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2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练:第八章


第八章 解析几何 考点 25 直线与圆

两年高考真题演练 1.(2015· 北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.(2015· 安徽)直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切, 则

b 的值是( ) B.2 或-12 D.2 或 12 )

A.-2 或 12 C.-2 或-12

3.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3), 则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 2 5 C. 3 21 B. 3 4 D.3 )

4.(2015· 湖南)若直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原点),则 r=________. 5.(2015· 山东)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线,切点 → ?PB → =________. 分别为 A,B,则PA 6.(2015· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且 与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的 标准方程为________.

7.(2015· 湖北)

如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两 点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2. (1)圆 C 的标准方程为________. (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为________. 8.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与 圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → ?ON → =12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. (2)若OM

9.(2014· 新课标全国Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积.

考点 25

直线与圆

一年模拟试题精练 1 1.(2015· 滨州模拟)当 0<k<2时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

2.(2015· 广东海珠综合测试)“a=-1”是“直线 a2x-y+6=0 与直线 4x-(a-3)y+9=0 互相垂直”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2015· 安庆模拟)若直线 l1:x+3y+m=0(m>0)与直线 l2:2x +6y-3=0 的距离为 10,则 m=( A.7 17 B. 2 C.14 ) D.17 )

4.(2015· 泉州模拟)已知点 M 是直线 l:2x-y-4=0 与 x 轴的交 点.把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是( A.3x+y-6=0 C.x+y-3=0 B.3x-y+6=0 D.x-3y-2=0 )

5.(2015· 合肥模拟)经过点 P(1,1)的直线在两坐标轴上的截距都 是正值,若使截距之和最小,则该直线的方程为( A.x-y=0 C.x-2y+1=0 B.x+y-2=0 D.x+2y-3=0 )

6.(2015· 宝鸡模拟)若动点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线 l1: x-y-5=0,l2:x-y-15=0 上移动,则 P1P2 的中点 P 到原点的距 离的最小值是( )

5 15 A.2 2 B.5 2 C. 2 2 D.15 2 7.(2015· 漳州模拟)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中 |PA|2+|PB|2 点,点 P 为线段 CD 的中点,则 |PC|2 =( A.2 B.4 C.5 D.10 8.(2015· 聊城模拟)当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1 =0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 5的圆的方程为( A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 9.(2015· 淄博模拟)过直线 2x+y+4=0 和圆(x+1)2+(y-2)2=4 的交点,并且面积最小的圆的方程为( 26 12 37 A.x2+y2+ 5 x- 5 y+ 5 =0 26 12 37 B.x2+y2+ 5 x- 5 y- 5 =0 26 12 37 C.x2+y2- 5 x- 5 y+ 5 =0 26 12 37 D.x2+y2- 5 x- 5 y- 5 =0 10.(2015· 郑州模拟)已知实数 x,y 满足 x2+y2=4(y≥0),则 m = 3x+y 的取值范围是( A.(-2 3,4) ) B.[-2 3,4] ) ) )

C.[-4,4]

D.[-4,2 3]

11.(2015· 苏州模拟)若直线 l 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,- 3), B(3, 0)为端点的线段相交, 则直线 l 的斜率的取值范围是________. 12.(2015· 三明模拟)若 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的 中点 M 且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l 的方程为________. 13.(2015· 南昌模拟)过点 P(1,2)引直线,使 A(2,3),B(4,- 5)到它的距离相等,则直线方程为________. 14.(2015· 深圳市二调)已知平面内的动点 P 与点 N(0,1)的连线 1 的斜率为 k1,线段 PN 的中点与原点连线的斜率为 k2,k1k2=-m2(m >1),动点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)恰好存在唯一一个同时满足下列条件的圆:①以曲线 C 的弦 AB 为直径;②过点 N;③直径|AB|= 2|NB|,求 m 的取值范围.

考点 26

椭 圆

两年高考真题演练 x2 y2 1.(2015· 广东)已知椭圆25+m2=1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0), 则 m=( A.2 ) B.3 C.4 D.9

x2 y2 2.(2015· 福建)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F, 短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若 4 |AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于5,则椭圆 E 的离心率的 取值范围是( A.?0,
? ?

) 3? ? B.?0,4?
? ? ? ? ?3 ? D.?4,1?

3? ? 2?

C.?

? 3 ? ? , 1 ?2 ?

x2 y2 3.(2015· 浙江)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直 b 线 y=c x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________. x2 y2 4.(2015· 陕西)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0),经过点 A(0, 2 -1),且离心率为 2 . (1)

求椭圆 E 的方程;

(2)经过点(1, 1), 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P, Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

x2 y2 5.(2014· 新课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a> b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

考点 26

椭 圆

一年模拟试题精练 x2 2 1.(2015· 宝鸡市质检一)已知抛物线 y =8x 的焦点与椭圆a2+y
2

=1 的一个焦点重合,则该椭圆的离心率为( 5 A. 5 1 B.2 2 3 C. 3

)

2 5 D. 5

2.(2015· 烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上, P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方 程为( ) x2 y 2 B.16+ 6 =1 x2 y 2 D.16+ 4 =1 x2 y2 A. 8 + 6 =1 x2 y2 C. 8 + 4 =1

3.(2015· 日照模拟)椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 3 a 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 2 ,则b的值为( 3 A. 2 9 3 C. 2 2 3 B. 2 2 3 D. 27 )

4.(2015· 杭州七校期末联考)已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,若 椭圆上存在点 P, 使得 PF1⊥PF2, 则椭圆的离心率的取值范围是( A.?
? ? ? 5 ? ? , 1 ? 5 ?

)

B.?
? ?

? 2 ? ? , 1 ? 2 ?

C.?0,

5? ? 5?

D.?0,

2? ? 2?

x2 y2 5.(2015· 聊城模拟)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

a2 F1,F2,P 是椭圆上的一点,l:x=- c ,且 PQ⊥l,垂足为 Q,若四 边形 PQF1F2 为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是(
?1 ? A.?2,1? ? ?

)

1? ? B.?0,2?
? ?

C.?0,
?

?

2? ? 2?

D.?

? 2 ? ? , 1 ?2 ?

x2 y2 6.(2015· 本溪模拟)椭圆25+16=1 的左、右焦点分别为 F1,F2, 弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆周长为π ,A,B 两点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为________. x2 y2 7.(2015· 成都模拟)椭圆 4 + 3 =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与 椭圆相交于点 A , B. 当△ FAB 的周 长最大时, △ FAB 的面积是 ________. x2 y2 8. (2015· 南京市调研)给定椭圆 C: 称圆 C1: a2+b2=1(a>b>0), 3 x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆” .已知椭圆 C 的离心率为 2 , 且经过点(0,1). (1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0, m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2,求实数 m 的值.

