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高二数学滚动练习(29)


高二数学滚动练习(29) 1? 2i 1.若 z ? ,则复数 z ? . i 2.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选
的组队方案数为 . (用数字作答) . 3.若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点也是双曲线 x 2 ? y 2 ? 8 的一个焦点,则 p ?

? a? 4.若 ? x ? 2 ? 展开式的常数项为 60 ,则常数 a 的值为 ? x ? ? ?
5.若 ( x ? 1)(2x ? 1) ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? ?? a11 ( x ? 2) ,
2 9 2 11

6

.

则 a0 ? a1 ? ? ? a11 的值为



6.若椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 2 2 a b
.

A, B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是
7.已知命题 p :?a, b ? (0, ??) ,当 a ? b ? 1 时, ? 恒成立.则命题 ?p 且 q 是

1 a

1 ? 3 ;命题 q :?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 b
.

命题. (填“真”或“假” )

8.已知随机事件 M , N , P(M ) ? 1 ,P( N ) ? 1 ,P ? M N ? ? 3 ,则 P ? N M ? ? 2 3 4

9.已知 ?1,? 2 ,?3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d 1 ,平面 ?2 ,?3 之间的距 离为 d2 .直线 l 与 ?1,? 2 ,?3 分别交于 P , P , P .那么 P P ? P P ” “d1 ? d2” “1 2 1 2 3 2 3 是 的 中选一个填写) .(在“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要” 、 、 、

10.若数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则当 bn ?

n

a1a2 ? an 时,数列 ?bn ? 也是等比
______时,数

数列;类比上述性质,若数列 ?cn ? 是等差数列,则当 dn ? ____ 列 ?dn ? 也是等差数列. 11.已知函数 f ? x ? ? f ? ? 0? cos x ? sin x ,则函数 f (x ) 在 x ?

?
2

处的切线方程是

.

12. 已知 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 表面上的动点, AP ? 2 , 且 则动点 P 的 1 轨迹的长度是 .

3 2 13. 已知函数 f ( x) ? x ? x 在 x ? 1 处切线的斜率为 b , g ( ) ? l x 若 x bn

?

a 2 , g ( x) ? x 且 x

在 (1, ??) 上恒成立,则实数 a 的取值范围是

.

14.设向量 a, b, c 满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? ? 则 | c | 的最大值等于

? ??

?

?

? ?

1 ? ? ? ? , ? a ? c, b ? c ?? 600 , 2


?

15.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF . ⑴ 求证: BC ? C1D ; ⑵ 若 M 为线段 BE 上一点, BE ? 4 ME ,求证: C1 D / / 平面 B1 FM . B
B1
C1
A1

E C D A

F

16.椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

2 ,椭圆右准线与 x 轴交于 E (2, 0) . 2

(2)若 M (2, t )(t ? 0) ,直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 上有且仅有一点 P 使 PO ? PM ? 0 , 求以

??? ???? ? ?

OM 为直径的圆的方程;
(3)设椭圆左、右焦点分别为 F 、 F2 ,过 E 点作不与 y 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两 1 个不同的点( B 在 E , A 之间) ,若有 F A ? ? F2 B ,求此时直线 l 的方程. 1

????

???? ?

17.某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工,B 车间有 400 名 员工,现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有 员工均在此食堂用餐,已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均是 1km ,设 ?BDC ? ? , 所有员工从车间到食堂步行的总路程为 S . (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少? A D

C

B

1. 2 ? i ;2. 110 ; 3. 8 ;4. 4 ;5. ?2 ; 6.

x2 y2 ? ? 1 ; 7. 真; 5 4

c ? c2 ? ??? ? cn 1 ? 3π ;9. 充要;10. 1 ;11. y ? ? x ? 1 ? ;12. ;13. a ? ?1 ; 2 n 2 2 14. 2 ;
8. 15.⑴由直三棱柱可知 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , 又因为 AC ? BF , CC1 ? BF ? F , AC ? 面 BCF , 故 AC ? BC , 又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , M 故 BC ? 面 ACC1 , C1 D 在平面 ACC1 内,所以 BC ? C1D . ⑵连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF B
B1 C1
A1

E C D F A

所以 MF//AE, 又在面 AA1C1C 中,易证 C1D//AE,所以 C1 D / / 平面 B1 FM .

x2 ? y 2 ? 1; 16.(1) 2
(2) 即以 OM 为直径的圆和直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 相切。可求得圆心为 (1, ), 半径为 1 ?

t 2

t2 4

所以

| 1 ? t ? 10 | 5

? 1?

t2 ,解得 t=4(负舍)则以 OM 为直径的圆的方程为 4

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;
(3)由题意知, F1 A ∥ F2 B ,则有相似比可求得 EA ? 3EB . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ∴ ( x1 ? 2, y1 ) ? 3( x2 ? 2, y 2 ) ,∴解得 ?

