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2016届甘肃省白银市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)


2016 年甘肃省白银市高考数学模拟试卷(理科) (4 月份)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1.设集合 A={x|x2﹣2x≤0},B={x|﹣4≤x≤0},则 A∩?RB=( ) A.R B.{x∈R|X≠0} C.{x|0<x≤2} D .? 2.求 z= 的值为( )

>
A.﹣i B.i C.

D.

3.如图,大正方形靶盘的边长为 5,四个全等的直角三角形围成一个小正方形,即阴影部 分. 较短的直角边长为 3, 现向大正方形靶盘投掷飞镖, 则飞镖落在阴影区域的概率为 ( )

A.

B.

C.

D. )

4.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B.

C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

5.函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2﹣4x+5 的图象的交点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 表面积为( )

A.96

B.

C.
2

D. ,则该双

7.已知双曲线的一个顶点与抛物线 y =4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 曲线的方程为( ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1C. ﹣ =1 D.5x2﹣ =1

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(



A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 9.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平面 BCD,△ BCD 是边长为 3 的等 边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为( ) A.4π B.12π C.16π D.32π 10.已知 sinφ= ,且 φ∈( 对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C. ,π) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的相邻两条 )的值为( )

,则 f( D.

11.设双曲线

的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的

离心率等于( ) A. B.2 C. D. 12.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x) ,且当 x≠2 时其导函数 f′ (x)满足 xf′(x)>2f′(x) ,若 2<a<4 则( ) a A.f(2 )<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ ABC 中,| + |=| ﹣ |,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则 = .

?

14.若实数 x,y 满足不等式组

,则 z=2y﹣|x|的最小值是



15.若(4

+ )n 的展开式中各项系数之和为 125,则展开式的常数项为 |,n∈N*,则数列{bn}的通项公式 bn=



16.设 a1=2,an+1=

,bn=|



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB=1, (Ⅰ)求 sin∠BAC; (Ⅱ)求 DC 的长. , , .

18. 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的 指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某地区 居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表所示: [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 幸福感指数 10 20 220 125 125 男居民人数 10 10 180 175 125 女居民人数 根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度, 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都 感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率) .

19.如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点, E,G 分别为 PC,CB 的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP∥平面 EFG;

(Ⅱ)当二面角 G﹣EF﹣D 的大小为

时,求 FG 与平面 PBC 所成角的余弦值.

20. 已知椭圆 M 的中心为坐标原点, 且焦点在 x 轴上, 若 M 的一个顶点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点,M 的离心率 ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l,交 M 于 A,B 两

点. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 N(t,0)是一个动点,且 21.设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性; ,求实数 t 的取值范围.

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整 数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. CD 是∠ACB 的平分线, AB=2AC. △ ACD 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; , ) ,半径 r= .

(Ⅱ)若 α∈[0,

) ,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A、

B 两点,求弦长|AB|的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|+2|x+1|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)>4. (2)若不等式 f(x)<3x+4 的解集是{x|x>2},求 a 的值.

2016 年甘肃省白银市高考数学模拟试卷 (理科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1.设集合 A={x|x2﹣2x≤0},B={x|﹣4≤x≤0},则 A∩?RB=( ) A.R B.{x∈R|X≠0} C.{x|0<x≤2} D .? 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,根据全集 R 求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的 交集即可. 【解答】解:由 A 中的不等式解得:0≤x≤2, 即 A={x|0≤x≤2}, ∵B={x|﹣4≤x≤0}, ∴?RB={x|x<﹣4 或 x>0}, 则 A∩(?RB)={x|0<x≤2}. 故选:C.

2.求 z=

的值为(



A.﹣i B.i C.

D.

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则答案可求. 【解答】解:z= 则 z 的值为:﹣i. 故选:A. 3.如图,大正方形靶盘的边长为 5,四个全等的直角三角形围成一个小正方形,即阴影部 分. 较短的直角边长为 3, 现向大正方形靶盘投掷飞镖, 则飞镖落在阴影区域的概率为 ( ) = ,

A.

B.

C.

D.

【考点】几何概型.