考点 27

双曲线

两年高考真题演练 1.(2015· 安徽)下列双曲线中,渐近线方程为 y=± 2x 的是( y2 x2 2 A.x - 4 =1 B. 4 -y =1
2

)

y2 x2 2 C.x - 2 =1 D. 2 -y =1
2

x2 y2 2.(2015· 湖南)若双曲线a2-b2=1 的一条渐近线经过点(3,-4), 则此双曲线的离心率为( 7 5 4 5 A. 3 B.4 C.3 D.3 x2 y2 3.(2015· 天津)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0 )的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3 相切,则双曲线的方 程为( ) )

x2 y2 x2 y2 A. 9 -13=1 B.13- 9 =1 x2 2 y2 2 C. 3 -y =1 D.x - 3 =1 y2 4. (2015· 四川)过双曲线 x - 3 =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,
2

交该双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( 4 3 A. 3 B.2 3 C.6 D.4 3

)

x2 y2 5.(2015· 重庆)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F, 左、右顶点分别是 A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )

1 2 A.±2 B.± 2 C.±1 D.± 2 6. (2015· 湖北)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴 长 b(a≠b)同时增加 m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则( )

A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 y2 7.(2015· 北京)已知(2,0)是双曲线 x -b2=1(b>0)的一个焦点,
2

则 b=________. 8.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程 1 为 y=± 2x,则该双曲线的标准方程为________.

x2 y2 9.(2014· 湖南)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:a2-b2=1(a1 1 1
?2 3 ? y2 x2 ?,且以 >0,b1>0)和椭圆 C2:a2+b2=1(a2>b2>0)均过点 P? , 1 ? 3 ? 2 2

C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个 → +OB → |=|AB → |?证明你的结论. 公共点,且|OA

考点 27

双曲线

一年模拟试题精练 x2 y2 1.(2015· 邯郸市质检)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条 5 渐近线为 y=- 2 x,则它的离心率为( 5 A. 2 3 B.2 3 5 C. 5 ) 2 D.3

x2 y2 2.(2015· 天津市六校联考)以双曲线 9 -16=1 的右焦点为圆心, 且与其渐近线相切的圆的方程是( A.x2+y2-10x+9=0 C.x2+y2+10x+16=0 ) B.x2+y2-10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0

x2 y2 3.(2015· 厦门市质检)过双曲线 C: 4 - 9 =1 的左焦点作倾斜角 π 为 6 的直线 l,则直线 l 与双曲线 C 的交点情况是( A.没有交点 B.只有一个交点 C.两个交点都在左支上 D.两个交点分别在左、右支上 x2 y2 4.(2015· 晋冀豫三省二调)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的 一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9 相交于 A,B 两点,若|AB|=2,则该 双曲线的离心率为( A.8 B.2 2 ) C.3 D.4 )

x2 y2 5.(2015· 忻州一中等四校联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>

6 0)的离心率为 2 ,则此双曲线的渐近线方程为( A.y=± 2x 2 C.y=± 2 x B.y=± 2x 1 D.y=± 2x

)

6.(2015· 玉溪一中检测)若圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交 点 A,B 都在双曲线上,且 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分, 则此双曲线的标准方程为( y2 x2 A. 9 -72=1 x2 y2 C.16-81=1 ) x2 y 2 B. 9 -72=1 y2 x2 D.81-16=1

x2 y2 7.(2015· 四川省统考)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A、B 两点,△ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心 率是( A.3 ) B.2 C. 2 D. 3

x 2 y2 8.(2015· 荆门市调研)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于 A,B 两点,且与 → =λ OA → +μ 双曲线在第一象限的交点为 P,设 O 为坐标原点,若OP → (λ,μ ∈R),λ ?μ = 3 ,则双曲线的离心率为( OB 16 2 3 A. 3 3 5 B. 5 3 2 C. 2 9 D.8 )

x2 y2 9. (2014· 广州综合测试)已知双曲线 E: a2- 4 =1(a>0)的中心为

3 5 a2 原点 O,左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 5 ,点 P 是直线 x= 3 → ?QF → =0. 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足PF 2 2 (1)求实数 a 的值; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1, 过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不 |PM| |MH| 同两点 M, N, 在线段 MN 上取异于点 M, N 的点 H, 满足 |PN| = |HN| , 证明:点 H 恒在一条定直线上.

考点 28

抛物线

两年高考真题演练 1.(2015· 陕西)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1), 则该抛物线焦点坐标为( A.(-1,0) ) C.(0,-1) D.(0,1)

B.(1,0)

2.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率 1 为2,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线 与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 B.6 ) C.9 D.12

3.(2015· 四川)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与 圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点, 若这样 的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( A.(1,3) B.(1,4) ) D.(2,4)

C.(2,3)

4.(2015· 浙江)如图,

1 已知抛物线 C1:y=4x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t >0)作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A, B 为切点. (1)求点 A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不 平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.

5.(2014· 安徽)如图,

已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2:y2=2p2x(p2>0),过原 点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1,A2 两点,l2 与 E1, E2 分别交于 B1,B2 两点. (1)证明:A1B1∥A2B2; (2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记 S1 △A1B1C1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求S 的值.
2

考点 28

抛物线

一年模拟试题精练 1.(2015· 唐山市摸底)抛物线 y=2x2 的准线方程是( 1 A.x=-2 1 C.y=-8 1 B.x=2 1 D.y=8 )

x2 y2 2.(2015· 巴蜀中学一模)双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离 心率为 2,抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线 C 的渐近线交于 A,B 两 点,△OAB(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y2=8x C.y2=2x B.y2=4x D.y2=4 3x )

3.(2015· 北京西城区检测)设抛物线 W:y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线与 W 相交于 A,B 两点,记点 F 到直线 l:x=-1 的距离为 d, 则有( ) B.|AB|=2d D.|AB|<2d

A.|AB|≥2d C.|AB|≤2d

4.(2015· 忻州一中等四校一联)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物 线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F,M 为抛物线 C 上一点,若△OFM 的 外接圆与抛物线 C 的准线相切, 且外接圆的面积为 9π , 则 p=( A.2 B.4 C.6 D. 8 )

5. (2015· 延安摸拟)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个 公共点,则 k 的值为( A.1 ) C.0 D.1 或 0

B.1 或 3

6.(2015· 昆明一中检测)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,

准线为 l,A 为 C 上一点,以 F 为圆心且经过点 A 的圆与 l 交于 B,D 两点,若∠ABD=90°,|AF|=2,则 p=( A.1 B. 3 C.2 D. 6 )

7.(2015· 云南部分名校第一次联考)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 为 F,O 为坐标原点,M 为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO 的面积为 4 3,则抛物线方程为( A.y2=6x C.y2=16x )

B.y2=8x 15 D.y2= 2 x

x2 y2 8.(2015· 吉林市摸底)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶 点与抛物线 y2=2px 的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛 物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 )

9.(2015· 云南玉溪一中期中)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( 5 2 A. 2 +2 5 2 C. 2 -2 5 2 B. 2 +1 5 2 D. 2 -1 )

10. (2015· 铜陵模拟)过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛 →= 物线交于 B,C 两点,l 与抛物线的准线交于点 A,且|AF|=6,AF → ,则|BC|=( 2FB 9 A.2 B .6 ) 13 C. 2 D.8

11.(2015· 巴蜀中学一模)已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(b>0),

圆心在抛物线 y2=4x 上,经过点 A(3,0),且与抛物线的准线相切, 则圆 C 的方程为____________. 12.(2014· 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为 圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物 线的准线距离之和的最小值是________. 13.(2015· 衡水中学四调)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),点 P 是点 F 关于 y 轴的对称点,过点 P 的直线交抛物线于 A,B 两点. (1)试问在 x 轴上是否存在不同于点 P 的一点 T,使得 TA,TB 与 x 轴所在的直线所成的锐角相等,若存在,求出定点 T 的坐标,若不 存在,说明理由; 5 → ,OB → 的夹角. (2)若△AOB 的面积为2,求向量OA

