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甘肃省白银市会宁一中2016届高三上学期第四次月考数学试卷.doc


2015-2016 学年甘肃省白银市会宁一中高三(上)第四次月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M={x|﹣1≤x<2},N={x|x﹣k≤0},若 M∩N≠?,则 k 的取值范围是( A.k≤2 【考点】交集及其运算. 【分析】求解一元一次不等式化简集合 N,然后根据 M∩N≠?,结合两集合端点值之间的 关系得答案. 【解答】解:由集合 M={x|﹣1≤x<2},N={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}, 若 M∩N≠?,如图, B.k≥﹣1 C.k>﹣1 D.﹣1≤k<2 )

则 k≥﹣1. 故选 B.

2.下列命题正确的是(

) ≥0

A.? x∈R,x2+2x+1=0 B.? x∈R,﹣ C.? x∈N*,log2x>0

D.? x∈R,cosx<2x﹣x2﹣3

【考点】全称命题;特称命题. 【分析】根据特称命题和全称命题,以及函数的性质判断即可.
2 【解答】解:对于 A,? x∈R,x +2x+1=0,解得 x=﹣1,故 A 不正确,

对于 B,当 x=﹣1 时满足,故 B 正确, 对于 C:当 x=1 时,log2x=0,故 C 不正确, 对于 D:因为 2x﹣x ﹣3=﹣(x﹣1) ﹣2 的最大值为﹣2,又因为﹣1≤cosx≤1,故 D 不正 确, 故选:B
2 2

3.将函数 y=sin2x 的图象向右平移 解析式为( A. )

个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的

B.y=2cos2x

C.y=2sin2x

D.y=﹣cos2x

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数的平移原则为左加右减上加下减可得, y=sin2x ,再对函数进行化简即可.

【解答】解:根据函数的平移原则为左加右减上加下减可得 函数 y=sin2x 的图象向右平移 y=sin(2x﹣ 故选 C 个单位,再向上平移 1 个单位的函数为

2 )+1=1﹣cos2x=2sin x.

4.已知由不等式

确定的平面区域 Ω 的面积为 7,则 k 的值(



A.﹣2 【考点】简单线性规划.

B.﹣1

C.﹣3

D.2

【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据阴影部分确定对应的面积,求出 k 的值,利用 目标函数的几何意义,进行求最值即可.

【解答】解:依题意画出不等式组

所表示的平面区域(如右图所示)

可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为 8, 由直线 y=kx+2 恒过点 B(0,2) ,且原点的坐标恒满足 y﹣kx≤2, 当 k=0 时,y≤2,此时平面区域 Ω 的面积为 6, 由于 6<7,由此可得 k<0. 由 ,可得 D( , ) ,

依题意应有 ×2?|

|=1,

解得 k=﹣1(k=3,舍去) 故选:B.

5.设 l,m,n 表示不同的直线,α、β、γ 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α,则 l⊥α; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l∥m∥n; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 ) B.2 C .3 D.4

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【解答】解:由 l,m,n 表示不同的直线,α、β、γ 表示不同的平面,知: ①若 m∥l,且 m⊥α,则由直线与平面垂直的判定定理知 l⊥α,故①正确; ②若 m∥l,且 m∥α,则 l∥α 或 l? α,故②错误; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则 l,m,n 可能交于一点,故③错误; ④若 α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且 n∥β, 则由 α∩γ=n 知,n? α 且 n? γ, 由 n? α 及 n∥β,α∩β=m,得 n∥m, 同理 n∥l,故 m∥l,故④正确. 故选:B.

6.在各项均为正数的等比数列{an}中,a3= A.4 B.6 C .8

+1,则 a32+2a2a6+a3a7=( D.



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由等比数列的性质可得 已知条件代入即可求解 【解答】解: 由等比数列的性质可得 = = = =8 故选 C = = ,把

7.下列各点中,能作为函数 中心的点是( A. (0,0) ) B.

(x∈R 且

,k∈Z)的一个对称

C. (π,0)

D.

