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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(5)(数列1)


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2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学(五) 数列 1) ( )
小题, 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题( 1.在数列 {a n } 中,已知 a1 = 1 , a2 = 5 , an + 2 = an +1 ? an ,则 a2008 等于 A.1 B.5 C.-1 D.-5 2.在等比数列 {a n } 中, a 2 = 9 , a 5 = 243 ,则 {a n } 的前 4 项和为 A.81 B.120 C.168 D.192 3.已知等差数列 {a n } 的公差为 2,若 a1 、 a3 、 a 4 成等比数列,则 a 2 等于 A.-4 4.三个数 B.-6 C.-8
2 2

D.-10

1 1 m +n ,1, 成等差数列, 又m 2 ,1, n 2 成等比数列, 则 的值为 m n m+n
B.1 或 3 C.-3 或-1 D.-3 或 1

A.-1 或 3 5.在数列{an}中, a n = A.an < a n +1

an , 其中a, b, c, 均为正实数,则 an 与 a n+1 的大小关系是 bn + c B.an > a n +1 C.an = a n +1 D.不能确定
1 a11 的值为 3 D.17

6.在等差数列 (a n ) 中,若 a 4 + a 6 + a8 + a10 + a12 = 120 ,则 a 9 ? A.14 B. 15 C. 16

7.等比数列 {a n }前n项乘积记为M n , 若M 10 = 20, M 20 = 10, 则M 30 = A.1000 B.40 C.

25 4

D.

1 8

8.在等比数列 {a n }中, a 7 ? a11 = 6, a 4 + a14 = 5, 则 A.

a 20 = a10
1 5
D. 或 ?

2 3 或 3 2

B. ?

2 3 或? 3 2
3

C. ? 5或 ?

1 3

1 2

9.若数列 {a n } 满足 a 1 , 数列,则 a n 等于。 A. 2 n +1 ? 1 A. a1 a n > a 2 a n ?1 C. a1 a n < a 2 a n ?1

a 2 ? a 1 ,a

? a 2 , K , a n ? a n ?1 , K 是首项为 1,公比为 2 的等比

B. 2 n ? 1

C. 2 n ?1

D. 2 n + 1

10.等差数列 {a n } 的公差 d ≠ 0, 若n > 3 ,则下列关系成立的是 B. a1 a n = a 2 a n ?1 D. a1 a n 与a 2 a n ?1 的大小关系不确定

11.等比数列 {a n } 的公比为 数列,则其公比为

1 * ,前 n 项和为 Sn, n ∈ N ,如 S2, S 4 ? S 2 , S 6 ? S 4 成等比 3
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?1? A. ? ? ?3?

2

?1? B. ? ? ?3?

6

C.

1 3

D.

2 3

12.数列 {a n } 是正项等比数列, {bn } 是等差数列,且 a 6 = b 7 ,则有 A. a 3 + a9 ≤ b4 + b10 C. a 3 + a9 ≥ b4 + b10 B. a 3 + a 9 ≠ b4 + b10 D. a 3 + a9 与b4 + b10 大小不确定

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

小题, 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 13.若 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 成等差数列,则

a c + = x y

14.某工厂的产量第二年比第一年增长的百分率是 p1 ,第三年比第二年增长的百分率为 p 2 , 第四年比第三年增长的百分率是 p3 ,若 p1 + p 2 + p3 = m (定值) ,则年平均增长的百分率 的最大值是 . 15.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和 Sn,若 m>1, m ∈ N m 等于 。
2 且am?1 + am+1 ? am = 0, S 2m?1 = 38 则

16.关于数列有下面四个判断: ①若 a、b、c、d 成等比数列,则 a+b、b+c、c+d 也成等比数列; ②若数列 {a n } 既是等差数列,也是等比数列,则 {a n } 为常数列;

。 ④数列 {a n } 为等差数列,且公差不为零,则数列 {a n } 中不含有 a m =a n (m≠n) 其中正确判断序号是 。

③若数列 {a n } 的前 n 项 和为 S n ,且 S n = an -1, ∈ R ) (a ,则 {a n } 为等差或等比数列;

小题, 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 解答题( 17.等比数列 {a n } 共有偶数项,且所有项之和是奇数项之和的 3 倍,前 3 项之积等于 27,求 这个等比数列的通项公式。

18.已知数列 {c n } ,其中 c n = 2 + 3 ,且数列{ c n +1 ? pc n } 为等比数列,求常数 p ;
n n

19.设数列{an}的各项为正数,若对任意的正整数 n, an 与 2 的等差中项等于其前 n 项和 Sn n 与 2 的等比中项,求{an}的通项公式.
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20. 已知数列 {a n } 中,a1=

