(2),所 以 b1<b2<b3<…;
5

2-a 3 当 2 ≥2时,即 a≤-1 时,g(1)≥g(2), 从而 b2≤b1 不合题意.所以 a>-1. 法二 令 bn+1-bn=2n+1+a-2>0, 所以 a>1-2n,对任意 n∈N*恒成立,所以 a>-1. 故实数 a 的取值范围是(-1,+∞). 9.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; n 1 a1 a2 an n (2)证明:2-3<a +a +…+ < (n∈N*). an+1 2 2 3 解:(1)∵an+1=2an+1(n∈N*), ∴an+1+1=2(an+1), ∴{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列 ∴an+1=2n. 即 an=2n-1(n∈N*) 2k-1 2k-1 1 ak (2)证明:∵ = = < ,k=1,2,…,n, ak+1 2k+1-1 ? k 1? 2 2?2 -2? ? ? a1 a2 an n ∴ + +…+ < . a2 a3 an+1 2 2k-1 1 ak 1 1 1 1 11 ∵ = = - = - k ≥ - ·k, ak+1 2k+1-1 2 2?2k+1-1? 2 3· 2 +2k-2 2 3 2 k=1,2,…,n, 1 ? n 1? 1? n 1 a1 a2 an n 1?1 1 ∴a +a +…+ ≥2-3?2+22+…+2n?=2-3?1-2n?>2-3, ? ? ? ? an+1 2 3 n 1 a1 a2 an n ∴2-3<a +a +…+ < (n∈N*). an+1 2 2 3 1 1? 3 1 1 10. 已知函数 f(x)=ax- x2 的最大值不大于 ,又当 x∈? ?4,2?时,f(x)≥8. 2 6
(1)求 a 的值; 1 1 (2)设 0<a1< ,an+1=f(an),n∈N*,证明:an< . 2 n+1 2 a 3 3 a x- ?2+ . (1)解 由题意,知 f(x)=ax- x2=- ? 2 2? 3? 6 a? a2 1 1 又 f(x)max≤ ,所以 f? ?3?= 6 ≤6. 6 2 所以 a ≤1. 1 1? 1 又当 x∈? ?4,2?时,f(x)≥8,

6

? ?f? ?2?≥8, 所以? 1? 1 ?f? ?4?≥8,

1

1

?2-8≥8, 即? a 3 1 ?4-32≥8,

a 3 1

解得 a≥1.

又因为 a2≤1,所以 a=1. (2)证明 用数学归纳法证明: 1 ①当 n=1 时,0<a1< ,显然结论成立. 2 1 1 ? 因为当 x∈? ?0,2?时,0<f(x)≤6, 1 1 所以 0<a2=f(a1)≤ < . 6 3 故 n=2 时,原不等式也成立. 1 ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式 0<ak< 成立. k+1 1? 3 1 因为 f(x)=ax- x2 的对称轴为直线 x= ,所以当 x∈? ?0,3?时,f(x)为增函数. 2 3 1 1 1 所以由 0<ak< ≤ ,得 0<f(ak)<f?k+1?. ? ? k+1 3 k+4 1 3 1 1 1 1 1 于是,0<ak+1=f(ak)< - · + - = - < . k+1 2 ?k+1?2 k+2 k+2 k+2 2?k+1?2?k+2? k+2 所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 1 根据①②,知对任何 n∈N*,不等式 an< 成立. n+ 1

11.设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=a2Sn+a1,其中 a2≠0. (1)求证:{an}是首项为 1 的等比数列; n (2)若 a2>-1,求证:Sn≤2(a1+an),并给出等号成立的充要条件. 证明 (1)由 S2=a2S1+a1,得 a1+a2=a2a1+a1, 即 a2=a2a1. a2 因 a2≠0,故 a1=1,得a =a2, 1 又由题设条件知 Sn+2=a2Sn+1+a1,Sn+1=a2Sn+a1, 两式相减得 Sn+2-Sn+1=a2(Sn+1-Sn), an+2 即 an+2=a2an+1,由 a2≠0,知 an+1≠0,因此 =a . an+1 2 an+1 综上, a =a2 对所有 n∈N*成立.从而{an}是首项为 1,公比为 a2 的等比 n 数列. n (2)当 n=1 或 2 时,显然 Sn=2(a1+an),等号成立.
7