? x1 ? 3 x 2 ? 4 ? y1 ? 3 y 2

? (3x 2 ? 4) 2 4 ? ? (3 y 2 ) 2 ? 1 ? ? x2 ? 3 ? ? 2 又 A,B 在椭圆上,带入椭圆方程,有 ? 2 解得 ? , 1 x2 2 ?y ? ? ? ? 2 ? 2 ? y2 ? 1 3 ? ?
∴求得直线方程为 y ? 17. (1)在 ?BCD 中,∵

1 1 x ? 1或y ? ? x ? 1 . 2 2

BD BC CD ? ? , sin 60? sin ? sin ?120? ? ? ?

3 sin ?120? ? ? ? sin ?120? ? ? ? ∴ BD ? 2 , CD ? .则 AD ? 1 ? . sin ? sin ? sin ?

3 ? sin ?120? ? ? ? ? cos ? ? 4 S ? 400 ? 2 ? 100 ?1 ? ? ? 50 ? 50 3 ? sin ? sin ? sin ? ? ?
其中

?
3

?? ?

2? . 3

(2) S ? ? ?50 3 ?

? sin ? ? sin ? ? ? cos ? ? 4 ? cos ? 1 ? 4cos ? ? 50 3 ? . 2 sin ? sin 2 ?
1 1 . 当 cos ? ? 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调减函数; 4 4

令 S ? ? 0 ,得 cos ? ? 当 cos ? ?

1 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调增函数. 4
1 15 时, S 取得最小值. 此时, sin ? ? 4 4

∴当 cos ? ?

3 1 cos ? ? sin ? sin ?120? ? ? ? 1 3 cos ? 2 AD ? 1 ? ? 1? 2 ? ? sin ? sin ? 2 2sin ?

1 1 3 4 1 5 . ? ? ? ? ? 2 2 15 2 10 4

1.若 z ?

? 1? 2i ,则复数 z = i



2?i ;
2.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛,其中至少有一名女生入选 的组队方案数为 . (用数字作答) 110 ; 3.若双曲线经过点 (3, 2) ,且渐近线方程是 y ? ? x ,则这条双曲线的方程是

1 3



y2 ?

x2 ? 1; 9
6

? a? 4.若 ? x ? 2 ? 展开式的常数项为 60 ,则常数 a 的值为 ? x ? ? ?
5.若 ( x ? 1)(2x ? 1) ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2) ? ?? a11 ( x ? 2) ,
2 9 2 11

.4 ;

则 a0 ? a1 ? ? ? a11 的值为

. ?2 ;

6.若椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 2 2 a b
.

A, B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

x2 y2 ? ?1; 5 4
7.已知命题 p: ?a, b ? (0, ??) ,当 a ? b ? 1 时, 恒成立.则命题 ?p 且 q 是

1 1 ? ? 3 ;命题 q: ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ≥0 a b
.

命题(填“真”或“假”. 真; )

8.已知随机事件 M,N, P(M ) ? 1 ,P( N ) ? 1 ,P ? M N ? ? 3 ,则 P ? N M ? ? 2 3 4

1 ; 2
9.已知 ?1,? 2 ,?3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d 1 ,平面 ?2 ,?3 之间的距 离为 d2 .直线 l 与 ?1,? 2 ,?3 分别交于 P , P , P .那么 P P ? P P ” “d1 ? d2” 的 “1 2 1 2 3 2 3 是 在“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”中选一个填写) 、 、 、 充分必要 10.若数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则当 bn ?
n

.

a1a2 ? an 时,数列 ?bn ? 也是等比

数列; 类比上述性质, 若数列 ?cn ? 是等差数列, 则当 dn ? ______▲_______时, 数列 ?dn ? 也 是等差数列.

c1 ? c2 ? ??? ? cn n

11.已知函数 f ? x ? ? f ? ? 0? cos x ? sin x ,则函数 f (x ) 在 x ? 是 ▲ . y ? ?x ? 1 ?

?
2

处的切线方程

?
2



12.已知 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 表面上的动点,且 AP ? 2 ,则动点 P 的轨迹 的长度是 ▲ .