【分析】根据题意,图中的直角三角形的斜边长为 5 且短直角边长为 3,利用勾股定理算出 长直角边长为 4,从而得到小正方形的边长.最后利用几何概型计算公式,用小正方形的面 积除以大正方形的面积,即得所求概率. 【解答】解:∵大正方形靶盘的边长为 5,即直角三角形的斜边等于 5 ∴根据较短的直角边长为 3,可得另一条直角边长为 由此可得图中的小正方形的边长为 4﹣3=1, ∴阴影部分小正方形的面积为 S=1×1=1 ∵大正方形的面积为 S'=5×5=25 ∴飞镖落在阴影区域的概率为 P= 故选:A = =4

4.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=﹣ ,则{an}的前 10 项和等于( A.﹣6(1﹣3﹣10) B.



C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知 后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解:∵3an+1+an=0 ∴ 可求 a1,然

∴数列{an}是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴a1=4 由等比数列的求和公式可得,S10= 故选 C 5.函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2﹣4x+5 的图象的交点个数为( A.3 B.2 C.1 D.0 ) =3(1﹣3﹣10)

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x) =x2﹣4x+5 的图象的交点个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案. 【解答】解:在同一坐标系下,画出函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2﹣4x+5 的图 象如图: 由图可知,两个函数图象共有 2 个交点

故选 B.

6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 表面积为( )

A.96

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】几何体为边长为 4 的正方体挖去一个圆锥得到的. 【解答】解:由三视图可知几何体为边长为 4 的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半 径为 2,高为 2,∴圆锥的母线长为 2 . ∴几何体的平面部分面积为 6×42﹣π×22=96﹣4π. =4 圆锥的侧面积为 . ∴几何体的表面积为 96﹣4π+4 . 故选:C. 7.已知双曲线的一个顶点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 曲线的方程为( ) A. ﹣y2=1B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D.5x2﹣ =1 ,则该双

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为(1,0) ,从而得出双曲线的右焦点为 F (1,0) .再 a b c a b 设出双曲线的方程,利用离心率的公式和 、 、 的平方关系建立方程组,解出 、 的值 即可得到该双曲线的方程. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为?(1,0) , ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,

∴a=1, ∵双曲线的离心率等于 ∴e= = ∴c= , ,



∴b2=c2﹣a2=4,∴x2﹣ 故选:B.

=1,

8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则(



A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7 【考点】程序框图. 【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算 S=1+ 相消法易得答案. 【解答】解:由已知可得该程序的功能是 计算并输出 S=1+ +…+ =1+1﹣ = . =2﹣ . +…+ 的值,利用裂项

若该程序运行后输出的值是 ,则 2﹣ ∴a=4, 故选 A.

9.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平面 BCD,△ BCD 是边长为 3 的等 边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为( ) A.4π B.12π C.16π D.32π 【考点】球的体积和表面积.

【分析】取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积. 【解答】解:取 CD 的中点 E,连结 AE,BE, ∵在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,△ BCD 是边长为 3 的等边三角形. ∴Rt△ ABC≌Rt△ ABD,△ ACD 是等腰三角形, △ BCD 的中心为 G,作 OG∥AB 交 AB 的中垂线 HO 于 O,O 为外接球的中心, BE= ,BG= ,

∴R=2. 四面体 ABCD 外接球的表面积为:4πR2=16π. 故选:C.

10.已知 sinφ= ,且 φ∈( 对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C.

,π) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的相邻两条 )的值为( )

,则 f( D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由周期求出 ω,由条件求出 cosφ 的值,从而求得 f( )的值.

【解答】解:根据函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等 于 , = ,∴ω=2. ,π) ,可得 cosφ=﹣ , +φ)=cosφ=﹣ ,

可得 =

由 sinφ= ,且 φ∈( ∴则 f( 故选:B. )=sin(

11.设双曲线 离心率等于( A. B.2 ) C.

的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的

D.