-1 设 n≥3,a2>-1 且 a2≠0,由(1)知,a1=1,an=an 2 , 所以要证的不等式化为: n-1 n n-1 1+a2+a2 2+…+a2 ≤ (1+a2 )(n≥3), 2 n n+1 n 即证:1+a2+a2 2+…+a2≤ 2 (1+a2)(n≥2), 当 a2=1 时,上面不等式的等号成立. n-r 当-1<a2<1 时,ar 2-1 与 a2 -1,(r=1,2,…,n-1)同为负; - n r 当 a2>1 时,ar 2-1 与 a2 -1,(r=1,2,…,n-1)同为正; n-r r n-r n 因此当 a2>-1 且 a2≠1 时,总有(ar 2-1)(a2 -1)>0,即 a2+a2 <1+a2, (r=1,2,…,n-1). 上面不等式对 r 从 1 到 n-1 求和得 n -1 n 2(a2+a2 2+…+a2 )<(n-1)(1+a2). n n+1 n 由此得 1+a2+a2 2+…+a2< 2 (1+a2). n 综上,当 a2>-1 且 a2≠0 时,有 Sn≤2(a1+an),当且仅当 n=1,2 或 a2=1 时等号成立. 12.如下图,已知点 Q1 的横坐标为 a 1 (0 ? a 1 ? a ) 。从曲线 C: y ? x 2 上的点 Q n (n ? N? )

作直线平行于 x 轴,交直线 l: y ? ax 于点 Pn ?1 ,再从点 Pn ?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C 于点 Q n ?1 ,点 Q n ? (n ? 1,2,3, ?) 的横坐标构成数列 ?a n ? 。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)当 a ? 1 , a 1 ?

n 1 1 时,证明 ; (a k ? a k ?1 )a k ? 2 ? 32 2 k ?1

?

(3)当 a=1 时,证明

? (a
k ?1

n

k

1 ? a k ?1 )a k ? 2 ? ; 3

图4 解: (1)因为点 Q n (n ? N ) 在曲线 C: y ? x 2 上,
8
?

所以 Q n (a n , a 2 n) 因为直线 Q n Pn ?1 平行于 x 轴,且交直线 l: y ? ax 于点 Pn ?1 ,

1 a 因为直线 Pn ?1Q n ?1 平行于 y 轴,且交曲线 C: y ? x 2 于点 Q n ?1 , 1 1 4 所以 Q n ?1 ( ? a 2 n, 2 ?an ) a a 1 因此点 Q n ?1 的横坐标为 a n ?1 ? ? a 2 n a 1 1 1 2 2 ?a n ? ? a 2 ( ? a n ?2 ) n ?1 ? a a a 2 1 ? ( )1? 2 a 2 n ?2 a 1 1? 2 1 2 22 ? ( ) ( ? a n ?3 ) a a 2 3 1 ? ( )1? 2? 2 a 2 n ?3 a ?? 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ( )1? 2? 2 ??? 2 a 1 a 1 2n ?1 ?1 2n ?1 ?( ) a1 a a n ?1 即 a n ? a ? ( 1 )2 a a n ?1 (2)证明:由(1)知 a n ? a ? ( 1 ) 2 a 2n ?1 而 a=1,所以 a n ? a 1 1 因为 0 ? a 1 ? ,所以易判断数列 ?a n ? 是递减正数列, 2 1 1 23?1 4 所以当 k ? 1 时, a k ?2 ? a 3 ? a 1 ? a1 ? ( )4 ? 2 16 n n 1 所以 (a k ? a k ?1 )a k ? 2 ? (a k ? a k ?1 ) 16 k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 ? (a 1 ? a n ?1 ) ? a 1 ? ? ? 16 16 16 2 32 (3)由(2)知数列 ?a n ? 是递减正数列 1 2 2 2 所以 a n ?2 ? a 2 n ?1 ? (a n ?1 ? a n ?1 ? a n ?1 ) 3 1 2 ? (a 2 n ?1 ? a n ?1a n ? a n ), n ? 1,2,3, ? 3
2 所以 Pn ?1 ( ? a 2 n ,an )

?

?

9

从而

? (a
k ?1 n

n

k

? a k ?1 )a k ? 2

?
?

1 2 [(a k ? a k ?1 )(a 2 n ?1 ? a n ?1a n ? a n )] 3 k ?1

?

1 n 3 [( a 3 k ? a k ?1 )] 3 k ?1

?

1 3 1 3 1 1 3 1 ? (a 1 ? a3 a1 ? ( ) ? n ?1 ) ? 3 3 3 2 3
评注:解(2) (3)的关键均是利用数列 ?a n ? 的单调性分别得到 a k ?2 ?
2 及 a n ?2 ? (a 2 n ?1 ? a n ?1a n ? a n ) ,使不等式得以证明。

1 (k ? 2) 以 16

1 3

10


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