5 2 ,以 an-1,an 为系数的二次方程:an-1x -anx+1=0 都有实根 α 、 6

β ,且满足 3 α - αβ +3 β =1。
①求证: n - {a

②求 {a n } 的通项。

1 }是等比数列; 2 1 3 4 a 1 a 8 = ? 且a 1 > a 8 3

21.已知等差数列 {a n } 满足 a 3 + a 6 = ? , (1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2) (文科)把数列 {a n } 的第 1 项、第 4 项、第 7 项、……、第 3n-2 项、……分别作为数 列 {b n }的第 1 项、第 2 项、第 3 项、……、第 n 项、……,求数列 2
b

{ } 的所有项之和;
bn

(3) (理科)设数列 {C n } 的通项为 Cn = n ? 2 n ,试比较 ( n + 1)( n + 2)C n + n ( n + 1)C n + 2 与 2n (n+2) Cn+1 的大小。

a 22. 已知数列 {a n } 中, 1 = 1, a 2 = r

(r > 0) 且数列{a n ? a n +1 }是公比为 q( q > 0且q ≠ 1 )

的等比数列,又设 b n = a 2 n ?1 ?a 2 n ( n = 1,2,3L) 。 (1)求数列 {b n } 的通项 bn 及前 n 项和 Sn; (2)假设对任意 n>1 都有 Sn>bn,求 r 的取值范围。 (文)设 {an },{bn } 为正整数数列,其中 an = 3n( n ∈ N ) , b1 = 1 , b2 = 2 ,且对任意的
*

n ≥ 2 ,有 bn 2 ? 1 bn 2 + 1 < bn +1 < bn ?1 bn ?1 (1)求数列 {bn } 的通项公式; a a a (2)求 Tn = 1 + 2 + L + n 的值。 b1 b2 bn

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2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题

数学( 数学(五) (数列 1)参考答案 )
一、选择题: 题号 1 答案 C 二、填空题: 13.2 14. 2 B 3 B 4 D 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 C 11 A 12 C

m . 3

15.10

16.(2),(4)

三、解答题 17.解: S n =3 S 奇 ? S 奇+qS 奇=3S 奇 又(a 1 q)3=27 ∴a 1 q=3 a1=

q=2 ∴an=

3 2

3 ·2n-1=3·2n-2 2
2

18.解: Q {c n +1 ? pc n } 为等比数列,Q (c n +1 ? pc n ) = (c n + 2 ? pc n +1 ) ? (c n ? pc n ?1 ), 将 c n = 2 + 3 代入得 [ 2 n ( 2 ? p ) + 3 n (3 ? p )] 2
n n

= [2 n+1 (2 ? p ) + 3 n +1 (3 ? p )] ? [2 n ?1 (2 ? p ) + 3 n ?1 (3 ? p )]

? (2 ? p )(3 ? p ) ? (2 × 6 n ? 9 × 6 n ?1 ? 4 × 6 n ?1 ) = 0 ? ?6 n ?1 (2 ? p )(3 ? p ) = 0, ∴ p = 2或p = 3 ;
(另证) ( c3 ? pc 2 ) = (c 2 ? pc1 )(c 4 ? pc 3 ) ? p 2 ? 5 p + 6 = 0 ? p = 2或p = 3 ; 由
2

①当 p = 2时

c n + 2 ? pc n +1 = L = 3; c n +1 ? pc n c ? pc n +1 =2 ②当 p = 3时得 n + 2 c n+1 ? pc n
an + 2 1 = 2 S n ,∴ S n = (a n + 2) 2 , 2 8 1 ∴当n ≥ 2时a n = S n ? S n ?1 = [(a n + 2) 2 ? (a n ?1 + 2) 2 ] ? 8a n = (a n + 2) 2 ? (a n ?1 + 2) 2 8 2 2 ? (a n ? 2) ? (a n?1 + 2) = 0 ? (a n + a n ?1 )(a n ? a n ?1 ? 4) = 0,

19.解:Q

Q {a n }的各项为正数,∴ a n ? a n ?1 = 4(n ≥ 2), 1 ∴{a n }为等差数列,由a1 = S1 = (a1 + 2) 2 得a1 = 2, 8 ∴ a n = 2 + 4(n ? 1) = 4n ? 2.
20.解:①∵3( α + β )- αβ =1 ∴

3a n 1 ? =1 a n ?1 a n ?1

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3 a n =an-1+1 ∴{a n -

a n-

1 1 1 = (an-1- ) 2 3 2

1 }是等比数列 2 1 1 1 1 ②a n - = ·( )n-1=( )n 2 3 3 3

∴a n =(

1 n 1 )+ 3 2

21.解: (1){an}为等差数列, a 3 + a 6 = a 1 + a 8 = ?