【考点】双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】先求出渐近线方程,代入抛物线方程,根据判别式等于 0,找到 a 和 b 的关系,从 而推断出 a 和 c 的关系,答案可得. 【解答】解:由题双曲线 代入抛物线方程整理得 ax2﹣bx+a=0, 因渐近线与抛物线相切,所以 b2﹣4a2=0, 即 故选择 C. 12.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x) ,且当 x≠2 时其导函数 f′ (x)满足 xf′(x)>2f′(x) ,若 2<a<4 则( ) a A.f(2 )<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 【考点】抽象函数及其应用;导数的运算. 【分析】由 f(x)=f(4﹣x) ,可知函数 f(x)关于直线 x=2 对称,由 xf′(x)>2f′(x) , 可知 f(x)在(﹣∞,2)与(2,+∞)上的单调性,从而可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x) , ∴f(x)关于直线 x=2 对称; 又当 x≠2 时其导函数 f′(x)满足 xf′(x)>2f′(x)?f′(x) (x﹣2)>0, ∴当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上的单调递增; 同理可得,当 x<2 时,f(x)在(﹣∞,2)单调递减; ∵2<a<4, ∴1<log2a<2, ∴2<4﹣log2a<3,又 4<2a<16,f(log2a)=f(4﹣log2a) ,f(x)在(2,+∞)上的单调 递增; ∴f(log2a)<f(3)<f(2a) . C 故选 . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在△ ABC 中,| + |=| ﹣ |,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据题意,得到三角形为直角三角形,由 、 值. 【解答】解:由于在△ ABC 中,| + |=| ﹣ |, 则∠BAC=90°, 由于 E,F 为 BC 的三等分点, 则 又有 = = ﹣ , , = = , , , , 的一条渐近线方程为 ,

?

=

求出



,即可求出

?





=



=



又由 AB=2,AC=1, 故 ? = . =

故答案为:

14.若实数 x,y 满足不等式组

,则 z=2y﹣|x|的最小值是 ﹣



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用平移法进行判断即 可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2y﹣|x|得 y= |x|+ z, 平移 y= |x|+ z,由图象知当 y= |x|+ z 经过点 A 时, z 最小,此时 z 最小,





,即 A(﹣ ,0) ,

此时 z=﹣|﹣ |=﹣ , 故答案为:﹣ .

15.若(4

+ )n 的展开式中各项系数之和为 125,则展开式的常数项为 48 .

【考点】二项式定理的应用. 【分析】令 x=1,可得 项展开式的通项公式求出常数项. 【解答】解:令 x=1,可得 的展开式中各项系数之和为 5n=125,所以 n=3, ?x﹣r= 的展开式中各项系数之和为 5n=125,求出 n,利用二

则二项展开式的通项为 Tr+1= 令 =0,得 r=1, ×42=48.



故二项展开式的常数项为 故答案为:48.

16.设 a1=2,an+1=

,bn=|

|,n∈N*,则数列{bn}的通项公式 bn= 2n+1,n∈N* .

【考点】数列递推式. 【分析】根据递推关系,分别求出 b1,b2,b3,b4 的值,由此猜想 bn=2n+1,并用数学归纳 法证明即可. 【解答】解:a1=2,an+1= 当 n=1 时,b1= ,bn=| = , |,n∈N,

=4=22,a2=

当 n=2 时,b2=

=8=23,a3=

= ,

当 n=3 时,b3=|

|=16=24,a4=

=



则 b3=32=24, 由此猜想 bn=2n+1, 用数学归纳法证明,①当 n=1 时,成立, ②假设当 n=k 时成立,即 bk+1=2k+2, ∵ak+1= ,bk=| |,

∴bk+1=|

|=|

|=|

|=2bk=2k+2,

故当 n=k+1 时猜想成立, 由①②可知,bn=2n+1,n∈N*. 故答案为:2n+1,n∈N*. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AB=1, (Ⅰ)求 sin∠BAC; (Ⅱ)求 DC 的长. , , .

【考点】正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由已知及余弦定理可求 BC 的值,利用正弦定理即可得解 sin∠BAC 的值. (Ⅱ)由(Ⅰ)利用诱导公式可求 cos∠CAD,从而利用同角三角函数基本关系式可求 sin∠CAD, 进而利用两角和的正弦函数公式可求 sinD 的值, 由正弦定理即可得解 DC 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,由余弦定理得:AC2=BC2+BA2﹣2BC?BAcosB, 即 BC2+BC﹣6=0,解得:BC=2,或 BC=﹣3(舍) , 由正弦定理得: (Ⅱ)由(Ⅰ)有: , . ,

所以



由正弦定理得:



(其他方法相应给分) 18. 人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的 指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某地区 居民的幸福感情况,随机对该地区的男、女居民各 500 人进行了调查,调查数据如表所示: [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 幸福感指数 10 20 220 125 125 男居民人数 10 10 180 175 125 女居民人数 根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度, 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查,用 X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都 感到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率) .