【考点】正切函数的图象. 【分析】根据正切函数的图象与性质,令 x+ 中心点. 【解答】解:函数 令 x+ 解得 x= = ﹣ ,k∈Z, ,k∈Z, , ; (x∈R 且 ,k∈Z) , = (k∈Z) ,即可求出函数 y 的一个对称

当 k=0 时,x=﹣ 当 k=1 时,x=

所以函数 y 的一个对称中心的点是( 故选:D.

,0) .

8.用数学归纳法证明不等 n=k+1 时,不等式左边( A.增加了一项 B.增加了一项 C.增加了 D.增加了

+ )

+

+…+



(n≥2)的过程中,由 n=k 递推到

,又减少了 ,又减少了

【考点】数学归纳法. 【分析】当 n=k 时,写出左端,并当 n=k+1 时,写出左端,两者比较,关键是最后一项和 增加的第一项的关系. 【解答】解:当 n=k 时,左端 那么当 n=k+1 时 左端= + + …+ +…+ + , + , 和 两项,同时减少了 这

故第二步由 k 到 k+1 时不等式左端的变化是增加了 一项, 故选:C.

9. x2∈[0, +∞) 定义在 R 上的函数 f (x) 满足: 对任意的 x1, (x1≠x2) , 有 <0,则( ) B.f(1)<f(2)<f(3)C. f (2) <f (1)

A.f(3)<f(2)<f(4) <f(3)

D.f(3)<f(1)<f(0)

【考点】函数单调性的性质. 【分析】根据函数单调性的等价条件,即可到底结论. 【解答】解:若对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 < 0,

则函数 f(x)满足在[0,+∞)上单调递减, 则 f(3)<f(1)<f(0) , 故选:D.

10.已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 A.2 【考点】基本不等式. B.2

的最小值是( C .4

) D.2

【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出.
x y x y x+3y 【解答】解:∵lg2 +lg8 =lg2,∴lg(2 ?8 )=lg2,∴2 =2,∴x+3y=1.

∵x>0,y>0,∴ x=3y= 时取等号. 故选 C.

=

=2+

=4,当且仅当

11.已知 f(x)=3﹣2|x|,g(x)=x2﹣2x,F(x)= 的最值是( ) B.最大值为

,则 F(x)

A.最大值为 3,最小值﹣1 C.最大值为 3,无最小值

,无最小值

D.既无最大值,也无最小值

【考点】函数的最值及其几何意义;二次函数在闭区间上的最值. 【分析】将函数 f(x)化简,去掉绝对值后,分别解不等式 f(x)≥g(x)和 f(x)<g(x) , 得到相应的 x 的取值范围.最后得到函数 F(x)在三个不同区间内分段函数的表达式,然 后分别在三个区间内根据单调性,求出相应式子的值域,最后得到函数 F(x)在 R 上的值 域,从而得到函数有最大值而无最小值. 【解答】解:f(x)=3﹣2|x|=
2 ①当 x≥0 时,解 f(x)≥g(x) ,得 3﹣2x≥x ﹣2x? 0≤x≤ 2 解 f(x)<g(x) ,得 3﹣2x<x ﹣2x? x>



. ≤x<0;

2 ②当 x<0,解 f(x)≥g(x) ,得 3+2x≥x ﹣2x? 2﹣ 2 解 f(x)<g(x) ,得 3+2x<x ﹣2x? x<2﹣



综上所述,得

分三种情况讨论: ①当 x<2﹣ (2﹣ ②当 2﹣ 时,函数为 y=3+2x,在区间(﹣∞,2﹣ ;
2 时,函数为 y=x ﹣2x,在(2﹣

)是单调增函数,故 F(x)<F

)=7﹣2 ≤x≤

,1)是单调递减函数,在(1,



是单调递增函数, 故﹣1≤F(x)≤2﹣ ③当 x> =3﹣2 时,函数为 y=3﹣2x,在区间( <0; ],可得函数 F(x)最大值为 F(2﹣ )=7﹣2 , ,+∞)是单调减函数,故 F(x)<F( )

