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第2讲 二次函数


二次函数

教 师:司马红丽

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二次函数
【知识要点归纳】 一、总结二次函数的定义式、图像和性质

解析式

一般式: 两点式: 顶点式:

图像

性质

对称性

/>
单调性

最值情况

与 x 轴的交点

与 y 轴的交点坐标

二、二次函数在闭区间

[m, n] 上的最大、最小值问题

设 f ( x ) = ax + bx + c = 0 (a > 0) , 则二次函数在闭区间 [m, n] 上的最大、 最小值有如下的分布情况:
2

~ 第 1页 ~ (9:00—21:00 everyday)

m<n<?

b 2a

m<?
即?

b <n 2a

b ∈ [m, n] 2a

?

b <m<n 2a

三、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 根的分布情况 语言描述 图像 两根在区间内 等价不等式

图象 最大、最 小值 方法归纳

两根在区间外

~ 第 2页 ~ (9:00—21:00 everyday)

一根在里一根 在外

【经典例题】
例 1:y=a x +bx 与 y=ax+b (ab ≠0)的图像只能是(
2



A

B

C

D

例 2:已知二次函数 y= ax +bx+c 的系数满足 abc<0,则它的图像可能是(

2



A

B

C

D

~ 第 3页 ~ 400-650-7766(9:00—21:00 everyday)

例 3:求函数 y = -x2 + 2x + 8,x ∈ R 的值域

变式 1:y= -x2 + 2x + 8

x ∈ [-3,0]

变式 2:y= -x2 + 2x + 8

x ∈ [0,2]

变式 3:y= -x2 + 2x + 8

x ∈ [0,4 )

变式 4:y= -x2 + 2x + 8

x ∈ (3,4]

例 4:函数 f ( x ) = ax ? 2ax + 2 + b ( a ≠ 0 ) 在 [ 2,3] 上有最大值 5 和最小值 2,求 a, b 的值。
2

例 5:求函数 f ( x ) = x ? 2ax + 1, x ∈ [1,3] 的最小值。
2

变式 1:本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?

变式 2:本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?

~ 第 4页 ~ (9:00—21:00 everyday)

例 6:已知方程 x -2(m + 2)x + m -1= 0,根据下列条件求实数 m 的取值范围 (1)有两个不相等的正根

2

2

(2)有两个实根都大于 2

(3)有两个实根都小于 2

(4)有两个实根,一个小于 2,另一个大于 2

(5)有两个实根,且 x1 , x 2 ∈(-1,3)

例 7:已知方程(m-1) x +mx-1= 0 至少有一个正根,求实数 m 的范围.

2

~ 第 5页 ~ (9:00—21:00 everyday)

【课堂练习】
1.求下列函数的最值 (1)函数 y = ? x + 4 x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
2

(2)已知 2 x ≤ 3x ,求函数 f ( x ) = x + x + 1 的最值。
2 2

(3)y = ? x + 2 x + 8 , x ∈ [?2,0]
2

2.求函数 y = x ? 4 x + 3 在区间 [t , t + 1] 上的最小值。
2

3.已知二次函数 f ( x ) = ax + 4ax + a ? 1 在区间 ?4 ,1 上的最大值为 5,求实数 a 的值。
2 2

[

]

4.已知二次方程 ( 2m + 1) x ? 2mx + ( m ? 1) = 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。
2

5.已知方程 2 x ? ( m + 1) x + m = 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

6. 已知二次函数 y = ( m + 2 ) x ? ( 2m + 4 ) x + ( 3m + 3) 与 x 轴有两个交点, 一个大于 1, 一个小于 1,
2

求实数 m 的取值范围。

~ 第 6页 ~ (9:00—21:00 everyday)

【课堂练习】参考答案
1、 (1)2,-2 (2)最小值为 f ( 0) = 1 ,最大值为 f ? ? =

? 3? ? 2?

19 。 4

(3)最小值为 f (?2) = 0 ,最大值为 f (0 ) = 2 2 。 2、解:对称轴 x0 = 2 (1)当 2 < t 即 t > 2 时, ymin = f ( t ) = t ? 4t + 3 ;
2

(2)当 t ≤ 2 ≤ t + 1 即 1 ≤ t ≤ 2 时, ymin = f ( 2 ) = ?1 ; (3)当 2 > t + 1 即 t < 1 时, ymin = f ( t + 1) = t ? 2t
2

3、解:对称轴方程为 x = ?2 若a < 0, ,当 x = ?2 时,函数取得最大值 5 即 f ( ?2) = a ? 4a ? 1 = 5 解得 a = 2 ± 10
2

故 a = 2 ? 10 ( a = 2 + 10舍去 ) 若 a > 0 时,当 x = 1 时,函数取得最大值 5,即 f (1) = 5a + a ? 1 = 5 解得 a = 1或a = ?6
2

故 a = 1( a = ?6舍去 ) 综上讨论,函数 f ( x ) 在区间 ?4 ,1 上取得最大值 5 时, a = 2 ? 10或a = 1 4、解:由 5、解:由

[

]

( 2m + 1)i f ( 0 ) < 0



( 2m + 1)( m ? 1) < 0 ,从而得 ?

1 < m < 1 即为所求的范围。 2

Δ>0 ? ?( m + 1)2 ? 8m > 0 ? ? ? ?m < 3 ? 2 2或m > 3 + 2 2 ? ? ( m + 1) ? ? ? >0 ? ? m > ?1 ?? 2i2 m>0 ? ? ? ? m>0 ? f ( 0) > 0 ? ?
0 < m < 3 ? 2 2 或 m > 3 + 2 2 即为所求的范围。
6、解:由

( m + 2 )i f (1) < 0



( m + 2 )i( 2m + 1) < 0
~ 第 7页 ~

? ?2 < m <

1 即为所求的范围。 2

(9:00—21:00 everyday)


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