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6.3 等比数列(职高基础模块)(1)


第 6章

数列

6.3 等比数列

6.3 等比数列

创 设 情 境 兴 趣 导 入

将一张纸连续对折5次,列出每次对折纸的层数 第1次对折后纸的层次为1×2=2(层); 第2次对折后纸的层次为2×2=4 (层); 第3次对折后纸的层次为4×2=8 (层); 第4次对折后纸的层次为8×2=16 (层); 第5次对折后纸的层次为16×2=32 (层). 各次对折后纸的层次组成数列 2,4,8,16,32. 从第2项起,每一项与它前面一项的比都等于2.

6.3 等比数列

动 脑 思 考 探 索 新 知

如果一个数列的首项不为零,且从第2项开始,每一项与它 前一项的比都等于同一个常数,那么,这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,一般用字母q表示.

an ?1 ?q 即 零,且有 an

若数列 ?an ? 为等比数列, q为公比,则 a1与q均不为

an?1 ? an ? q

(6.5)

6.3 等比数列

例1

a1 ? 5,q ? 3, 求 a2、a3、a4、a5. 在等比数列 {an }中,

巩 固 知 识 典 型 例 题



a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15, a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45, a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135, a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405.

你能很快 写出这个数 列的第9项吗?

6.3 等比数列

a3 ? ?6,q ? 2, 试写出 a4、a6. 1.在等比数列 ?an ? 中,

运 用 知 识 强 化 练 习

?12, ? 48.

? 6, 12, ? 24, ? 的第5项与第6项. 2.写出等比数列 3,

48, ? 96.

6.3 等比数列
设等比数列 ?an ? 的公比为q,则
a1 ? a1,

动 脑 思 考 探 索 新 知

a2 ? a1 ? q,
a3 ? a2 ? q ? a1 ? q2, a4 ? a3 ? q ? a1 ? q3,

如何写出 等比数列的 通项公式呢?

… 依此类推,通过观察可以得到等比数列的通项公式
an ? a1 ? q n ?1 .

(6.6)

可以直接 知道了等比数列 ?an ?中的 a1 和 q,利用公式(6.6), 计算出数列的任意一项.

6.3 等比数列
例3

a5 ? ?1 ,a8 ? ? 在等比数列 ?an ? 中,
1 8

1 ,求a13. 8

解 由 a5 ? ?1, a8 ? ? 有

巩 固 知 识 典 型 例 题

?1 ? a1 ? q4,

(1)

1 ? ? a1 ? q 7, (2) 8 (2)除以(1)得
1 1 ? q3,q ? ; 8 2 1 将q ? 代人(1),得 2

本例题求解过程 中,通过两式相除求 a1 ? ?2 4 出公比的方法是研究 所以,数列的通项公式为 等比数列问题的常用 方法. 1 n ?1 4 an ? ?2 ? ( ) 12 2

1 ?1? a13 ? a1 ? q12 ? ?24 ? ? ? ? ?2?8 ? ? . 256 ?2?

6.3 等比数列
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的 数量恰好组成一个等比数列.已知他们三人一共钓了14条 鱼,而每个人钓鱼数量的积为64. 并且知道,小强钓的鱼 最多,小明钓的鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? a 解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 , a, aq. q ?a ? q ? a ? aq ? 14, ? 则 ? ? a ? a ? aq ? 64. 知道三个数构成 等比数列,并且知 ? ? q 道这三个数的积 ,可 a ? 4, ? ?a ? 4, ? 以将这三个数设为 解得 ? 或 ? 1 a q ? 2 , q ? . a,aq, ? , ? 2 q a 4 ? ? 4 ? 2 ? 8, 当q=2时,q ? 2 ? 2, aq 这样可以方便地 求出a ,从而解决问 此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. a 4 题. 1 1 ? ? 8 , aq ? 4 ? ? 2, q ? 当 时, q 1 2
2

巩 固 知 识 典 型 例 题

此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了2条鱼,小刚钓了4条鱼,小强钓了8条鱼.

2

6.3 等比数列
1.求等比数列
2 ,2,6, ? 的通项公式与第7项. 3

运 用 知 识 强 化 练 习

an ? 2 ? 3n?2;a7 ? 486.

1 a5 ? ?5, 判断-125是否 a ? ? , ? ? a 2.在等比数列 n 中, 2 25

为数列中的项,如果是,请指出是第几项.

是,是第7项.

6.3 等比数列

运 用 知 识 强 化 练 习

3 已知三个数的积为27,且这三个数组成公比为3的等比数列.求这三个数.

1、 3、 9.

6.3 等比数列

理 论 升 华 整 体 建 构

等比数列的通项公式是什么?

.

an ? a1 ? qn?1.

6.3 等比数列

自 我 反 思 目 标 检 测

已知等比数列{an } 中,a 4 ? ?1, a 7 ? ? ,求 a11.

1 8

?

1 . 128

6.3 等比数列

学习效果

自 我 反 思 目 标 检 测

学习行为 学习方法

6.3 等比数列

读书部分:阅读教材相关章节

继 续 探 索 活 动 探 究

书面作业:教材习题6.3A组(必做) 教材习题6.3B组(选做) 实践调查:寻找生活中的等比 数列实例


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