tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第二章第十三节定积分与微积分基本定理


新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

第十三节

定积分与微积分基本定理

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





> 新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.定积分的概念与性质 (1)定积分的定义: 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 连 续 , 用 分 点 a = x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,

高 考 体 验 · 明 考 情

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作
典 例 探 究 · 提 知 能

和式 _______________________________

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫 做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作_________,
?b ? ? ?a

高 考 体 验 · 明 考 情

f(x)dx

典 例 探 究 · 提 知 能

即 f(x)dx=lim ?
?b ? ? ?

n

a

i=1

b-a f(ξi). n
课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

(2)定积分的几何意义
自 主 落 实 · 固 基 础

①当f(x)≥0时,定积分 f(x)dx表示由直线
a

?b ? ? ?

x=a,x=b(a≠b),y=0 _______________________和曲线y=f(x)所围成的曲边 梯形的面积. ②当f(x)在[a,b]上有正有负时,如图2-13-1所示,

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

则定积分?bf(x)dx 表示介于 x 轴,曲线 y=f(x)以及直线 ? ?
?a

x=a,x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即 ?b A1+A3-A2-A4 ? f(x)dx=________________________.
? ?a

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

(3)定积分的基本性质 k?bf(x)dx ? ? ?a ?b ①? kf(x)dx=______________.(k 为常数) ?
?a

f1(x)dx±?bf2(x)dx ? ? ?b ? a a ②? [f1(x)± 2(x)]dx=________________________. f ?

?b ? ? ?

课 后 作 业

f(x)dx ③? f(x)dx=____________+?bf(x)dx(其中 a<c<b). ? a ? ?
?b ?

?a

?c ? ? ?

a


?

c



新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

2.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F′(x) b F(b)-F(a) ? =f(x).那么 ? f(x)dx=___________.这个结论叫做微积分
? ?a

高 考 体 验 · 明 考 情

基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

? ? 1.? f(x)dx 与? f(t)dt 是否相等? ? ? ?a ?a

b

b

高 考 体 验 · 明 考 情

【提示】

相等.定积分大小仅与被积函数及积分区间

有关,而与积分变量无关.
典 例 探 究 · 提 知 能
? 2.定积分 ? [f(x)-g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什 ? ?a

b

么?
【提示】 由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x) 所围成的曲边梯形的面积.
菜 单

课 后 作 业

新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.(人教 A 版教材习题改编)已知质点的速度 v=10t, 则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( )

高 考 体 验 · 明 考 情

2 A.10t0

2 B.5t0

10 2 C. t0 3

52 D. t0 3
课 后 作 业

典 例 探 究 · 提 知 能

【解析】

t 2 S=∫t00vdt=∫t0010tdt=5t2| 00=5t0.

【答案】 B





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

2.求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确 的是( ) A.S=?1(x2-x)dx ? ?
?0

B.S=?1(x-x2)dx ? ?
?0

C.S=?1(y2-y)dy ? ?
?0

D.S=?1(y- y)dy ? ?
?0

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

【解析】
?1 ?

?y=x2 ?x=0 ?x=1 ? ? ? 由? 得? 或? , ?y=x ?y=0 ?y=1 ? ? ?
2

∴S=? (x-x )dx,故选 B. ?
0

课 后 作 业

【答案】 B
菜 单

新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

3.设

?x2 ? f(x)=? x ?2 ?

(x≥0) ,则?1 f(x)dx 的值是( ? ? (x<0) ?-
1

)

A.?1 x2dx ? ?
?- 1

B.?1 2xdx ? ?
?- 1 ?0

C.?0 x2dx+?12xdx ? ? ? ?
?- 1

D.?0 2xdx+?1x2dx ? ? ? ?
?- 1 ?0

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

【解析】 由分段函数的定义及积分运算性质, ∴?1 f(x)dx=?0 2xdx+?1x2dx. ? ? ? ? ? ?
?-1 ?-1 ?0

【答案】

D

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

?1 (x2+sin x)dx=________. 4.(2012· 江西高考)定积分? ?-1

1 3 【解析】 ∵( x -cos x)′=x2+sin x, 3 1 3 2 2 1 ?1 ∴? (x +sin x)dx=( x -cos x)|-1= . ? 3 3 ?
-1

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

2 3

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

π (1)(2013· 佛山质检)若∫ 2 0(sin x+acos x)dx=2,则 实数 a 等于( ) A.-1 B.1 C. 3 D.- 3
? (2)定积分? ?