【考点】离散型随机变量的期望与方差;众数、中位数、平均数. 【分析】 (1) 由调查数据能作出频率分布直方图, 并能求出该地区居民幸福感指数的平均值. (2)由已知条件得到 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3) ,由此能求出 X 的分布列和期望. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)频率分布直方图如右图.… 所求的平均值为 0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46… (2)男居民幸福的概率为: =0.5. 女居民幸福的概率为: =0.6, 故一对夫妻都幸福的概率为: 0.5×0.6=0.3…

因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4, 且 X~B(4,0.3) 于是 X 的分布列为 X 0 1 p 0.2401 0.4116 … ∴E(X)=np=4×0.3=1.2… 2 0.2646 3 0.0756 4 0.0081 …

19.如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点, E,G 分别为 PC,CB 的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD. (Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP∥平面 EFG; (Ⅱ)当二面角 G﹣EF﹣D 的大小为 时,求 FG 与平面 PBC 所成角的余弦值.

【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)F 是 PD 的中点时,推导出 AB∥平面 EFG,从而得到平面 PAB∥平面 EFG, 由此能证明 AP∥平面 EFG. (Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 FG 与平面 PBC 所成角的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:F 是 PD 的中点时,EF∥CD∥AB,EG∥PB, ∴AB∥平面 EFG,

PB∥平面 EFG,AB∩PB=B, ∴平面 PAB∥平面 EFG,AP?平面 PAB, ∴AP∥平面 EFG.… (Ⅱ)解:建立如图所示的坐标系,则有 G(1,2,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E(0, 1,1) , 设 F(0,0,a) ,∴ 设平面 EFG 的法向量 , , ,

则有

,取 z=1,得



又平面 EFD 的法向量 ∵二面角 G﹣EF﹣D 的大小为 时,



∴cos<

>=



解得 a=1,∴ 设平面 PBC 的法向量 ∵ ,

, , ,

则有

,取 q=1,得



设 FG 与平面 PBC 所成角为 θ, 则有 sinθ=|cos< ∴cosθ= >|= = . .… = ,

∴FG 与平面 PBC 所成角的余弦值为

20. 已知椭圆 M 的中心为坐标原点, 且焦点在 x 轴上, 若 M 的一个顶点恰好是抛物线 y2=8x 的焦点,M 的离心率 ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l,交 M 于 A,B 两

点. (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 N(t,0)是一个动点,且 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)由题意可求 a,由 = 可求 c,然后由 b2=a2﹣c2 可求 b,进而可求椭圆方 ,求实数 t 的取值范围.

程 (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设 l:x=my+1(m≠0) ,联立直线与椭圆方程,根据方 程的根与系数关系可求 y1+y2,由 程的根与系数关系可得 可得|NA|=|NB|,利用距离公式,结合方 ,结合二次函数的性质可求 t 的范围

【解答】解: (Ⅰ)∵抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0) ∴a=2 ∵ =

∴c=1 ∴b2=a2﹣c2=3 ∴椭圆 M 的标准方程: (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设 l:x=my+1(m∈R,m≠0) 联立方程 可得(3m2+4)y2+6my﹣9=0

由韦达定理得



∵ ∴|NA|=|NB| ∴ ∴ 将 x1=my1+1,x2=my2+1 代入上式整理得: , 由 y1≠y2 知(m2+1) (y1+y2)+m(2﹣2t)=0,将①代入得 所以实数 t =

21.设函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(Ⅱ)如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整 数 M; (Ⅲ)如果对任意的 s,t ,都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求导函数,分类讨论,利用导数的正负,即可确定函数的单调区间; x2∈[0, 2] , [g ≥M 成立, (Ⅱ) 如果存在 x1, 使得 g (x1) ﹣g (x2) 等价于: (x1) ﹣g (x2) ]max≥M, 求出函数的最值,即可求满足条件的最大整数 M; (Ⅲ)当 x 时, 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立,求右

边的最值,即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ) , ,…

①a≤0,h'(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增… ②a>0, ,函数 h(x)的单调递增区间为 ,函数 h(x)的单调递减区间为 考察 g(x)=x3﹣x2﹣3, x 0 ﹣ 递减 0 极(最)小值 + 递增