考点 29

圆锥曲线的综合问题

两年高考真题演练 x2 y2 1.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心 2 率为 2 ,点(2, 2)在 C 上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘 积为定值.

x2 y2 2.(2015· 山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:a2+b2= 1? ? 3 1(a>b>0)的离心率为 2 ,且点? 3,2?在椭圆 C 上. ? ? (1)求椭圆 C 的方程; x2 y2 (2)设椭圆 E:4a2+4b2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的 直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. |OQ| (ⅰ)求 |OP| 的值; (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.

x2 y2 3.(2014· 重庆)如图,设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分 |F1F2| 别为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, |DF | =2 2,△DF1F2 的
1

2 面积为 2 . (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆, 使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个 交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦 点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

考点 29

圆锥曲线的综合问题

一年模拟试题精练 x2 y2 1.(2015· 昆明一中检测)设椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 为 F(- 2,0),过 F 的直线交 C 于 A,B 两点,设点 A 关于 y 轴的 对称点为 A′,且|FA|+|FA′|=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 在第一象限,当△AFA′面积最大时,求|AB|的值.

2. (2015· 巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是 F1(-1, 0), F2(1, 0),过点 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P,Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线与椭圆交于不同的两点 M,N,则△F1MN 的内切 圆面积是否存在最大值?若存在, 则求出这个最大值及此时的直线方 程;若不存在,请说明理由.

x2 y2 3.(2015· 云南省名校统考)如图,已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b> 2 0)的离心率为 2 ,且过点(2, 2),四边形 ABCD 的顶点在椭圆 E 上, b2 且对角线 AC,BD 过原点 O,kAC?kBD=-a2. →· → 的取值范围; (1)求OA OB (2)求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

x2 y 2 4.(2015· 锦州市期末)如图,已知点 F 为椭圆 C:a2+b2=1(a>b >0)的右焦点,圆 A:(x+t)2+y2=2(t>0)与椭圆 C 的一个公共点为 B(1,0),且直线 FB 与圆 A 相切于点 B. (1)求 t 的值及椭圆 C 的标准方程; → =OM → +3ON → ,其中 M,N 是椭圆 C (2)设动点 P(x0,y0)满足OP 1 2 上的点,O 为原点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为-2,求证:x0 +
2 2y0 为定值.

参考答案 第八章 解析几何 考点 25 【两年高考真题演练】 1.D [圆的半径 r= 12+12= 2,∴圆的方程为(x-1)2+(y- 1)2=2.] 2.D [圆方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,∴该圆是以(1,1)为 圆 心 , 以 1 为 半 径 的 圆 , ∵ 直 线 3x + 4y = b 与 该 圆 相 切 , ∴ |3?1+4?1-b| =1.解得 b=2 或 b=12,故选 D.] 32+42 3.B [由点 B(0, 3),C(2, 3),得线段 BC 的垂直平分线方 程为 直线与圆

x=1,① 由点 A(1,0),B(0, 3),得线段 AB 的垂直平分线方程为 3 3? 1? y- 2 = 3 ?x-2?,② ? ? 2 ? 联立①②,解得△ABC 外接圆的圆心坐标为?1,3
?

3?,

? ?

其到原点的距离为 4.2 [如图,

?2 12+?3 ?

?2 21 3? = 3 .故选 B.] ?

过 O 点作 OD⊥AB 于 D 点,在 Rt△DOB 中,∠DOB=60°, ∴∠DBO=30°, 又|OD|= |3?0-4?0+5| =1, 5

∴r=2|OD|=2.] 3 5.2 [由题意,圆心为 O(0,0),半径为 1. 如图所示, ∵P(1, 3),∴PA⊥x 轴,PA=PB= 3.

∴△POA 为直角三角形,其中 OA=1,AP= 3,则 OP=2, ∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°. → ·PB → =|PA → ||PB → |·cos∠APB= 3? 3?cos 60°=3.] ∴PA 2 6.(x-1)2+y2=2 [直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),

由题意,得半径最大的圆的半径 r= (1-2)2+(0+1)2= 2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.] 7.(1)(x-1)2+(y- 2)2=2 (2)- 2-1 [(1)由题意,设圆心

?|AB|?2 C(1,r)(r 为圆 C 的半径),则 r2=? 2 ? +12=2,解得 r= 2.所以圆 ? ?

C 的方程为(x-1)2+(y- 2)2=2. (2) 法一 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点

C(1, 2),所以直线 BC 的斜率为 kBC=-1,所以过点 B 的切线方程 为 y-( 2+1)=x-0,即 y=x+( 2+1). 令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1. 法二 令 x=0,得 y= 2±1,所以点 B(0, 2+1).又点 C(1,

2),设过点 B 的切线方程为 y-( 2+1)=kx,即 kx-y+( 2+1)= 0. 由题意,圆心 C(1 , 2) 到直线 kx - y + ( 2 + 1) = 0 的距离 d = |k- 2+ 2+1| =r= 2,解得 k=1.故切线方程为 x-y+( 2+1)= k2+1 0.令 y=0,得切线在 x 轴上的截距为- 2-1.] 8.解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1,

|2k-3+1| 因为 l 与 C 交于两点,所以 <1. 1+k2 4- 7 4+ 7 解得 3 <k< 3 . 所以 k 的取值范围为?
? ?4- 7

3



4+ 7? ?. 3 ?

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

4(1+k) 7 所以 x1+x2= ,x1x2= . 2 1 +k 1+k2 → ?ON → =x x +y y OM 1 2 1 2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = 4k(1+k) +8. 1+k2

4k(1+k) 由题设可得 +8=12, 1+k2 解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以|MN|=2. 9.解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,

所以圆心为 C(0,4),半径为 4. → =(x,y-4),MP → =(2-x,2-y). 设 M(x,y),则CM → ?MP → =0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 由题设知CM 即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点 P 在圆 C 的内部, 所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 1 上,从而 ON⊥PM.因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-3, 1 8 故 l 的方程为 y=-3x+3. 4 10 4 10 又|OM|=|OP|=2 2,O 到 l 的距离为 5 ,|PM|= 5 , 16 所以△POM 的面积为 5 . 【一年模拟试题精练】

1.B [l1 和 l2 的交点坐标为?

? k

2k-1? ?, , ?k-1 k-1 ?

2k-1 1 k ∵0<k<2,∴ <0, >0, k-1 k-1 故 l1 和 l2 交点在第二象限.] 2.A [直线 a2x-y+6=0 与直线 4x-(a-3)y+9=0 互相垂直 3 的充要条件是 4a2+a-3=0,解得 a=-1 或 a=4,所以“a=-1” 是“直线 a2x-y+6=0 与直线 4x-(a-3)y+9=0 互相垂直”的充分 不必要条件,故选 A.] 3 3.B [∵l2:x+3y-2=0,∴l1∥l2, 3 |m+2| 12+32

故 l1 和 l2 的距离为

= 10,

17 ∵m>0,∴m= 2 .] 4. A [M(2, 0), 旋转前, k=2=tan θ; 旋转后 k=tan(θ+45°) tan θ+tan 45° = =-3, 1-tan θtan 45° 故旋转后的直线方程为 y-0=-3(x-2),即 3x+y-6=0.] k-1 5.B [y-1=k(x-1),横截距为 k ,纵截距为 1-k,由题意 k-1 ? 1? 得 k<0, k +1-k=2+?-k?+(-k)≥2+2 ? ?
? 1? ?- ?· (-k)=4, ? k?

