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2013-2014年湖北重点中学高三10月联考数学试卷及答案(文)


秘密★启用前

2013~2014 年度

湖北省部分重点中学高三十月联考
数学(文科)试题

★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。 2. 选择题的作

答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸 上无效。 3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上 无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知全集 ? =N,集合 P ? ? , ,, , ? Q= ?1, 2,3,5,9? 则 P ? C?Q ? ( 1234 6,

?

?

)

1 A. ? ,2,3?

B. ?4,6?

C. ?5,9?

1 D ? ,2,3,4,6?

2.如果映射 f:A→B 满足集合 B 中的任意一个元素在 A 中都有原象,则称为“满射”.若 集 合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,则从 A 到 B 的不同满射的个数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.设 f ? x ? ? ? ( ) A.-2 4. 为 了 得 到 函 数

? x ? 1 ? 2, x ? 1 ? ,则 f ? f ? 2 ? ? = 2 ?1 ? x , x ? 1 ?
B.2
x

C.5

D. 26
x

?1? ?1? y ? 3? ? ? 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y ? ? ? 的 图 象 ?3? ?3?
B.向右平移 3 个单位长度

( ) A.向左平移 3 个单位长度

C.向左平移 1 个单位长度
3 2

D. 向右平移 1 个单位长度 y

5. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,

k ? R ,则 f (k ) ? f (?k ) 的值一定
A.等于 0 C.小于 0
3

1 -1 x

B.不小于 0 D.不大于 0
2

6. 函数 ax ? ? a ? 1? x ? ? b ? 3? x ? b 的图象关于原点成中心对称,则 f (x) A.有极大值和极小值 C.无极大值有极小值 B.有极大值无极小值 D. 无极大值无极小值





7.若 ? ? (0, ?) ,且 3 cos 2? ? sin( ? ?) ,则 sin 2? 的值为 A.1 或 ?

? 4

17 18

B.1

C.

17 18

D. ?

17 18

8.已经函数 f ( x) ? ( A.1

1 ) x ? sin x, a ? R ,则 f ( x) 在[0,2 ? ]上的零点个数为 a ? 2a ? 3
2

B.2

C.3

D.4

9 . 函 数 y = x 2 - 2x 在 区 间 [a,b] 上 的 值 域 是 [ - 1,3], 则 点 (a,b) 的 轨 迹 是 右 图 中 的 y ( ) A 3 D A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD B 1 C -1 10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (2 ? x ) ? f ( x ),当 x ? ? 0,1? 时, f ( x ) ? O 1 x

x又

g ( x) ? cos
? ? ? ?

?x
2

,则集合 ? x | f ( x) ? g ( x)? 等于

A. ? x | x ? 4k ?

1 ? , k ? z? 2 ? 1 ? , k ? z? 2 ?

B. ? x | x ? 2k ?

? ?

1 ? , k ? z? 2 ?

C. ? x | x ? 4k ?

D. ? x | x ? 2k ? 1, k ? z?

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11.函数 y ? x ?

1 的极大值为 x

;

12.函数 y ? lg x ? 3kx ? k ? 5 的值域为 R,则 k 的取值范围是
2 2

?

?

;

?3? x ? 2, x ? 0 ? 13. f ? x ? ? ? ,若 f ? x0 ? ? 1 ,则 x0 的取值范围是 ? x, x ? 0 ?

;

14.. 已知点 G 是△ABC 的重心,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则| AG |的最小值是 15. 在△ABC 中,∠C=60°,AB=2 3 ,AB 边上的高为

8 ,则 AC+BC= 3

?x ? ,x ?0 ?cos 2 16. 若 函 数 f ? x ? ? ? 的 值 域 为 ? ?1, ?? ? , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 ?log 4 ? x ? 1? ? k , x ? 0 ?
是 ; 17. 已知向量 ?, ?, ? 满足| ? |=1,| ? ? ? |=| ? |, (? ? ?) ? (? ? ?) =0,若对每一个确定的

?, | ? | 的最大值为 m ,最小值为 n ,则对任意的 ? , m ? n 的最小值为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 函数 f ( x ) ? A sin(?x ? 之间的距离为

? . 2

? ) ? 1 (A>0, ? >0)的最小值为-1,其图象相邻两个对称中心 6

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0, ?) ,则 f ( ) ? 19. 已 知 函 数 g ? x ? ?