∴函数 F(x)的值域为(﹣∞,7﹣2 没有最小值. 故选 B

12.对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇数时, m※n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集
* * 合 M={(a,b)|a※b=12,a∈N ,b∈N }中的元素个数是(

) D.18 个

A.10 个

B.15 个

C.16 个

【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】由※的定义,a※b=12 分两类进行考虑:a 和 b 一奇一偶,则 ab=12;a 和 b 同奇偶,
* 则 a+b=12.由 a、b∈N 列出满足条件的所有可能情况,再考虑点(a,b)的个数即可. * 【解答】解:a※b=12,a、b∈N ,

若 a 和 b 一奇一偶,则 ab=12,满足此条件的有 1×12=3×4,故点(a,b)有 4 个; 若 a 和 b 同奇偶,则 a+b=12,满足此条件的有 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6 共 6 组,故点 (a,b)有 2×6﹣1=11 个, 所以满足条件的个数为 4+11=15 个. 故选 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.)

13.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等 于 .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】设 AB=1,则 AA1=2,建立空间直角坐标系,设平面 BDC1 的一个法向量,CD 与 平面 BDC1 所成角为 θ,则 sinθ=| 可. 【解答】解:设 AB=1,则 AA1=2,建立如图所示空间直角坐标系,则 D(0,0,2) ,C1 (0,1,0) ,B(1,1,2) ,C(0,1,2) , ∴ =(1,1,0) , =(0,1,﹣2) , =(0,1,0) , |,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即

设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量, 则 ,取 =(﹣2,2,1) ,

设 CD 与平面 BDC1 所成角为 θ,则 sinθ=|

|= ,

故答案为: .

14.已知 f(n)=cos

,则 f(1)+f(2)+…+f= ﹣1 .

【考点】余弦函数的图象. 【分析】求出 f(n)的周期,将原式变形,计算即可得到结果.

【解答】解:由 f(n)=cos

的周期为 4,且 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

∴原式=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+…[f+f]+f+f+f(2)+f(3)=﹣1. 故答案为:﹣1.

15.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,其中主视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯 视图是等腰三角形,则这个几何体的表面积是 2(1+ )π+4 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由题意推知,几何体是放倒的半个圆锥,根据数据计算其表面积. 【解答】解:此几何体是半个圆锥,直观图如下图所示, 先求出圆锥的侧面积 S 圆锥侧=πrl=π×2×2 =4 π,S 底=π×22=4π,

S△SAB= ×4×2 所以 S 表= 故答案为:2(1+

=4 +

, +4 =2(1+ . )π+4 .

)π+4

16.若定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+1)=

且当 x∈(0,1]时,f(x)=x,函

数 g(x)= 为 5 .

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣4,4]内的零点个数

【考点】函数零点的判定定理.

【分析】函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣4,4]内的零点个数可转化为函数 f(x)与 g(x)的图象的交点的个数,从而作图求解. 【解答】解:∵函数 y=f(x)满足 f(x+1)= ∴f(x+2)= =f(x) , ,

∴f(x)是周期为 2 的周期函数, 函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣4,4]内的零点个数可转化为函数 f(x)与 g(x)的 图象在区间[﹣4,4]内的交点的个数, 作函数 f(x)与 g(x)在区间[﹣4,4]内的图象如下,

结合图象可知,共有 5 个交点, 故答案为:5.

三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.已知 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0.若 p 是 q 的充分而不必要条件,求正实 数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.

【分析】先求出 p:x<﹣2 或>10,q:x<1﹣a 或 x>1+a,再由 p 是 q 的充分而不必要条 件,列出方程组 ,从而求出正实数 a 的取值范围.

【解答】解:p:x<﹣2 或>10, q:x<1﹣a 或 x>1+a ∵由 p 是 q 的充分而不必要条件, ∴ 即 0<a≤3.