1 当且仅当-k =-k,即 k=-1 取等号,故该直线的方程为 x+y-2 =0.] y1+y2 x1+x2 6.B [ 2 = 2 -10,

令 t=

x1+x2 2 2 2 , 故 P(t , t - 10) , |OP| = t +(t-10) =

2(t-5)2+50≥5 2.] 7.D [

建立如图坐标系,设 A(a,0),B(0,b),
?a b? ?a b? 则 D?2,2?,P?4,4?, ? ? ? ?

9 1 1 9 |PA|2=16a2+16b2,|PB|2=16a2+16b2, 1 1 |PC|2=16a2+16b2, |PA|2+|PB|2 故 |PC|2 =10.] 8. C [该直线可整理为 a(x+1)+(-x-y+1)=0, 故定点 C 为(- 1,2),所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即 x2+y2+2x-4y =0.] 9. A [将 y=-4-2x 代入(x+1)2+(y-2)2=4 整理得: 5x2+26x 26 12 + 33 = 0 , x1 + x2 =- 5 , y1 + y2 =- 4 - 2x1 - 4 - 2x2 = 5 ,弦长= 2 22-? ?
?|-2+2+4|?2 4 5 ? = 5 ,满足条件面积最小的圆为以两交点的 2 2 +1 ? ? ?

26 12 37 中点为圆心,弦长为直径的圆,故圆的方程为 x2+y2+ 5 x- 5 y+ 5 =0.] 10.

B [由图可知,当 m= 3x+y 过(-2,0)时,m 取最小值,最小 值为-2 3;当 m= 3x+y 与该半圆相切时,m 取最大值, |m| =2,m=4,故 m∈[-2 3,4].] ( 3)2+1 1? ? 11. ?-∞,-2? ∪ [5 ,+∞ )
? ?

[ 由题意得: l 的斜率 k ≥ kPA =

2-(-3) 0-2 1 =5 或 k≤kPB= =-2.] -1-(-2) 3-(-1) 12.x+y-5=0 或 2x-3y=0 [AB 的中点为 M(3,2), 2 当 l 的截距为 0 时,可设 y=kx,得 k=3, x y 当 l 的截距不为 0 时,可设 l 的方程为a+a=1 得 a=5. 故 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.] 13.4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0 [AB 的中点为(3,-1),满

足条件的直线为过 AB 的中点或与 AB 平行.当过 AB 的中点(3,-1) y-2 x-1 时, = ,即 3x+2y-7=0;当该直线与 AB 平行时, 2-(-1) 1-3 该直线方程为 y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0.] 14.解
? x y+1? ?,由 (1)设 P(x,y),记 PN 的中点为 M,则 M? , 2 ? ?2

y+1 2 y-1 1 题 意 k1 = x (x ≠ 0) , k2 = x (x ≠ 0) , 由 k1k2 = - m2 可 得 2

(y-1)? x x· 2

?y+1? ? ? 2 ?

1 x2 =-m2(x≠0),化简整理可得:m2+y2=1(x≠0),即曲

x2 线 C 的方程为m2+y2=1(x≠0). (2)由题意 N(0,1), 若存在以曲线 C 的弦 AB 为直径的圆过点 N,则有 NA⊥NB, 所以直线 NA、NB 的斜率都存在且不为零,设直线 NA 的斜率为 1 k(不妨设 k>0),∴直线 NA:y=kx+1,直线 NB:y=-kx+1,由

?y=kx+1, 消去 y 整理可得 ? x2 2 2+y =1, ?m
2m2k (1+m k )x +2m kx=0,解得 xA=- , 1+m2k2
2 2 2 2

|2m2k| 1 所以|NA|= 1+k 2 2,以- 代替 k 可得 k 1 +m k
2

|NB|=

2m2 1+k2 m2= 1+k 2 , k +m2 1 + k2
2

?2m ? ? ? 1? k ?

2

又∵|AB|= 2|NB|, 即有|NA|= |AB|2-|NB|2=|NB|,
2 |2m2k| 2 2m ∴ 1+k = 1+k 2 , 1+m2k2 k +m2 2

∴k3+m2k=1+m2k2,即(k-1)[k2+(1-m2)k+1]=0, ①当 m= 3时, (k-1)[k2+(1-m2)k+1]=(k-1)3=0, 解得 k=1; ②当 1<m< 3时,方程 k2+(1-m2)k+1=0,有 Δ=(1-m2)2- 4<0,

∴方程(k-1)[k2+(1-m2)k+1]=(k-1)3=0 有唯一解 k=1; ③当 m> 3时, 方程 k2+(1-m2)k+1=0 有 Δ=(1-m2)2-4>0, 且 12+(1-m2)?1+1≠0, 所以方程(k-1)[k2+(1-m2)k+1]=(k-1)3=0 有三个不等的根, 综上,当 1<m≤ 3时,恰有一个圆符合题意. 考点 26 【两年高考真题演练】 1.B [由题意知 25-m2=16,解得 m2=9,又 m>0,所以 m= 3.] 2.A [ 椭 圆

左焦点 F0,连接 F0A,F0B,则四边形 AFBF0 为平行四边形. ∵|AF|+|BF|=4, ∴|AF|+|AF0|=4, ∴a=2. 设 M(0,b), 4b 4 则 5 ≥5, ∴1≤b<2. c 离心率 e=a= c2 a2= a2-b2 a2 =

4-b2 ? 3? ?0, ?,故选 A.] ∈ 4 2? ?
?x0+c y0? 2 y0 ?,kFQ= 3. 2 [设 Q(x0,y0),则 FQ 的中点坐标? , , 2? x0-c ? 2

x +c · ?y2 =b c 2 , 依题意? y b c =-1, ?x -c·
0 0 0 0

? 解得? 2bc y = ? a ,
2 0 2

c(2c2-a2) x0= , a2

又 因 为 (x0 , y0) 在 椭 圆 上 , 所 以

c2(2c2-a2)2 4c4 c 2 6 2 + 6 4 =1,令 e= ,则 4e +e =1,∴离心率 e= a a a 2 .] 4.(1)解 c 2 由题设知a= 2 ,b=1,

结合 a2=b2+c2,解得 a= 2, x2 2 所以椭圆的方程为 2 +y =1. (2)证明 由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代

x2 2 入 2 +y =1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0, 由已知 Δ>0, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 4k(k-1) 2k(k-2) 则 x1+x2= ,x1x2= , 2 1+2k 1+2k2 从而直线 AP,AQ 的斜率之和 y1+1 y2+1 kx1+2-k kx2+2-k kAP+kAQ= x + x = + x x
1 2 1 2

x1+x2 ?1 1? =2k+(2-k)?x +x ?=2k+(2-k) x x
?
1 2? 1 2

4k(k-1) =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2. 2k(k-2) 5.解 (1)根据 c= a2-b2及题设知

b2 b2? a 3 ? M?c, a ?,2c=4,2b2=3ac. ? ? c 1 c 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得a=2,a=-2(舍去).故 C 的 1 离心率为2. (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 b2 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 a =4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
?2(-c-x1)=c, ?x1=- c. ? 2 ? 即? ? - 2 y = 2 , ? 1

3

?y1=-1.