3π . 2

13. 已知函数 f ( x) ? x3 ? x 2 在 x ? 1 处切线的斜率为 b , g ( ) ? n x 若 x bl 在 (1, ??) 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 14.设向量 a , b , c 满足| a |?| b |? 1 , a gb ? ? 则 | c | 的最大值等于 . a ? ?1

?

a 2 , g ( x) ? x 且 x

r

r

r

r

r

r r

r r r r 1 , ? a ? c, b ? c ?? 60? , 2

r

2;

15.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, E 分别为 AA1 , CC1 的中点, AC ? BE ,点 F 在线段 AB 上,且 AB ? 4AF . ⑴求证: BC ? C1D ; ⑵若 M 为线段 BE 上一点,BE=4ME 求证: C1 D / / 平面 B1 FM . ⑴由直三棱柱可知 CC1 ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC ,????2 分 又因为 AC ? BF , CC1 ? BF ? F , AC ? 面 BCF , 故 AC ? BC , 又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , 故 BC ? 面 ACC1 , C1 D 在平面 ACC1 内,所以 BC ? C1D ⑵ 连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF B 所以 MF//AE, 又在面 AA1C1C 中,易证 C1D//AE,所以 C1 D / / 平面 B1 FM . ????14 分 F A ????6 分 M ????4 分
C1 B1
A1

C1 B1
A1

E C B D A

F 第 16 题

E C D

16.椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

2 ,椭圆右准线与 x 轴交于 E (2, 0) . 2

(Ⅱ)若 M (2, t )(t ? 0) ,直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 上有且仅有一点 P 使 PO ? PM ? 0 . 求

??? ???? ? ?



OM 为直径的圆的方程;
(Ⅲ)设椭圆左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 E 点作不与 y 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两 个不同的点( B 在 E , A 之间)若有 F A ? ? F2 B ,求此时直线 l 的方程. 1 (1)

????

???? ?

x2 ? y2 ? 1 2

(4 分)

(2) 即以 OM 为直径的圆和直线 x ? 2 y ? 10 ? 0 相切。可求得圆心为 (1, ), 半径为 1 ?

t 2

t2 4

所以

| 1 ? t ? 10 | 5

? 1?

t2 ,解得 t=4(负舍)则以 OM 为直径的圆的方程为 4
(9 分)

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5

(3)由题: F1 A ∥ F2 B ,则有相似比可求得 EA ? 3EB 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ∴ ( x1 ? 2, y1 ) ? 3( x2 ? 2, y 2 ) ,∴解得 ?

? x1 ? 3 x 2 ? 4 ? y1 ? 3 y 2

? (3x 2 ? 4) 2 4 ? ? (3 y 2 ) 2 ? 1 ? ? x2 ? 3 ? ? 2 又 A,B 在椭圆上,带入椭圆方程,有 ? 2 解得 ? ?y ? ? 1 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? 2 ? 2 3 ? ?
1 1 x ? 1或y ? ? x ? 1 (15 分) 2 2 17.某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工,现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所有 员工均在此食堂用餐,已知 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离均是 1 km ,设 ?BDC ? ? , 所有员工从车间到食堂步行的总路程为 S . (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 S 最少?
∴求得直线方程为 y ?

A D

C

B

(1)在 ?BCD 中,∵

BD BC CD , ? ? sin 60? sin ? sin ?120? ? ? ?

3 sin ?120? ? ? ? sin ?120? ? ? ? ∴ BD ? 2 , CD ? .则 AD ? 1 ? . ????5 分 sin ? sin ? sin ?

3 ? sin ?120? ? ? ? ? cos ? ? 4 S ? 400? 2 ? 100 ?1 ? ? ? 50 ? 50 3 ? sin ? sin ? sin ? ? ?
其中

?
3

?? ?

2? . 3

????????? 7 分

(2) S ? ? ?50 3 ?

? sin ? ? ? ? ? cos ? ? 4 ? cos ? sin 1 ? 4cos ? ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ?

????12 分

令 S ? ? 0 ,得 cos ? ? 当 cos ? ?

1 1 . 当 cos ? ? 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调减函数; 4 4

1 时, S ? ? 0 , S 是 ? 的单调增函数. 4 1 15 时, S 取得最小值. 此时, sin ? ? , (14 分) 4 4

∴当 cos ? ?

3 1 cos ? ? sin ? sin ?120? ? ? ? 1 3 cos ? 2 AD ? 1 ? ? 1? 2 ? ? sin ? sin ? 2 2sin ?

1 1 3 4 1 5 . ? ? ? ? ? 2 2 15 2 10 4

(答略)

????????????15 分



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