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【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:9.6二项式定理(人教A版·数学理)


温馨提示: 此套题为 Word 版, 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴, 调节合 适的观看比例,答案解析附后。

课时提能演练(六十二)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·丽水模拟)(2x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ a0,则 a2 =( (A)60 ) (B)-60 (C

)160 (D)15 100 分)

2.(2011·重庆高考)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等,则 n=( (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 )

3.(x+1)2+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+ a11(x+2)11,则 a1=( )

(A)9 (B)-10 (C)11 (D)-12 4.(预测题)若( 3x- 3 整数 n 的最小值是( 1 )n 的展开式中含有非零常数项, 则这样的正

2x )

(A)3 (B)4 (C)10 (D)12 5.(1+ax+by)n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243,不含 y 的项的系数绝对值的和为 32,则 a,b,n 的值可能为( )

(A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5 a1 a2 6.(易错题)若(1-2x)2 013=a0+a1x+…+a2 013x2 013(x∈R),则 + 2 2 2 +…+
a 2013 的值为 ( 2 2013

)

(A)2 (B)0 (C)-1 (D)-2 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 1 7.(2012·温州模拟)若(x+ )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展 x 开式的常数项为 .

8.(2011·安徽高考)设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,则 a10+ a11= .

9.(2012·杭州模拟)设(2x-1)5+(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 +a5x5,则|a0|+|a2|+|a4|= 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 3 11.已知 f(x)=( x2+3x2)5, .

(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 【探究创新】 (16 分)设(5x 2 -x 3 )n 的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和 为 N,M-N=992. (1)判断该展开式中有无 x2 项?若有,求出它的系数;若没有,说明 理由; (2)求此展开式中有理项的项数.
1 1

答案解析
1.【解析】选 A.由题意可知(2x-1)6=(1-2x)6 ∴T3= C6 216-2 (-2x)2 =60x2, 因此 a2=60. 2.【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出 x5 与 x6 的系数,然 后根据系数相等求出 n 的值. 【解析】选 B.x5 的系数为 35Cn5,x6 的系数为 36Cn6,由 35Cn5=36Cn6,可 得 Cn5=3Cn6,解之得 n=7. 3.【解析】选 A. (x+1)2+(x+1)11=(x+2-1)2+(x+2-1)11,所 以 a1=-2+ C1110 =-2+11=9.

4.【解析】选 B.Tr+1=Cnr ( 3x)n-r(- 3 1)r( 1 3 2 1 3 ∴n 取最小值为 4. 2 )rx
4 n- r 3

1

)r=Cnr ( 3)n-r·(-

2x

)r·xn-r·x

?

r 3

=Cnr ( 3)n-r(-

4 4 ,令 n- r=0,得 n= r. 3 3

5.【解析】选 D.不含 x 的项的系数的绝对值为(1+|b|)n=243=35, 不含 y 的项的系数的绝对值为(1+|a|)n=32=25,∴n=5,
? ?1+|b|=3, ? ? ?1+|a|=2.

再验证选项知应选 D.

1 a1 a2 a 6.【解析】选 C.令 x=0 得 a0=1;令 x= 得 a0+ + 2+…+ 2013 = 2 2 2 2
2013

a1 a2 a 0,故 + 2+…+ 2013 =-1. 2 2 2
2013

7.【解析】由已知 2n=64,∴n=6. 1 ∴展开式的通项为 Tr+1=C6rx6-r( )r=C6rx6-2r, x 令 6-2r=0,得 r=3. ∴常数项为 T4=C63=20. 答案:20 8.【解析】利用二项式展开式的性质,可知第 11 项和第 12 项二项式 系数最大,从而这两项的系数互为相反数,即 a10+a11=0. 答案:0

9. 【解析】 由(2x-1)5+(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 可得 常数项 a0=(-1)5+24=15, x2 项的系数为 a2=C53×22×(-1)3+C42×22=-16, x4 项的系数为 a4=C51× 24×(-1)1+C40×20=-79,则|a0|+|a2|+ |a4|=15+16+79=110. 答案:110 10.【解析】令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1① 令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37② (1)∵a0=C70=1,∴a1+a2+…+a7=-2. (2) (①-②)÷2 得: a1+a3+a5+a7=
?1 ? 37 =-1 094. 2