1 4 ,又 a 1 ? a 8 = ? 且 a 1 > a 8 3 3 a ? a1 4 1 求得 a1 = 1 , a 8 = ? 公差 d = 8 =? 3 7 3 1 1 4 ∴ a n = 1 ? ( n ? 1) = ? n+ n ∈ N* 3 3 3 1 4 (2) b1 = a 1 = 1 , b 2 = a 4 = 0 ∴ b n = a 3n ?2 = ? (3n ? 2) + = ? n + 2 3 3
∴2
b n +1

2 bn
b

=

2 ?( n +1) + 2 2
?n + 2

=

1 2

∴{ 2 n }是首项为 2,公比为 1 的等比数列
2

b

∴{ 2 n }的所有项的和为

(3) C n = n ? 2

bn

=4 1 1? 2 ∴ ( n + 1)( n + 2) C n + n ( n + 1)C n + 2 ? 2n ( n + 2)C n +1
= n (n + 1)(n + 2) 2 bn + n ( n + 1)( n + 2) ? 2 bn + 2 ? 2n ( n + 1)(n + 2) ? 2 b n +1 = n (n + 1)(n + 2) (2 b n + 2 b n + 2 ? 2 × 2 bn +1 ) = n (n + 1)(n + 2) 2 b n (1 + 2 b n + 2 ?bn ? 2 × 2 b n +1 ?bn ) = n (n + 1)(n + 2) ? 2 b (1 + 2 ?2 ? 2 × 2?1 ) = n (n + 1)(n + 2)2 b (1 + 1 ? 1) > 0
n n

2

其中 b n + 2 ? b n = ?( n + 2) + 2 ? ( ?n + 2) = ?2

4 b n +1 ? b n = ?( n + 1) + 2 ? ( ?n + 2) = ?1

∴ ( n + 1)( n + 2)C n + n ( n + 1)C n + 2 > 2n ( n + 2)C n +1 22.解: (1)∵ {a n ? a n +1 } 是公比为 q 的等比数列,∴ a n +2 = a n +1 ? a n +2 = q an a n ? a n+1

{a 2 n } 分别是首项为 1 与 r ,公比均为 q 的等比数列 n ?1 n ?1 n ?1 ∴ a 2 n ?1 = q , a 2 n = r ? q ∴ b n = a 2 n ?1 ? a 2 n = (1 ? r ) q
∵q ≠1 ∴ Sn = (1 ? r )(1 + q + … + q n ?1 ) = (1 ? r )
1 ? qn 1? q

∴ {a 2 n ?1 }

n ∈ N*

1 ? qn 1 ? q n ?1 (2) Sn ? b n = (1 ? r )( ? q n ?1 ) = (1 ? r ) ? 1? q 1? q

对任意的 n > 1 ,当 0 < q < 1 时, 0 < q

n ?1

<1

∴1 ? q > 0 , 1 ? q

n ?1

>0

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1? q

n ?1

1? q

>0
n ?1

当 q > 1 时, q

>1

∴1 ? q < 0 , 1 ? q

n ?1

<0



1 ? q n ?1 1? q

>0

故当 n > 1 时,均有 则 Sn ? b n > 0

1 ? q n ?1 1? q

>0

∴当 0 < r < 1 时

∵1 ? r > 0

因此,对任意 n > 1 ,使 S n > b n 的取值范围是 o < r < 1 (文) (1) bn ? 1 < bn ?1bn +1 < bn + 1 ,因为 bn 是正整数,
2 2

所以 bn = bn ?1bn +1 ,即 bn 是等比数列,又 b1 = 1, q = 2 ,所以 bn = 2
2

n ?1



(2) Tn =

3 ×1 3 × 2 3 × 3 3n + + 2 + L + n ?1 ………………① 1 2 2 2 1 3 ×1 3× 2 3(n ? 1) 3n Tn = + + L + n ?1 + n …………② 2 2 2 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 1 3 3 3 3n 3n 2 ? n ① ? ②所以 Tn = 3+ + 2 + L + n ?1 ? n = 3 + 2 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 3n + 6 整理得 Tn = 12 ? n ?1 . 2

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