9 c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 9(a2-4a) 1 将①及 c= a -b 代入②得 +4a=1. 4a2
2 2

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 【一年模拟试题精练】

7.

1.D [y2=8x 的焦点坐标为(2,0),由题意得: a2-1=2,得 c 2 2 5 a= 5,e=a= = 5 .] 5 2.A [由|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2a=4c,得 a=2c, 4 3 2+ 2 a a -c2=1,得 a=2 2,b= 6, x2 y2 因此,椭圆的标准方程为 8 + 6 =1.] 3.A [将 y=1-x 代入 ax2+by2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b

-1=0,x1+x2=

2b 2a ,y1+y2=1-x1+1-x2= ,因此 AB 的中 a+b a+b

a ? b a ? a+b a 3 点?a+b,a+b?, b =b= 2 .] ? ? a+b 4.B [ 由 |PF1| + |PF2| = 2a 和 |PF1|2 + |PF2|2 = |F1F2|2 = 4c2 得,
?|PF1|+|PF2|?2 1 ? =a2,即 a2≤2c2,e2≥ ,得 e∈ 2 2 ? ?

|PF1||PF2|=2a2-2c2≤?
? 2 ? ? ,1?.] ? 2 ?

2c2-a2 5.A [由题意得|PQ|=|F1F2|=2c,得 P 的横坐标为 c ,- 2c2-a2 ?1 ? a< c <a, 即-ac<2c2-a2<ac, -e<2e2-1<e, 得 e∈?2,1?.]
? ?

5 6.3 [|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,因此 |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+ |BF2|=4a=20=|AB|+ |BF2|+ |AF2|,2πr= 1 1 1 π,r=2,S△ABF2=2(|AB|+|BF2|+|AF2|)r=2|F1F2||y1-y2|,得|y1- 5 y2|=3.] 7.3 [设 F2 为椭圆右焦点,|AF|+|AF2|=2a=4,|BF|+|BF2|=

2a=4,故|AF|+|BF|+|AF2|+|BF2|=4a=8≥|AF|+|BF|+|AB|,故当△ 1 FAB 的周长最大时,x=m 过椭圆右焦点 F2,则|AB|=3,故 S△FAB=2 |F2F|·|AB|=3.] 8.解 (1)记椭圆 C 的半焦距为 c.

c 3 由题意,得 b=1,a= 2 ,c2=a2+b2,解得 a=2,b=1.

x2 2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 4 +y =1,圆 C1 的方程为 x2+y2= 5.显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx-y+m=0. 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,

?y=kx+m, 故方程组?x2 2 (*)有且只有一组解. + y = 1 , ?4
由(*)得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 从而 Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0. 化简,得 m2=1+4k2.① 因为直线 l 被圆 x2+y2=5 所截得的弦长为 2 2, 所以圆心到直线 l 的距离 d= 5-2= 3. 即 |m| = 3.② k2+1

由①②,解得 k2=2,m2=9. 因为 m>0,所以 m=3. 考点 27 【两年高考真题演练】 y2 1. A [由双曲线渐近线方程的求法知; 双曲线 x - 4 =1 的渐近
2

双曲线

线方程为 y=± 2x,故选 A.] b 3b 2.D [由条件知 y=-ax 过点(3,-4),∴ a =4, 即 3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2, 5 ∴25a2=9c2,∴e=3.故选 D.] x2 y2 3.D [双曲线a2-b2=1 的一个焦点为 F(2,0),则 a2+b2=4,

① b 双曲线的渐近线方程为 y=± ax, 由题意得 2b = 3,② a2+b2
2

y2 联立①②解得 b= 3,a=1,所求双曲线的方程为 x - 3 =1, 选 D.] 4.D [右焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近 y2 线方程为 x - 3 =0,将 x=2 代入渐近线方程得 y2=12,y=± 2 3,
2

∴|AB|=2 3-(-2 3)=4 3.选 D.] 5.C [

x2 y 2 双曲线a2-b2=1 的右焦点 F(c,0),左、右顶点分别为 A1(-a, b? b? ? ? 0),A2(a,0),易求 B?c, a ?,C?c,- a ?,则 ? ? ? ? b2 b2 a a kA2C= ,kA1B= , c+a a-c 又 A1B 与 A2C 垂直, b2 b2 b4 a a a2 则有 kA1B·kA2C=-1,即 · =-1,∴ 2 =1, c+a a-c c -a2 ∴a2=b2,即 a=b, b ∴渐近线斜率 k=± 1.] a=±
2 2

6.B [e1=

b2 1+a2,e2=

(b+m)2 1+ .不妨令 e1<e2,化 (a+m)2

b b+m b b+m 简得a< (m>0),得 bm<am,得 b<a.所以当 b>a 时,有a> , a+m a+m b b+m 即 e1>e2;当 b<a 时,有a< ,即 e1<e2.故选 B.] a+m 7. 3 [由题意:c=2,a=1,由 c2=a2+b2.得 b2=4-1=3,所 以 b= 3.] x2 2 8. 4 -y =1 1 [由双曲线渐近线方程为 y=± 2x,可设该双曲线的

x2 2 42 标准方程为 4 -y =λ(λ≠0), 已知该双曲线过点(4, 3), 所以 4 -( 3)2 x2 2 =λ,即 λ=1,故所求双曲线的标准方程为 4 -y =1.] 9.解 (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从

?2 3 ? ?2 3? y2 2 ?在双曲线 x - 2=1 上,所以? ? 而 a1=1,c2=1.因为点 P? , 1 b1 ? 3 ? ? 3 ?

2 1 2 -b2=1.故 b1 =3. 1 由椭圆的定义知 2a2=
?2 3?2 ? ? +(1-1)2+ ? 3 ? ?2 3?2 ? ? +(1+1)2=2 3. ? 3 ?

2 2 于是 a2= 3,b2 =a2 2-c2=2,故 C1,C2 的方程分别为

y2 y 2 x2 x - 3 =1, 3 + 2 =1.
2

(2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x= 2或 x=- 2. 当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3),

→ +OB → |=2 2,|AB → |=2 3. 所以|OA → +OB → |≠|AB → |. 此时,|OA → +OB → |≠|AB → |. 当 x=- 2时,同理可知,|OA ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.

