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第二节空间几何体的表面积和体积


柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 2πrl 圆柱 S 侧=_____ 圆锥 S 侧= πrl 体积 V= Sh =πr2h

1 2 1 2 2 2 1 V= Sh = πr h= πr l -r 3 3 3

1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 π(r1+r2)l 圆台 S 侧= 1 2 2 = π(r1 +r

2+r1r2)h 3

面积

体积

直棱 S 侧= Ch V=Sh 柱 1 1 正棱 S 侧= Ch′ V= Sh 3 2 锥 1 正棱 1 S 侧= (C+C′)h′V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 2 3 台 球 S 球面=

4πR2

4 3 V= πR 3

[小题能否全取]

1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底
面边长为a时,该三棱锥的全面积是
3+ 3 2 A. a 4 3+ 3 2 C. a 2 3 2 B. a 4 6+ 3 2 D. a 4

(

)

2 解析:∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于 a, 2
? 3 2 1 ? ? 2 ? 2 3+ 3 2 ∴S全= a +3× ×? a? = a. 4 2 ?2 ? 4 答案:A

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3,则这个四 棱锥的外接球的表面积为 ( )

A.12π

B.36π
2

C.72π D.108π 解析:依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为3
× 2 =6,高为 ? 3 2?
2

?1 ? -?2×6?2 =3,因此底面中心 ? ?

到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球 心为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其 外接球的表面积等于4π×32=36π. 答案:B

3.某几何体的俯视图是如图所示的矩 形,正视图是一个底边长为8,高 为5的等腰三角形,侧视图是一个 底边长为6,高为5的等腰三角形, 则该几何体的体积为 A.24 B.80 ( )

C.64 D.240 解析:结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长
和宽分别为8和6的矩形,棱锥的高是5,可由锥体的体 1 积公式得V= ×8×6×5=80. 3

答案:B

4.(教材习题改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图 是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 解析:设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r, 则πrl+πr2=3π,πl=2πr. 解得r=1,即直径为2.

答案:2

5.某几何体的三视图如图所示, 其中正视图是腰长为2的等腰 三角形,侧视图是半径为1的

半圆,则该几何体的表面积
是________. 解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底
面积即俯视图的面积,为2 3 ;侧面积为一个完整的圆 锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以 侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π + 3).
答案:2(π+ 3)

1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧 面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆,最好结合几 何体的侧面展开图来进行. 2.求体积时应注意的几点: (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及 数据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处 理.

几何体的表面积

某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 ________.

[自主解答]

由几何体的三视图可知,该几何体是

底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).

在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE= 4,AE=3,则AD=5. 1 所以其表面积为2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+ 2 4×5+4×4=92.

[答案] 92

1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是
分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的 表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

1.如图是某宝石饰物的三视图, 已知该饰物的正视图、侧视图 3 都是面积为 ,且一个内角为 60° 2 的菱形,俯视图为正方形, 那么该饰物的表面积为 ( )

A. 3 C.4 3

B. 2 3 D.4

解析:依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥 对接而成,正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱 形的边长,因此该饰物的表面积为
?1 ? 8×?2×1×1?=4. ? ?

答案:

D

几何体的体积

[例2]

(1)某几何体的三视图如图所示,它的体积



(

)

A.72π
C.30π

B.48π
D.24π

(2)如图,正方 体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线

段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的
体积为________. [自主解答] (1) 由三视图知,该几何体

是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所

示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半
径为3.

14 3 1 V=V半球+V圆锥= ·π·3 + ·π·32· 4=30π. 23 3

1 1 (2)VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= 3 3 1 1 × ×1= . 2 6
[答案] (1)C 1 (2) 6

本例(1)中几何体的三视图若变为:

其体积为________.
解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与 1 2 圆锥的组合体,其体积V=V圆柱-V圆锥=π×3 ×4- 3 π×32×4=24π. 答案:24π

1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找

出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面
和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、 转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用 的方法,应熟练掌握.

3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三
棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式来计 算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

2.(1)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正
方形,且PD垂直于底面ABCD,N为PB中点,则三棱 锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为 ( )

A.1∶2 C.1∶4

B.1∶3 D.1∶8

解析:设正方形ABCD面积为S,PD=h,则体积比为 1 11 1 11 Sh- ·S·h- ·Sh 3 32 2 32 1 = . 1 4 Sh 3

答案:C

(2)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是

(

)

A.32 C.8

B.24 32 D. 3

解析:此几何体是高为2的棱柱,底面四边形可切割成 为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三 1 角形,其底面积S=9+2× ×3×1=12, 2 所以几何体体积V=12×2=24.

答案:B

与球有关的几何体的表面积与体积问题

[例3]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球

面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,
且SC=2,则此棱锥的体积为
2 A. 6 2 C. 3 3 B. 6 2 D. 2

(

)

[自主解答]

由于三棱锥S-ABC

与三棱锥O-ABC底面都是△ABC,O 是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高 是三棱锥O-ABC高的2倍, 所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的 2倍. 在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= ×AB = , 4 4 6 3? ?2 高OD= 1 = , 3 3? ? 1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6
2

? -? ? ?

[答案] A

1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球

心及多面体中的特殊点或过线作截面,把空间问题转
化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. 2.记住几个常用的结论: (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,

①正方体的外接球,则2R= 3a;

②正方体的内切球,则2R=a;
③球与正方体的各棱相切,则2R= 2a.

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c, 外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.