? 2

3 ? 1 ,求 ? 的值.

f ? x ? ? mx ?

(1)求 ? 的值.

m ?1 ? ln x, m ? R x

1 ? ln x 在 ?1, ?? ? 上 为 增 函 数 , 且 ? ? ? 0, ? ? , x ? sin ?

(2)若 f ( x) ? g ( x)在 ?1, ?? ? 上为单调函数,求 m 的取值范围. 20. 在△ABC 中, b、 分别为三内角 A、 C 所对边的边长, a、 c B、 且若是 C ? (其中 ? >1) (1)若 ? ? 3 时,证明 ?ABC 为 Rt? (2)若 AC ? BC ?

?
3

,a ? b ? ?c

???? ??? ?

9 2 ? ,且 c ? 3 ,求 ? 的值. 8

21. 设 函 数 f ? x ? 对 任 意 x, y ? R , 都 有 f ( x? y ? f( x ? ) )

f( , 当 x ? 0 时 , y)

x f? x ? 0 , ? 1 ? ? 2 f ? ?
(1)求证: f ? x ? 是奇函数; (2)试问:在 ?2 ? x ? 2 时 , f ? x ? 是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有, 说明理由. (3)解关于 x 的不等式

1 1 f (bx) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) 2 2

22. 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? 2m ln x x

(m ? R) .

(1)讨论 f ? x ? 的单调性. (2)若 f ? x ? 有两个极值是 x1 和 x2 ,过点 A( x1 , f ( x1 )) ,B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , 问:是否存在 m ,使得 k ? 2 ? m ?若存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由.

2013~2014 年度

湖北省部分重点中学高三十月联考
数学(文科)答案
一、选择题 BCDDD AABAB 二、填空题 11. -2 12.

? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?

13. (??, ?1) ? (1, ??)

14.

2 3

15. 2 11 16. [-1,1] 17.

1 2

三、解答题 18. 解: (1)∵函数 f(x)最小值为-1 ∴1-A=-1 即 A=2 ∵函数图象的相邻对称中心之间的距离为 ∴T= ? 即? ? 2

? 2 ? ) +1 6

故函数 f(x)的解析式为 f ( x ) ? 2Sin (2x ? (2)∵ f ( ) ? 2Sin (? ? ∴2Sin( ? ?

? 2

? )? 3 6

? ) ?1 ? 3 ?1 6

? 3 Sin (? ? ) ? 6 2

? ? ? ∴? ? ? 6 3 2 ? 2 5 ?? ? ? ?? ? 6 3 6 ? 5 即所求 ? ? 或? ? ? 2 6
则? ? 19. .解: (1)由题意, g , ( x) ? ?
1 sin? ? x 2 ? 1 sin? ? x ? 1 ? 0 在[1,+ ? ]上恒成立,即 ?0. x sin? ? x 2

?? ? (0, p),?sin? ? 0 .故 sin? ? x ?1 ? 0 在[1,+ ? ]上恒成立,

只须 sin? ?1 ?1 ? 0 ,即 sin? ? 1 ,只有 sin? ? 1 ,结合 ? ? (0, p) ,得 ? ? (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) ? mx ?

p 2

.

m mx 2 ? 2 x ? m . ? 2 ln x . ? ( f ( x) ? g ( x), ? x x2

? f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数,
? mx 2 ? 2 x ? m ? 0 或者 mx2 ? 2x ? m ? 0 在[1,+ ? ]恒成立. mx 2 ? 2x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x ,即 m ?

2x 1? x
2

,而

2x x ?1
2

?

2 1 x? x

,(

2 x? 1 x

) max ? 1,? m ? 1 .

mx 2 ? 2x ? m ? 0 等价于 m(1 ? x 2 ) ? 2 x ,即 m ?

2x 1? x2

在[1,+ ? ]恒成立,



2x x ?1
2

? (0,1], m ? 0 .综上,m 的取值范围是 (??,0] ? [1,??) .
? a ? b ? 3C
S i n ? S i n ? 3S i n C A B ? 3 2

20.解: ? ? ? 3 由正弧定理得
?C ?