18.已知函数 f(x)=5sinxcosx﹣5 (1)函数 f(x)的最小正周期; (2)函数 f(x)的单调区间;

cos2x+

(其中 x∈R) ,求:

(3)函数 f(x)图象的对称轴和对称中心. 【考点】正弦函数的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 【分析】 (1)利用两角和差的正弦公式化简函数 f(x )的解析式为 5sin(2x﹣ 函数的周期为 T= (2)由 2kπ﹣ ﹣ ≤2kπ+ =π. ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的范围即为增区间,由 2kπ+ ≤2x ) ,故此

,k∈z,求得 x 的范围即为减区间. =kπ+ ,k∈z 求得对称轴方程:x= ,0) . cos2x+ = ﹣ + + ,由 2x﹣ =kπ,k∈z 求

(3)由 2x﹣ 得对称中心(

【解答】解: (1)函数 f(x)=5sinxcosx﹣5

=5( sin2x﹣ 故此函数的周期为 T=

)=5sin(2x﹣ =π.

) ,

(2)由 2kπ﹣

≤2x﹣

≤2kπ+

,k∈Z,可得 kπ﹣

≤x≤kπ+



故增区间为:[kπ﹣ 由 2kπ+ ≤2x﹣

,kπ+ ≤2kπ+ ,kπ+

],其中 k∈Z, ,k∈Z,解得 kπ+ ],其中 k∈Z. ≤x≤kπ+ ,

故减区间:[kπ+

(3)由 2x﹣ 由 2x﹣ k∈Z.

=kπ+

,k∈Z,可得 x=

+

,故对称轴方程:x=

+



=kπ,k∈Z 可得 x=

,故函数图象的对称中心为: (

,0) ,其中,

19.在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列. (1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式; (2)若 ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 ,求数列{an}的公差.

【考点】等差数列的通项公式;数列的求和. 【分析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由 a1,a4,a8 成等比数列得到首项和公差的关系, 再由数列{an}的前 10 项和为 45 列式求出首项和公差,则答案可求; (2)利用裂项相消法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn,由 差. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,由 a1,a4,a8 成等比数列可得, 即 ∴ , ,而 d≠0,∴a1=9d. , . 可求出数列{an}的公

(1)由数列{an}的前 10 项和为 45,得 即 90d+45d=45,故 d= ,a1=3, 故数列{an}的通项公式为 (2) 则数列{bn}的前 n 项和为 Tn= , ;

= 故数列{an}的公差 d=1 或 d=﹣1.

=



20.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC=2,AA1=2 N 是 BC1 的中点 (1)求证:MN∥平面 A1B1C1; (2)求点 C1 到平面 BMC 的距离; (3)求二面角 B﹣C1M﹣A1 的平面角的余弦值大小.

,∠ACB=90° ,M 是 AA1 的中点,

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算. 【分析】 (1)由直三棱柱的几何特征,取 B1C1 中点 D,连接 ND、A1D,易得四边形 A1MND 为平行四边形,然后由线面平行的判定定理得到 MN∥平面 A1B1C1; (2)可证 BC⊥平面 A1MC1,在平面 ACC1A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,所以 C1H 为点 C1 到平面 BMC 的距离,在等腰三角形 CMC1 中,可求 C1H 的长. A1C1 于点 F, (3) 在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E, 则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, 可得 BEF 为二面角 B﹣C1M﹣A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中, 可求∠BEC, 即可求得∠BEF,从而可求二面角 B﹣C1M﹣A1 的平面角的余弦值. 【解答】 (1)证明:如图所示,取 B1C1 中点 D,连接 ND、A1D,则 DN∥BB1∥AA1 又 DN= BB1= AA1=A1M,∴四边形 A1MND 为平行四边形. ∴MN∥A1D 又 MN?平面 A1B1C1,AD1? 平面 A1B1C1 ∴MN∥平面 A1B1C1; (2)解:直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,C1C⊥BC ∵∠ACB=90° ,∴BC⊥平面 A1MC1,

在平面 ACC1A1 中,过 C1 作 C1H⊥CM,又 BC⊥C1H,所以 C1H 为点 C1 到平面 BMC 的距 离 在等腰三角形 CMC1 中,C1C=2 ∴C1H= . ,CM=C1M=