?y=kx+m, 由? 2 y2 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. ?x - 3 =1
当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1, x2 是上述方程的两个实根, m2+3 2km 从而 x1+x2= ,x x = . 3-k2 1 2 k2-3 3k2-3m2 于是 y1y2=k x1x2+km(x1+x2)+m = 2 . k -3
2 2

?y=kx+m, 由?y2 x2 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. ? 3 + 2 =1
因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简,得 2k2=m2-3,因此 m2+3 3k2-3m2 → → OA?OB=x1x2+y1y2= 2 + 2 k -3 k -3 -k2-3 = 2 ≠0, k -3 → 2+OB → 2+2OA → ?OB → ≠OA → 2+OB → 2-2OA → ?OB →, 于是OA → +OB → |2≠|OA → -OB → |2,故|OA → +OB → |≠|AB → |. 即|OA 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线. 【一年模拟试题精练】

c2-a2 b b 5 5 1. B [该双曲线的渐近线为 y=± x , 故 = , 即 = a a 2 a 2, c 3 e=a=2.] 3 2.A [该双曲线的渐近线为 y=± 4x,右焦点坐标为(5,0),(5, 0)到渐近线的距离为 4,故该圆的标准方程为(x-5)2+y2=16,即 x2 +y2-10x+9=0.] 3 .D π 3 3 3 [该双曲线的渐近线为 y=± x , k = l=tan 2 6 3 <2,故 l

与双曲线 C 的交点分别在左、右两支上.] 4.C [双曲线的一条渐近线方程为 bx-ay=0,因为圆心为(3, 0),半径为 3,由|AB|=2,可知圆心到直线 AB 的距离为 2 2,于是 3b c 2 2 2 2 2 2=2 2,解得 b =8a ,于是 c= a +b =3a,所以 e=a=3.] a +b c 6 5.C [∵e=a= 2 ,故可设 a=2k,c= 6k,则得 b= 2k,∴ 2 渐近线方程为 y=± 2 x.] 6.A
2 2 ? ?x +y -4x-9=0, ? ?x=0, ? ?x=0, ? [解方程组 得? 或? ? ? ? ?x=0, ?y=3 ?y=-3.

∵圆 x2+y2-4x-9=0 与 y 轴的两个交点 A, B 都在某双曲线上, 且 A,B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,
?18?2 ∴A(0,-3),B(0,3),∴a=3,2c=18,∴b2=? 2 ? -32=72, ? ?

y2 x2 ∴双曲线方程为 9 -72=1.] 7.B [因为 AB⊥x 轴,又已知△ABE 是直角三角形,且显然 AE =BE,所以△ABE 是等腰三角形,所以∠AEB=90°,所以∠AEF=

b? ? 45°,所以 AF=EF,易知点 A?-c, a ?(不妨设点 A 在 x 轴上方), ? ? b2 故 a =a+c,即 b2=a(a+c),得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0, 解得 e=2,或 e=-1(舍去).] bc? ? 8.A [不妨设 A 在第一象限,故 A 的坐标为?c, a ?,P 的坐标
? ?

2

b? ? → =bFA → = b (OA → -OB → ). 为?c, a ?,因此FP c 2 c ? ? → =OF → +FP → =1(OA → +OB → )+ b (OA → -OB →) OP 2 2c
?1 b ? → ?1 b ? → =?2+2c?OA +?2-2c?OB ? ? ? ? ?1 b ??1 b ? 3 3 c 2 3 ∵λ·μ=16,∴?2+2c??2-2c?=16,得 e=a= 3 .] ? ?? ?

2

9.(1)解

设双曲线 E 的半焦距为 c, 5.

?c=3 5, 5 由题意可得?a 解得 a= 2 2 ?c =a +4,
(2)证明

a2 5 由(1)可知,直线 x= 3 =3,点 F2(3,0).
?

?5 ? 设点 P?3,t?,Q(x0,y0), ?

→ ?QF → =0 , 因为PF 2 2 5 ? ? 所以?3-3,-t??(3-x0,-y0)=0,
? ?

4 所以 ty0=3(x0-3). 因为点 Q(x0,y0)在双曲线 E 上,
2 2 x0 y0 4 2 2 所以 5 - 4 =1,即 y0 =5(x0 -5),

y0-t y0 y2 0-ty0 所以 kPQ?kOQ= ? = 5 x0 2 5 x 0 -3 x0-3x0 4 2 4 ( x 0-5)- (x0-3) 5 3 = 5 x2 0 - x0 3 4 2 4 5x0-3x0 4 = 5 =5, 2 x0-3x0 所以 PQ 与 OQ 的斜率之积为定值. (3)证明
?5 ? P?3,1?,设 H(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2), ? ?

|PM| |MH| 令 |PN| = |HN| =λ, 则|PM|=λ|PN|,|MH|=λ|HN|, 5 5 ? ? ? ?? ?x1- ,y1-1?=λ?x2- ,y2-1?, 3 3 ? ? ? 即?? ?(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y), 整 5
1 2



, ①



?x -λx =3(1-λ), ? ?y -λy =1-λ , ② ?x +λx =x(1+λ), ?y +λy =y(1+λ),
1 1 1 2 2 2

③ ④ ③ , ② ⑤ ⑥ ? ④ 得





?

5 2 2 2 ?x2 1-λ x2= (1-λ )x, 3 ? 2 2 2 ? y2 1-λ y2=(1-λ )y,

4 2 4 2 2 将 y2 1= (x1-5),y2= (x2-5)代入⑥, 5 5

2 2 2 4 x1-λ x2 得 y=5? -4. ⑦ 1-λ2

4 将⑤代入⑦,得 y=3x-4, 所以点 H 恒在定直线 4x-3y-12=0 上.考点 28 抛物线 【两年高考真题演练】 p 1.B [由于抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=-2,由题意 p 得-2=-1,p=2,焦点坐标为(1,0),故选 B.] c 1 2.B [因为 e=a=2,y2=8x 的焦点为(2,0),所以 c=2,a=4, x2 y2 故椭圆方程为16+12=1,将 x=-2 代入椭圆方程,解得 y=± 3,所 以|AB|=6.] 3.D [

2 ? ?y1=4x1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则? 2 相减得(y1+y2)(y1 ? ?y2=4x2,

-y2)=4(x1-x2), 当 l 的斜率不存在时,符合条件的直线 l 必有两条; 当 l 的斜率存在时,x1≠x2,则有 y1+y2 y1-y2 2 ·x1-x2=2,即 y0·k=2,

y0-0 由 CM⊥AB 得 k· =-1,y0k=5-x0,2=5-x0,∴x0=3, x0-5

即 M 必在直线 x=3 上,将 x=3 代入 y2=4x,得 y2=12,有- 2 3<y0<2 3,
2 ∵点 M 在圆上,∴(x0-5)2+y0 =r2,r2=y2 0+4<12+4=16, 2 又 y2 0+4>4,∴4<r <16,∴2<r<4,故选 D.]

4.解

(1)由题意知直线 PA 的斜率存在,故可设直线 PA 的方程

为 y=k(x-t).

?y=k(x-t), 由? 1 2 消去 y,整理得: y = x ? 4
x2-4kx+4kt=0, 由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t, 因此,点 A 的坐标为(2t,t2). 设圆 C2 的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0), 由题意知:点 B,O 关于直线 PD 对称,故 2t y x x = , 0 0 0 ? =- +1, 1+t2 2t 解得 ?2 2t2 ?x0t-y0=0. y0 = . 1+t2

? ? ?

? 2t 2t ? 因此,点 B 的坐标为?1+t2,1+t2?. ? ?

2

(2)由(1)知,|AP|=t· 1+t2 和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0, t2 点 B 到直线 PA 的距离是 d= , 1+t2 设△PAB 的面积为 S(t), 1 t3 所以 S(t)=2|AP|?d= 2 . 5.(1)证明 0), 设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠

?y=k1x, ? ?2p1 2p1? 由? 2 得 A1? k2 , k ?, ? 1 1 ? ?y =2p1x, ? ? ?y=k1x, ?2p2 2p2? 由? 2 得 A2? k2 , k ?. ? 1 1 ? ?y =2p2x, ? ?2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? k2 , k ?,B2? k2 , k ?. ?
2 2

?