高 考 体 验 · 明 考 情

3

9-x2dx 的值为( B.3π 9 C. π 4

) 9 D. π 2
课 后 作 业

?0

典 例 探 究 · 提 知 能

A.9π





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

【思路点拨】

(1)寻求使F′(x)=sin x+acos x的F(x),

运用微积分基本定理求值; (2)利用定积分的几何意义求解.

高 考 体 验 · 明 考 情

【尝试解答】 (1)∵(asin x-cos x)′=sin x+acos x, π π ∴∫ 2 0(sin x+acos x)dx=(asin x-cos x)| 2 0
典 例 探 究 · 提 知 能

=(asin

π

2 2 ∴a+1=2.∴a=1.

-cos

π

)-(asin 0-cos 0)=a+1,

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

(2)由定积分的几何意义知,

?3 ? ? ?0

9-x dx 是由曲线 y=

2

9-x2,直线 x=0,x=3,y=0 围成的封闭图形的面积.
? 故? ? ?

3 0

9-x2dx=

π·32 9π
4
(2)C

高 考 体 验 · 明 考 情



4

.

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

(1)B

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数 的原函数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数, 那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分 解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加. 2.根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. ?a f(x)dx=0. 3.若 y=f(x)为奇函数,则?
?-a

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

? (1)(2013· 东莞调研)? |1-x|dx=________. ? ?0

2

(2)(2013· 广东六校模拟)? ?
?2 ? ? ?

0

?-1
?1 ? ? ?

1-x2dx=________.
?2 ? ? ? ?1 ? ? ?

高 考 体 验 · 明 考 情

【解析】 (1) |1-x|dx= |1-x|dx+ |1-x|dx= (1-
0 0 1 0
典 例 探 究 · 提 知 能
? x)dx+? (x-1)dx ? ?1

2

1 2 1 1 2 2 | 0+( x -x)| 1=1. =(x- x ) 2 2

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

(2)由定积分的几何意义知,? ?

0

?-1

1-x2dx 是由曲线 y=

1-x2,直线 x=-1,x=0,y=0 围成的封闭图形的面积,
?0 故? ?-1

高 考 体 验 · 明 考 情

1-x2dx=

π·12 π
4

= . 4

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

(1)1

π (2) 4

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

典 例 探 究 · 提 知 能

(1)(2012· 湖北高考)已知 二次函数y=f(x)的图象如图 2-13-2所示,则它与x轴所 围图形的面积为( ) 2π 4 A. B. 5 3 π 3 C. D. 2 2

高 考 体 验 · 明 考 情

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

(2)(2013· 深圳模拟)曲线y=x 与直线y=kx(k>0)所围成 4 的曲边图形的面积为 ,则k=________. 3
【思路点拨】 (1)先求二次函数f(x)的解析式,再利用

2

高 考 体 验 · 明 考 情

定积分的几何意义求面积;
典 例 探 究 · 提 知 能

(2)先求交点坐标,确定积分区间,再利用定积分的几
何意义求面积.
课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

【尝试解答】 (1)设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2. ?1 (1-x2)dx=2?1(1-x2)dx ? 所以 S=? ?
?-1
?

高 考 体 验 · 明 考 情

0

1 3 1 1 4 =2(x- x )|0=2(1- )= . 3 3 3
典 例 探 究 · 提 知 能

?y=x2, ?x=0, ?x=k, ? ? ? ? ? (2)由 得 或? 2 ?y=kx ?y=0 ?y=k , ? ? ?

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的 面积为 k 2 1 3 k k3 1 3 4 ?k 2 ? (kx-x )dx=( x - x )| 0= - k= , ? 2 3 2 3 3 ? 0 即 k3=8,∴k=2.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

(1)B

(2)2

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

1.求曲边图形面积的方法与步骤
自 主 落 实 · 固 基 础

(1)画图,并将图形分割为若干个曲边梯形; (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围,从而确定积分 的上、下限; (3)确定被积函数;

高 考 体 验 · 明 考 情

(4)求出各曲边梯形 的面积和,即各积分的绝对值 的
典 例 探 究 · 提 知 能

和. 2.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上 限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况 讨论.
菜 单

课 后 作 业

新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

π π (1)(2013· 韶关质检)由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲 3 3 线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2 (2)(2013· 惠州模拟)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形 的面积为________.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

π π 【解析】 (1)由题意知 S=∫ 3 - cos xdx 3 3 3 =sin x| 3 - = -(- )= 3. 3 2 2

π π

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

?y=x2 ?x=0 ?x=1 ? ? ? ? (2)由? 或? . 3得 ?y=x ?y=0 ?y=1 ? ? ?