(3)解:在平面 ACC1A1 上作 CE⊥C1M 交 C1M 于点 E,A1C1 于点 F,则 CE 为 BE 在平面 ACC1A1 上的射影, ∴BE⊥C1M,∴∠BEF 为二面角 B﹣C1M﹣A 的平面角, 在等腰三角形 CMC1 中,CE=C1H= ∴tan∠BEC= ∴∠BEC=arctan ∴cos∠BEF= 即二面角 B﹣C1M﹣A1 的平面角的余弦值为 ,∴∠BEF=π﹣arctan , ,

21.设 f(x)=ln(1+x)﹣x﹣ax2. (1)当 x=1 时,f(x)取到极值,求 a 的值; (2)当 a 满足什么条件时,f(x)在区间 上有单调递增的区间.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)当 x=1 时,f(x)取到极值,即 f′(1)=0,解得 a 的值; (2)f(x)在区间[ ,﹣ ]上有单调递增的区间,即 f′(x)>0 时在[﹣ ,﹣ ]上有

解,解含参数的不等式. 【解答】解: (1)由题意知 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) ,

且 f′(x)=

﹣1﹣2ax=



当 x=1 时,f(x)取到极值,∴f′(1)=0,解得 a=﹣ ;

当 a=﹣ 时,f′(x)=

在(0,1)上小于 0,f(x)是减函数,

f′(x)=

在(1,+∞)上大于 0,f(x)是增函数,

∴f(1)是函数的极小值,∴a 的值为﹣ ; (2)要使 f(x)在区间[ ,﹣ ]上有单调递增的区间,

即 f′(x)>0 在[﹣ ,﹣ ]上有解,∴2ax+(2a+1)>0; (i)当 a=0 是,有 1>0,上述不等式恒成立,∴a=0 满足条件; (ii)当 a>0 时,有 x>﹣ (iii)当 a<0 时,有 x<﹣ <0; 综上,a 满足的条件是:a∈(﹣1,+∞) ,此时只要﹣ ,此时只要﹣ <﹣ ,解得:a>﹣ ,∴取 a>0; >﹣ ,解得:a>﹣1,∴取﹣1<a

在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[修 4-1:几何证明选讲] 22.直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC=3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

【考点】与圆有关的比例线段.

【分析】 (1)构造辅助线 DE,交 BC 于点 G.由弦切角定理,圆上的同弧,等弧的性质, 通过导角,可以得知∠CBE=∠BCE,BE=CE,又因为 DE 为直径,即∠DCE=90° ,由勾股 定理可证得 DB=DC; (2)由(1)可得 DG 是 BC 的中垂线,即可求得 BG 的长度.设 DE 的中点为 O,连结 BO, 求得∠BOG=60° ,通过导角,可得 CF⊥BF,即可求得 Rt△BCF 外接圆的半径. 【解答】 (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90° , 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 所以 BG= .

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60° . 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30° , 所以 CF⊥BF, 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 .

[4-4:极坐标系与参数方程] 23. (选修 4﹣4:坐标系与参数方程)

已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【考点】参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标的互化.
2 2 【分析】 (Ⅰ)对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到圆 C1 的普通

方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 【解答】解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式
2 2 得(x﹣4) +(y﹣5) =25 即为圆 C1 的普通方程, 2 2 即 x +y ﹣8x﹣10y+16=0.

(t 为参数) ,

将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程;
2 2 (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x +y ﹣2y=0,



,解得





∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(



) , (2,

) .

[4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|a﹣1|的解集非空,求实数 a 的取值范围. 【考点】带绝对值的函数;其他不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)不等式等价于① ,或② ,或





分别求出这 3 个不等式组的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ)由绝对值不等式的性质求出 f(x)的最小值等于 4,故有|a﹣1|>4,解此不等式求得 实数 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)不等式 f(x)≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6, ∴① ,或② ,或③ .

解①得﹣1≤x<﹣ ,解②得﹣ ≤x≤ ,解③得 <x≤2. 故由不等式可得 即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}. (Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,即 f(x)的最小值等于 4, ∴|a﹣1|>4,解此不等式得 a<﹣3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(5,+∞) . ,

2016 年 12 月 8 日


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