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高中数学(必修二)专题复习二---空间几何体的表面积与体积


高中数学(必修二)专题复习二
---空间几何体的表面积与体积 ★热点考点题型探析
【例 1】有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm) ,则该几何体的表面积及体积为( A.24π cm ,12π cm 5 C.24π cm ,36π cm 俯视图 6 主视图 侧视图
2 3 2 3


3

B.15π cm ,12π cm D.以上都不正确

2

变式:已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出 的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积为________cm . 【例 2】长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的 表面积是( A. 20 2π ) B. 25 2π C. 50π D. 200π
3

变式:某正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 4 3? ,则该正方体的表面积为

.

【例 3】有一根长为 3? cm,底面半径为 2 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 1 圈,并使铁丝的 两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 厘米.

变式 1:有一根长为 5? cm,底面直径为 3cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝的 两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为 厘米.

变式 2:如图是长宽高分别为 3、2、1 的长方体,有一蜘蛛潜伏在 A 处,C1 处有一小虫被蜘蛛网粘住,则 蜘蛛沿正方体表面从 A 点爬到 C1 点 的最短距离为( ) D' C' A、 1 ? 3 B、 2 ? 10 C、 3 2 D、 2 3 B' A'

D A B

C

1

★抢分练习
1.制作一个圆柱形无盖水桶,计算用多少铁皮,是求( A. 圆柱的侧面积 D. 圆柱的体积(容积) B. 圆柱的底面积 );计算存放这只水桶用多少空间,是求( C. 圆柱的表面积 ).

E. 圆柱的侧面积+1 个圆柱的底面积 ). D. 扩大 27 倍

2.一个圆柱体的高不变,底面半径扩大 3 倍,它的体积( A. 扩大 3 倍 B. 扩大 6 倍 C. 扩大 9 倍

3.一个直角三角形,两条直角边分别长 3 厘米和 5 厘米,如果分别以这两条直角边为轴所在直线旋转一周 后可以得到两个圆锥,这两个圆锥的体积( A. 以 3 厘米直角边为轴得到的圆锥体积大 C. 以 5 厘米直角边为轴得到的圆锥体积大 ) B. 一样大 D. 无法比较 )立方

4.柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等,如果圆柱体体积是 30 立方厘米,圆锥体体积是( 厘米;如果圆锥体体积是 30 立方厘米,圆柱体体积是( A. 10 B. 15 C. 30 D. 60 )立方厘米. E. 90 ) D. 2:9

5.如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为( A.8:27 B. 2:3 C.4:9 ) C.

6. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.

3

B.

2 3

3 3


D.

4 3

7.正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 A. 2 7 B. 3 : 2 B. 4 7

C. 2 : 3

D. 3 : 3 ) D. 2 14

8.正四棱锥的高为 6,侧棱长为 8,则棱锥的底面边长为( C.

14

9.已知圆锥的表面积为 a ,且它的侧面展开图是圆心角为

2? 的扇形,则圆锥的底面半径为( 3
D.



A.

?a 2

B.

?a 2?

C.

?a ?

a ?

?

10.若一个球的半径扩大 2 倍时,则球的表面积扩大______倍,体积扩大_____倍. 11.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球的半径 为_______厘米. 12.若一个六棱锥的高为 10cm,底面是边长为 6cm 的正六边形,则这个六棱锥的体积为 .

13.圆台的较小底面半径为 1,母线长为 2,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 ? 角,则圆台的侧面 积为_______.

B(1,0) , C (2,1) , 14.四边形 ABCD 中,A(0,0) , 绕 y 轴旋转一周, 则所得旋转体的体积为_______. D(0,3) ,

2

★能力提高
1.(1)若一个长方体的共顶点的三个面的面积分别为 3,5,15 ,则它的体积为________; (2)若一个长方体的共顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个长方体的对角线长是______.

2.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为 3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面,则两圆锥的 高之比为( A.3∶4 ) B.9∶16 C.27∶64 D.都不对

3.已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D 为 AB 中点,E 为 AC 中点,则四棱 锥 S—BCED 的体积为_______.

4.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于地面,其高为 6cm ,底面三角形的边长分别为 3cm,4cm,5cm ,以 上,下底面的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积.

5.如图,在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱,求圆柱的表面积.

6.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底面直径为 12m , 高 4 m ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面 直径比原来大 4 m (高不变) ;二是高度增加 4 m (底面直径不变). (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些?

3

链接高考
1.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm2 的几何体的三视图,则 h= cm. 3 2 3 正视图 侧视图

2 2
(正视图)

?
2
(侧视图)

2 2
(俯视图)

第1题

第2题

俯视图

第3题 )

2.已知,某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的侧面积是( A. 3? B.

? 3

C.

2? 3

D. 5? ) D.

3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 9? ? 42 B. 36? ? 18 C.

9 ? ? 12 2

9 ? ? 18 2

4.某几何体的三视图如图所示,其中正视图,侧视图均为矩形,俯视图为等腰直角三角形,则该几何体的 侧面积为 .

第4题

第5题

第6题

第7题

5.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如图所示.左视图是一个 矩形.则这个矩形的面积是( A.4 B. 2 3 ) C. 2 D.

3

6.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水,若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰 好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是____cm. 7.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一 条棱的长为 .

4


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