结合图形知所求封闭图形的面积为
?1 ? ? ?0

高 考 体 验 · 明 考 情

1 3 1 4 1 1 (x -x )dx=( x - x )| 0= . 3 4 12
2 3

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

(1)D

1 (2) 12

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直线l上运动,物
体B在直 线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v= 10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后,物体A追上物体B所 用的时间t(s)为( A.3 ) B.4 C.5 D.6

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

【思路点拨】

利用定积分分别计算出物体A、B行驶
课 后 作 业

的路程,然后利用它们之间的关系求解.





新课标 ·理科数学(广东专用)
? 【尝试解答】 因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为? (3t2 ? ?0 ? +1)dt,物体 B 在 t 秒内行驶的路程为? 10tdt, ? ?0

t

自 主 落 实 · 固 基 础

t

t t ? 所以? (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)| 0=t3+t-5t2, ?
?

高 考 体 验 · 明 考 情

0

∴t3+t-5t2=5,(t-5)(t2+1)=0,即 t=5.
典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

C

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,
关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之 间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用 微积分基本定理计算即得所求.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动 到x=10,已知F(x)=x2 +1且方向和x轴正向相同,则变力

F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位:m,力的单
位:N).
【解析】 由题意知变力F(x)对质点M所做的功为
?10 ? ? ?

高 考 体 验 · 明 考 情

1

典 例 探 究 · 提 知 能

1 3 (x +1)dx=( x +x)|101=342. 3
2

【答案】

课 后 作 业

342





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

定积分基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”步

高 考 体 验 · 明 考 情

骤解决“无限”问题,其方法是“分割求近似,求和取极
限”.
典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.常数可提到积分号外. 2.和差的积分等于积分的和差. 3.积分可分段进行.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

从近两年的高考试题看,本节内容要求较低,定积分的
简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点,与 概率知识相结合是近几年高考的亮点,题型为选择题或填空

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

题,难度中等偏下,预计2014年与面积相关的简单应用是定 积分命题的主要方向.

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

易错辨析之六

对定积分的几何意义理解不到位致误

(2011· 课标全国卷)由曲线y= x,直线y=x-2及y轴所 围成的图形的面积为( 10 A. B.4 3 ) 16 C. 3 D.6

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

【错解】

?y= x ?x=4, ? ? 由? 得? ?y=x-2 ?y=2, ? ?

∴y= x与直线y=x-2的交点为(4,2), 于是,围成图形的面积是 S=?4[ x-(x-2)]dx-?4(x-2)dx ? ? ? ?
?0 ?2

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

2 34 1 1 10 4 4 16 | 0-( x2-2x)| 0-( x2-2x)| 2= -2= . = x2 3 2 2 3 3

【答案】 A

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

错因分析:(1)不理解定积分的几何意义,导致不能将 封闭图形的面积正确地用定积分表示. (2)求错原函数,导致计算错误. 防范措施:(1)准确画出图形是正确用定积分表示面积 的前提.

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

(2)利用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函

数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为
逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

【正解】 作出曲线y= x,直线y=x-2的草图(如图 所示),所求面积为阴影部分的面积.
?y= x, ? 由? 得交点A(4,2). ?y=x-2. ?

高 考 体 验 · 明 考 情

因此y= x与y=x-2及y轴所 围成的图形的面积为
?4 ? ? ? ? [ x-(x-2)]dx=? ( x-x+2)dx ? ?

4 0

典 例 探 究 · 提 知 能

0

2 3 1 2 4 =2×8-1×16+2×4=16. =( x2- x +2x)| 0 3 2 3 2 3

课 后 作 业

【答案】
菜 单

C

新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.(2012· 山东高考)设a>0,若曲线y= x与直线x=a, y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.

高 考 体 验 · 明 考 情

【解析】

S=

?a ? ? ?

0

2 3?a 2 3 2 4 xdx= x2? 0= a2=a ,∴a= . 3 ? 3 9

典 例 探 究 · 提 知 能

【答案】

4 9

课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

2.(2013· 温州模拟)已知2≤ (kx+1)dx≤4,则实数k的 取值范围是________.
1 2 2 3 【解析】 ∵ (kx+1)dx=( kx +x)| 1= k+1, 2 2
?2 ? ? ?1

?2 ? ? ?1

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

3 2 ∴2≤ k+1≤4,∴ ≤k≤2. 2 3
2 【答案】 [ ,2] 3
课 后 作 业





新课标 ·理科数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

课后作业(十七)

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

课 后 作 业






推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com