?
3

2 3 ? S i n ? S i ( ? ? B) ? B n 3 2

SinB ?

3 1 3 CosB ? SinB ? 2 2 2

3 3 3 ? SinB ? CosB ? 2 2 2

则 Sin( B ? ) ?
6

?

3 2

则 B?
?B ?

?
6

?

?
6

或 B?
? . 2

?
6

2 ? ? 3

?
6

或B?

若B? 若B?

?
6

则A?

? 2

?ABC 为 Rt?

? 2

?ABC 亦为 Rt? .
9 8

(2) AC ? BC ? ?2

则 a ?b ? ?2

1 2

9 8

? ab ?

9 2 ? 4

又 ?a ? b ? 3? 由余弧定理知 a 2 ?b 2 ?c 2 ? 2ab ? Cosc 即 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ? 9 故 9? 2 ? ? 2 ? 9 即? ?2. 21. 解: (1)设 x ? y ? 0 可得 f ? 0 ? ? 0 ,设 y ? ?x ,则 f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? 所以 f ? x ? 为奇函数. (2)任取 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,又 f ? x2 ? ? f ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? 所以 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 所以 f ? x ? 为减函数。
9 4

即 (a ? b) 2 ? 3ab ? 9
?2 ? 4

9 2 ? ?9 4

那么函数最大值为 f ? ?2 ? ,最小值为 f ? 2 ?

f ? ?2 ? ? ?2 f ?1? ? 4 , f ? 2 ? ? f ?1? ? ?4
所以函数最大值为 4 ,所以函数最小值为 ?4 ,

1 1 f ? bx ? ? f ? b ? ? f ? b 2 x ? ? f ? x ? 2 2 1 1 1 1 1 1 即 f ? bx ? ? f ? b ? ? f ? b ? ? f ? b 2 x ? ? f ? x ? ? f ? x ? 2 2 2 2 2 2 1 1 可化为 f ? bx ? b ? b ? ? f ? b 2 x ? x ? x ? 2 2
(3)由题设可知 即 f ? bx ? b ? b ? ? f b x ? x ? x ,? f ? x ? 在 R 上为减函数
2

?

?

? ? b 2 ? b ? 2 ? x ? 2b ,又?b2 ? b ? 2 ? 0
所以解为? x ?

2b ?b ? b ? 2?
2

22. 解: (1) f (x) 的定义域为 (0,??)
f , ( x) ? 1 ? 1 x2 ? 2m x 2 ? 2mx ? 1 ? x x2

令 g ( x) ? x 2 ? 2mx ? 1 其判制式 ? ? 4m2 ? 4 当 | m |? 1 时
? ? 0 , f , ( x) ? 0

故 f(x)在(0,+ ? )上单调递增 当 m ? ?1 时, ? ? 0
g ( x) ? 0 的两根都小于 0,在(0,+ ? )上 f , ( x) ? 0

故 f(x)在(0,+ ? )上单调递增. 当 m ? 1 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0 的两根为 x1? m ? m 2 ? 1 , x2 ? m ? m 2 ? 1 当 0 ? x ? x1 时, f , ( x) ? 0 ,当 x1? x ? x2 时 f , ( x) ? 0 当 x ? x2 时 f , ( x ) ? 0 . 故 f(x)分别在 (0, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递增,在 ( x1, x2 ) 上单调递减 (2)由(1)知 m ? 1
? f ( x1) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2m(ln x1 ? ln x 2 ) x1x2

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 ? 1? ? 2m , x1? x 2 x1 x 2 x1? x2 ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

又由(1)知, x1 ? x2 ? 1 ,于是 k ? 2 ? 2m , 若存在 m,使得 k ? 2 ? m ,则 即 ln x1 ? ln x2 ? x1? x2 即 x2 ?
1 ? 2 ln x2 ? 0 x2 ln x1? ln x2 ?1 x1 ? x2

( x2 ? 1) ………………. (*)

再由(1)知,函数 h(t ) ? t ? ? 2 ln t 在 (0,??) 上单调递增,而 x2 ? 1 .
? x2 ? 1 1 ? 2 ln x2 ? 1 ? ? 2 ln1 ? 0 . x2 1

1 t

这与(*)式矛盾,故不存在 m,使得 k ? 2 ? m .


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