(3) (①+②)÷2 得: -1+37 a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)∵(1-2x)7 展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7) =1 093+ 1 094=2 187. 11. 解析】 【 (1)由题意可知展开式中二项式系数最大的项为中间两项,

它们是 T3=C52(x 3 )3(3x2)2=90x6, T4=C53(x 3 )2(3x2)3=270x 3 . (2)展开式通项为 Tr+1=C5r3r·x 3 假设 Tr+1 项系数最大,则有 ?
2 (5+2r) 2 22 2

.

?C5 r 3r ? C5 r ?1 ? r ?1 3 ? r r r ?1 3r ?1 ?C5 3 ? C5 ? ?

5! 5! ?(5-r)!r!×3≥(6-r)!(r-1)!, ? ∴? 5! 5! ≥ ?(5-r)!r! (4-r)!(r+1)!×3. ? 1 ?3≥6-r, ?r ∴? 1 3 ?5-r≥r+1. ? 7 9 ∴ ≤r≤ ,∵r∈N,∴r=4. 2 2 ∴展开式中系数最大的项为 T5=C54 x 3 (3x2)4=405x 3 . 【方法技巧】关于最大项的求解技巧 (1)求二项式系数最大的项: n ①如果 n 是偶数,则中间一项(第( +1)项)的二项式系数最大; 2 n+1 n+1 ②如果 n 是奇数,则中间两项(第 项与第( +1)项)的二项式 2 2 系数相等并最大. (2)求展开式系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最 大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 A0,A1,
2 26

?Ar≥Ar-1 ? A2,…,且第 r+1 项系数最大,应用? ?Ar≥Ar+1 ?

解出 r 来,即得系

数最大项. 【变式备选】在(1+2x)10 的展开式中, (1)求系数最大的项; (2)若 x=2.5,则第几项的值最大? 【解析】(1)设第 r+1 项的系数最大,由通项公式得 Tr+1=C10r·2rxr, 依题意知 Tr+1 项的系数不小于 Tr 项及 Tr+2 项的系数.
?C10 r ?2 r ? C10 r ?1 ?2 r ?1 ? 则? r r r ?1 r ?1 ?C10 ?2 ? C10 ?2 ?

? ?2(11-r)≥r 解得? ? ?r+1≥2(10-r)

19 22 ∴ ≤r≤ 且 r∈Z,∴r=7, 3 3 故系数最大的项为 T8=C107·27·x7=15 360x7. (2)设展开式中的第 r+1 项的值最大, 则 Tr+1≥Tr>0,Tr+1≥Tr+2>0 ∴
Tr ?1 T ≥1, r ? 2 ≤1. Tr Tr ?1

? C10 r (2x) r 11 ? r ? ?2x ? 1 ? r ?1 r ?1 r ? C10 (2x) ∴ ? r ?1 r ?1 ? C10 (2x) ? 10 ? r ?2x ? 1 ? C10 r (2x) r r ?1 ?

?5(11-r)≥1 ? r 将 x=2.5 代入得? 5(10-r) ? r+1 ≤1 ?

49 55 得 ≤r≤ . 6 6 ∴r=9,即展开式中的第 10 项的值最大. 【探究创新】 【解析】令 x=1 得 M=4n,而 N=2n,由 M-N=992, 得 4n-2n=992.即(2n-32)·(2n+31)=0, 故 2n=32,n=5. (1)Tk+1=C5k·(5x 2 )5-k(-x 3 )k=(-1)k·C5k·55-k·x (-1)k·C5k·55-k·x
15 ? k 6 1 1 5? k 2 k

·x 3 =

15-k 由题意,令 =2, 6 解得 k=3,故含 x2 项存在. 它的系数为(-1)3·C53·55-3=-250.

?15-k∈Z ? 6 (2)展开式中的有理项应满足? 0≤k≤5 ?k∈Z ?
即展开式中只有一项有理项.

,故 k 只能取 3,


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