?

2

2

?

?2p1 2p1 2p1 2p1? 所以A→ 1B1=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p1?k2-k2,k -k ?, ?
2 1 2 1?

?2p2 2p2 2p2 2p2? A→ 2B2=? k2 - k2 , k - k ? ?
2 1 2 1

?

?1 1 1 1? =2p2?k2-k2,k -k ?. ?
2 1 2 1?

p1 → 故A→ 1B1= A2B2, p
2

所以 A1B1∥A2B2. (2)解 由(1)知 A1B1∥A2B2,

同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
? ? S1 ?|A→ 1B1|?2 因此S =? ? . → 2 ?|A2B2|?

p1 → |A→ p1 1B1| → 又由(1)中的A1B1=p A2B2知 =p . 2 2 |A→ 2B2| S1 p2 1 故S =p2. 2 2 【一年模拟试题精练】 1 1.C [把抛物线 y=2x2 的方程化成标准形式为 x2=2y,是焦点

1 在 y 轴正半轴的抛物线,所以其准线方程为 y=-8.] a2+b2 c 2.C [∵a= a = 2,∴a=b,故双曲线的渐近线方程为 y=± x,因此可设 A 的坐标为(x0,x0),则 B 的坐标为(x0,-x0),S△AOB 1 2 =2x0·2x0=x0 =4,则 x0=2 或 x0=-2(舍),将(2,2)代入 y2=2px, p=1,故抛物线的方程为 y2=2x.] 3.A [设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),由抛物线的定 义得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2;d=2. 当直线 AB 的斜率不存在时,|AB|=4=2d, 当直线 AB 的斜率存在时,AB 的直线方程为 y=k(x-1),将其代 2k2+4 4 入 y =4x,整理得:k x -(2k +4)x+k =0,x1+x2= k2 =2+k2>
2 2 2 2 2

2,|AB|>4=2d,综上,|AB|≥2d.] 4.B [∵△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切, ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径, ∵圆的面积为 9π,∴圆的半径为 3,又∵圆心在 OF 的垂直平 p p p 分线上,|OF|=2,∴2+4=3,∴p=4.] 5.D
? ?y=kx+2, [由? 2 得 ky2-8y+16=0, ? y =8 x ?

若 k=0,则 y=2,若 k≠0,则 Δ=0, 即 64-64k=0,解得 k=1, 因此直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k =0 或 k=1.] 6.A [设准线与 x 轴交于 E,由题意,|AF|=|BF|=|AB|=2,△ ABF 为等边三角形.∴∠FBD=30°,∴|EF|=1,即 p=1.]

7.B [设 M(x1,y1).∵|MF|=4|OF|, p p 3p ∴x1+2=4?2,∴x1= 2 ,∴|y1|= 3p, 1 p ∴S△MFO=2?2? 3p=4 3,∴p=4, ∴抛物线的方程为 y2=8x.] 8. B [根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点

坐标为(-2,-1),即点(-2,-1)在抛物线的准线上,又由抛物线 p y2=2px 的准线方程为 x=-2,则 p=4,则抛物线的焦点为(2,0); 则双曲线的左顶点为(-2,0),即 a=2;点(-2,-1)在双曲线的渐 1 近线上,则其渐近线方程为 y=± 2x,由双曲线的性质,可得 b=1, 则 c= 5,则焦距为 2c=2 5.] 9.D [因为抛物线的方程为 y2=4x,所以焦点坐标为 F(1,0), 准线方程为 x=-1. 因为点 P 到 y 轴的距离为 d1,所以到准线的距离为 d1+1, 又 d1+1=|PF|,所以 d1+d2=d1+1+d2-1=|PF|+d2-1,焦点 |1-0+4| 5 5 2 到直线 x-y+4=0 的距离 d= = = 2 , 而|PF|+d2≥d= 2 2 5 2 5 2 ,所以 d 1+d2=|PF|+d2-1≥ 2 2 -1,选 D.] 10.A [

p 过 B,C 两点作准线 x=-2的垂线,垂足分别为 B1,C1,由抛物

x 6-x 3 线定义得|CF|=|CC1|,|BF|=|BB1|,设|CF|=x,则3= ,得 x=2, 6+3 3 9 故|BC|=3+2=2.] 11.(x-2)2+(y-2 2)2=9 [由抛物线定义可得,圆过抛物线焦

点(1, 0), 又过 A(3, 0), 故圆心的横坐标为 2, 又∵b>0, ∴b= 4?2 =2 2,r= (2-1)2+(2 2)2=3,故圆 C 的方程为(x-2)2+(y -2 2)2=9.] 12. 17-1 [由题意知,圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),半 径为 1,抛物线的焦点为 F(1,0).根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1 = 17-1.] 13.解 (1)由题意知:抛物线方程为 y2=4x,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),设直线 l 的方程为 x=my-1,代入 y2 =4x 得 y2-4my+4=0,Δ =16m2-16>0,得 m2>1,
?y1+y2=4m, ? ? 假设存在 T(a,0)满足题意, ? ?y1y2=4,

2my1y2-(1+a)(y1-y2) y1 y2 则 kAT+kBT= + = x1-a x2-a (x1-a)(x2-a) = 8m-4m(1+a) =0. (x1-a)(x2-a)

∴8m-4m(1+a)=0, ∴a=1,∴存在 T(1,0). 1 1 1 5 (2)S△AOB=2|OP||y1-y2|=2|OF||y1-y2|=2|y1-y2|=2,∴|y1-y2|= 5,

设直线 OA,OB 的倾斜角分别为 α,β ,∠AOB=θ. y1 y1 4 4 kOA=x =y2=y =tan α ,kOB=y =tan β ,
1 1 1 2

4 设 θ=|α-β|, ∴tan θ =|tan(α-β)| =?
? tan α -tan β ? ? ?1+tan α tan β ?

? 4-4 ? ? y1 y2 ? = ?1+ 16 ? ? y1y2?
= |y1-y2| π = 1 ,∴ θ = 5 4 .考点 29 圆锥曲线的综合问题

【两年高考真题演练】 1.(1)解 a2-b2 2 4 2 由题意得 a = 2 ,a2+b2=1,

解得 a2=8,b2=4. x2 y2 所以 C 的方程为 8 + 4 =1. (2)证明 设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),

x2 y2 M(xM,yM).将 y=kx+b 代入 8 + 4 =1 得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM= x1+x2 -2kb b = , y x . 2 M=k· M+b= 2 2 2k +1 2k +1
M

yM 1 于是直线 OM 的斜率 kOM=x =-2k, 1 即 kOM?k=-2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

2.解

a2-b2 3 1 3 (1)由题意知a2+4b2=1.又 a = 2 ,

解得 a2=4,b2=1. x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 +y =1. x2 y2 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为16+ 4 =1. |OQ| (ⅰ)设 P(x0,y0), |OP| =λ,由题意知 Q(-λx0,-λy0).
2 x0 2 因为 4 +y0 =1 ,