3.(1)(2012· 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其
中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的 表面积为 ( )

A.2 3π C.4 3

8π B. 3 16π D. 3

(2)如图所示,已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D,DA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC = 2,则球 O 的体积等于________.

解析:(1)由三视图可知几何体的 直观图如图所示. 其中侧面DBC⊥底面ABC,取BC 的中点O1,连接AO1,DO1知DO1⊥ 底面ABC且DO1= 3,AO1=1,BO1=O1C=1.

在Rt△ABO1和Rt△ACO1中,AB=AC= 2, ∴BC为底面ABC外接圆的直径,O1为圆心, 又∵DO1⊥底面ABC,∴球心在DO1上, 即△BCD的外接圆为球大圆,设球半径为R, 2 则( 3-R) +1 =R ,∴R= . 3
2 2 2

∴S球=4πR

2

? =4π×? ? ?

2? ?2 16π = . ? 3 3?

(2)如图,以DA,AB,BC为棱长构 造正方体,设正方体的外接球球O的半 径为R,则正方体的体对角线长即为球 O的直径,所以|CD|= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R,所以R 6 = . 2 4πR3 故球O的体积V= = 6π. 3
答案:(1)D (2) 6π

某些空间几何体是某一个几何体的一部分,在解 题时,把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置 于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体 积问题,这是一种重要的解题策略——补形法.常见的 补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补 形,主要涉及台体中“还台为锥”问题.

1.对称补形
1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为 ( )

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

[解析] 由三视图可知,此几何体是底 面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处 1 截去了圆柱的 ,根据对称性,可补全此圆柱 4 3 如图,故体积V= × π× 12× 4=3π. 4

[答案] B

[题后悟道]

对称”是数学中的一种重要关系,在

解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想
象能力的提高很有帮助.

[解析]

由于正三棱锥的侧棱PA,

PB,PC两两互相垂直,故以PA,PB, PC为棱补成正方体如图,可知球心O 为体对角线PD的中点,且PO= 3,又 1 3 P到平面ABC的距离为h,则 × × 3 4 1 1 (2 2)2· h= × ×2×2×2. 3 2 2 3 ∴h= . 3 2 3 3 ∴球心到截面距离为 3- = . 3 3

[答案]

3 3

2.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA =2 6,则△OAB 的面积为________. [解析] 由PA⊥底面ABCD,且

ABCD为正方形,故可补形为长方体 如图, 知球心O为PC的中点, 又PA=2 6,AB=BC=2 3, ∴AC=2 6,∴PC=4 3, ∴OA=OB=2 3,即△AOB为正三角形, ∴S=3 3.

[答案]

3 3

[题后悟道]

三条侧棱两两互相垂直,或一侧棱

垂直于底面,底面为正方形或长方形,则此几何体可补 形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求.

1.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1 C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A

的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正
方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之 和的最小值为 A.(6-3 3)π
C.(6+3 3)π

(
B.(8-4 3)π D.(8+4 3)π

)

解析:设球O1、球O2的半径分别为r1、r2, 则 3r1+r1+ 3r2+r2= 3, 3- 3 r1+r2= , 2
2 ? r + r ? 1 2 2 从而4π(r2 + r ) ≥ 4π· =(6-3 3)π. 1 2 2 答案:A

2.已知某球半径为R,则该球内接长方体的表面积的最 大值是 A.8R2 B.6R2 ( )

C.4R2

D.2R2

解析:设球内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c, 则a2+b2+c2=(2R)2,所以S表=2(ab+bc+ac)≤2(a2+b2 2 3 +c )=8R ,当且仅当a=b=c= R时,等号成立. 3 答案:A
2 2

3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的
弧线是半圆),则该几何体的表面积是 ( A.20+3π C.20+4π B.24+3π D.24+4π )

解析:根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正 方体和一个半圆柱的组合体,其中,正方体的边长为 2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2.故该几何体的表 1 面积为4×5+2×π+2× π=20+3π. 2

答案:A

4.(2012· 湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开 立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开 立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知 球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈ 3 16 V .人 9 59?判 ( )

们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.141 断,下列近似公式中最精确的一个是 3 16 3 A.d≈ V B.d≈ 2V 9 3 300 3 21 C.d≈ V D.d≈ V 157 11

3 6V 4 3 解析:∵V= πR ,∴2R=d= ,考虑到2R与标 3 π 6 16 6 准值最接近,通过计算得 - ≈0.132 08, -2≈- π 9 π 6 300 6 21 0.090 1, - ≈-0.001 0, - ≈0.000 8,因此最 π 157 π 11 接近的为D选项.

答案:D

5.如图,AD与BC是四面 体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD =2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中 a,c为常数,则四面体ABCD的体积的

最大值是________.
解析:如图过点B在平面BAD中作 BE⊥AD,垂足为E,连接CE,因 为BC⊥AD,所以AD⊥平面BCE. 1 所以四面体ABCD的体积为 S△BCE· 3 AD.当△BCE的面积最大时,体积最大.

因为AB+BD=AC+CD=2a,所以点B,C在一个椭圆上 运动,由椭圆知识可知当AB=BD=AC=CD=a时,BE =CE= a2-c2 为最大值,此时截面△BCE面积最大,为 1 ×2 a2-c2-1 = a2-c2-1 ,此时四面体ABCD的体积 2 1 2c 2 2 最大,最大值为 S△BCE· AD= · a -c -1. 3 3
2 答案: c a2-c2-1 3


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