… x2∈[0, 2], [g ≥M 成立, … (Ⅱ) 存在 x1, 使得 g (x1) ﹣g (x2) 等价于: (x1) ﹣g (x2) ]max≥M, ,… 2

g′(x) 0 g(x) ﹣3

1

… 由上表可知: ∴[g(x1)﹣g(x2)]max=g(x)max﹣g(x)min= 所以满足条件的最大整数 M=4;… (Ⅲ)当 x 时, 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立,… ,… ,

记 h(x)=x﹣x2lnx,所以 a≥hmax(x) 又 h′(x)=1﹣2xlnx﹣x,则 h′(1)=0. 记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx, 即函数 h(x)=x﹣x2lnx 在区间 ,1﹣x>0,xlnx<0,h'(x)>0 上递增,

记 h'(x)=(1﹣x)﹣2lnx,x∈(1,2],1﹣x<0,xlnx>0,h'(x)<0 即函数 h(x)=x﹣x2lnx 在区间(1,2]上递减, ∴x=1,h(x)取到极大值也是最大值 h(1)=1… ∴a≥1… [选修 4-1:几何证明选讲] 22. CD 是∠ACB 的平分线, AB=2AC. △ ACD 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=1,EC=2 时,求 AD 的长.

【考点】圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (Ⅰ)利用圆的内接四边形得到三角形相似,进一步得到线段成比例,最后求出结 果. (Ⅱ)利用上步的结论和割线定理求出结果. 【解答】证明: (Ⅰ)连接 DE, 由于四边形 DECA 是圆的内接四边形, 所以:∠BDE=∠BCA ∠B 是公共角, 则:△ BDE∽△BCA. 则: ,

又:AB=2AC 所以:BE=2DE, CD 是∠ACB 的平分线,

所以:AD=DE, 则:BE=2AD. (Ⅱ)由于 AC=1, 所以:AB=2AC=2. 利用割线定理得:BD?AB=BE?BC, 由于:BE=2AD,设 AD=t, 则:2(2﹣t)=(2+2t)?2t 解得:t= , 即 AD 的长为 .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若 α∈[0, ) ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A、 , ) ,半径 r= .

B 两点,求弦长|AB|的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程,再利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y, 2 2 2 ρ =x +y ,进行代换即得圆 C 的极坐标方程. (Ⅱ)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则|AB|=|t1﹣t2|,化为关于 α 的三角函数求解. 【解答】解: (Ⅰ)∵C( , )的直角坐标为(1,1) ,

∴圆 C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3. 化为极坐标方程是 ρ2﹣2ρ(cosθ+sinθ)﹣1=0 … (Ⅱ)将 代入圆 C 的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=3,

得(1+tcosα)2+(1+tsinα)2=3, 即 t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0. ∴t1+t2=﹣2(cosα+sinα) ,t1?t2=﹣1. =2 ∴|AB|=|t1﹣t2|= ∵α∈[0, ) ,∴2α∈[0, ) ,



∴2 ≤|AB|<2 . 即弦长|AB|的取值范围是[2

,2

)…

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|+2|x+1|. (1)当 a=2 时,解不等式 f(x)>4. (2)若不等式 f(x)<3x+4 的解集是{x|x>2},求 a 的值. 【考点】绝对值不等式的解法.

【分析】 (1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的 解集,再取并集,即得所求. (2)由题意可得,x=2 是方程 f(x)=3x+4 的解,即|2﹣a|+6=6+4,求得 a=6,或 a=﹣2.检 验可得结论. 【解答】解: (1)当 a=2 时,不等式 f(x)>4,即|x﹣2|+2|x+1|>4, ∴① ,或 ② ,或 ③ .

解①求得 x<﹣ ,解②求得 x>0,解③求得 x≥2, 故原不等式的解集为{x|x<﹣ ,或 x>0}. (2)不等式 f(x)<3x+4,即|x﹣a|+2|x+1|<3x+4, ∵不等式 f(x)<3x+4 的解集是{x|x>2},故 x=2 是方程 f(x)=3x+4 的解, 即|2﹣a|+6=6+4,求得 a=6,或 a=﹣2. 当 a=6 时,求得 f(x)<3x+4 的解集是{x|x>2},满足题意; 当 a=﹣2 时,求得 f(x)<3x+4 的解集不是{x|x>2},不满足题意,故 a=﹣2 应该舍去. 综上可得,a=6.

2016 年 6 月 24 日


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