(-λx0)2 (-λy0)2 λ 2?x2 ? 0 ? +y2 又 + = 1 ,即 0?=1, 16 4 4 ?4 ? |OQ| 所以 λ=2,即 |OP| =2. (ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2- 16=0, 由 Δ>0,可得 m2<4+16k2,① 8km 则有 x1+x2=- , 1+4k2 4m2-16 x1x2= . 1+4k2 4 16k2+4-m2 所以|x1-x2|= . 1+4k2 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 2 16k2+4-m2|m| 1 所以△OAB 的面积 S=2|m||x1-x2|= 1+4k2 2 (16k2+4-m2)m2 = =2 1+4k2
? m ? m2 ?4- ? 1+4k2?1+4k2. ?
2

m2 设 =t, 1+4k2 将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由 Δ≥0,可得 m2≤1+4k2.② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-t)t=2 -t2+4t, 故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m2=1+4k2 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为 3S, 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3. 3.解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2.

|F1F2| |F1F2| 2 由 |DF | =2 2.得|DF1|= = 2 c. 2 2 1 1 2 2 从而 S△DF1F2=2|DF1||F1F2|= 2 c2= 2 ,故 c=1. 2 9 从而|DF1|= 2 ,由 DF1⊥F1F2 得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=2,因此 3 2 |DF2|= 2 . 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2, 故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 2 因此,所求椭圆的标准方程为 2 +y =1.

x2 2 (2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 2 +y =1 相交,P1(x1, y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线, 且 F1P1⊥F2P2. 由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2. → 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0),所以F→ 1P1=(x1+1,y1),F2P2=(- x1-1,y1).再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y2 1=0,由椭圆方程得 1
2 x1 4 - 2 =(x1+1)2,即 3x2 1+4x1=0.解得 x1=- 或 x1=0. 3

当 x1=0 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在. 4 当 x1=-3时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即 为圆心 C. y1-y0 y1 设 C(0,y0),由 CP1⊥F1P1,得 x ? =-1. x1+1 1 1 5 而求得 y1=|x1+1|=3,故 y0=3. 圆 C 的半径|CP1|=
? 4?2 ?1 5?2 4 2 ?- ? +? - ? = 3 . ? 3? ?3 3?

5?2 32 ? 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x2+?y-3? = 9 .
? ?

【一年模拟试题精练】 1.解 (1)设 F′是椭圆的右焦点,由椭圆的性质和定义可得:|FA|

+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4.解得 a=2, ∵左焦点为 F(- 2,0),c= 2, ∴b2=a2-c2=2. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1.

1 (2)设 A(x1,y1)(x1>0,y1>0),△AFA′面积 S=2· 2x1?y1=x1y1. x2 y2 x1 y1 2 1 1 ∵1= 4 + 2 ≥2? 2 ? = 2 S, 2 ∴S≤ 2.
2 2 x1 y1 1 当△AFA′面积取得最大时, 4 = 2 =2,解得 x1= 2,y1=1.

1 由 F(- 2,0),A( 2,1),可得直线 AB 的方程为:y= (x + 2 2 2),化为 x-2 2y+ 2=0,
? ?x-2 2y+ 2=0, 设 B(x2,y2),联立? 2 2 ? ?x +2y =4,

7 5 x =- ? ? 5 , ? 7 5 ?x = 2, 1? ?. 解得? 可得 B?- ,- ? 5 5? ? ?y =1, 1 ? ?y =-5,
1 2 1 2

18 ∴|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 5 . 2.解 x2 y2 (1)设椭圆的方程是a2+b2=1(a>b>0),

2b2 由焦点的坐标得:c=1,由|PQ|=3,可得 a =3,解得 a=2,b x2 y2 = 3,故椭圆的方程是 4 + 3 =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),不妨设 y1>0,y2<0, 设△F1MN 的内切圆半径是 R,则△F1MN 的周长是 4a=8, 1 S△F1MN=2(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R, 因此 S△F1MN 最大,R 就最大, 1 S△F1MN=2|F1F2|(y1-y2)=y1-y2,

由题知,直线 l 的斜率不为 0,可设直线 l 的方程为 x=my+1,

?x=my+1, 由?x2 y2 得,(3m2+4)y2+6my-9=0, ? 4 + 3 =1
-3m+6 m2+1 -3m-6 m2+1 解得 y1= ,y2= , 3m2+4 3m2+4 12 m2+1 1 则 S△AMN=2|AB|(y1-y2)=y1-y2= , 3m2+4 令 t= m2+1,则 t≥1, 则 S△AMN= 1, 3t+ t 12

1 1 令 f(t)=3t+ t ,f′(t)=3-t2, 当 t≥1 时,f′(t)≥0,f′(t)在[1,+∞)上单调递增, 12 12 有 f(t)≥f(1)=4,S△AMN≤ 4 =3,即当 t=1,m=0 时,S△AMN≤ 4 9π 3 =3, S△AMN=4R, 所以 Rmax=4, 此时所求内切圆面积的最大值是 16 , 9π 故直线 l:x=1,△AMN 内切圆的面积最大值是 16 . c 2 =2, ?a ? ?a =8, ? 4 2 ? ?a +b =1, ? ? ?b =4. ? ?a =b +c
2 2 2 2 2 2 2

3.(1)解

x2 y2 ∴ 8 + 4 =1. 当直线 AB 的斜率存在时,设 lAB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2, y 2 ).

?y=kx+m ? 由? 2 ?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, 2 ?x +2y =8 ?

-4km 2m2-8 ∴x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2
?2m2-8? ? -4km ? m2-8k2 2 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k ? . 2 ?+km? 2?+m = 1+2k2 ? 1+2k ? ?1+2k ?
2

b 2 y1 y2 1 ∵kOA?kOB=-a2?x ?x =-2, 1 2
2 m2-8k2 1 2m -8 2 2 ∴ 2 =- ? 2 ?m =4k +2. 2 1+2k 1+2k

2m2-8 m2-8k2 4k2-2 4 → → OA?OB=x1x2+y1y2= =2- 2 , 2+ 2 = 2 1+2k 1+2k 2k +1 2k +1 → ?OB → ≤2,当 k=0 时,(OA → ?OB → ) =-2,当 k 不存 ∴-2≤OA min → ?OB → ) =2, 在即 AB⊥x 轴时,(OA max → ?OB → 的范围是[-2,2]. 所以OA (2)证明 ∵S


S 四边形 ABCD=4S△AOB, 1 =2? 1+k2 ? (x1+x2)2-4x1x2 ? |m| = 1+k2

AOB

2 4k2-m2+4=2 2, ∴S 四边形 ABCD=8 2. 4.(1)解 t=1. 在 Rt△AFB 中,|AB|2+|FB|2=|AF|2,∴2+(1+c2)=(1+c)2,∴c =1,a= 2, x2 2 故椭圆的标准方程为: 2 +y =1. (2)证明 → =OM → +3ON →, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),∵OP 由题意可知 b=1,又 t2+1=2,∴t=± 1,又 t>0,∴

∴x0=x1+3x2,y0=y1+3y2,
2 2 2 ∵M、N 在椭圆上,∴x2 1+2y1=2,x2+2y2=2,

1 因为直线 OM 与 ON 的斜率之积为-2,∴x1x2+2y1y2=0,于是 x2 0+
2 2 2 2 2 2 2y0 =(x2 1+6x1x2+9x2)+2(y1+6y1y2+9y2)=(x1+2y1)+6(x1x2+2y1y2)+ 2 2 2 9(x2 2+2y2)=20,故 x0+2y0为定值.


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