tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

第二节空间几何体的表面积和体积


柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 2πrl 圆柱 S 侧=_____ 圆锥 S 侧= πrl 体积 V= Sh =πr2h

1 2 1 2 2 2 1 V= Sh = πr h= πr l -r 3 3 3

1 V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 π(r1+r2)l 圆台 S 侧= 1 2 2 = π(r1 +r2+r1r2)h 3

面积

体积

直棱 S 侧= Ch V=Sh 柱 1 1 正棱 S 侧= Ch′ V= Sh 3 2 锥 1 正棱 1 S 侧= (C+C′)h′V= (S 上+S 下+ S上· S下)h 2 3 台 球 S 球面=

4πR2

4 3 V= πR 3

[小题能否全取]

1.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底
面边长为a时,该三棱锥的全面积是
3+ 3 2 A. a 4 3+ 3 2 C. a 2 3 2 B. a 4 6+ 3 2 D. a 4

(

)

2 解析:∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于 a, 2
? 3 2 1 ? ? 2 ? 2 3+ 3 2 ∴S全= a +3× ×? a? = a. 4 2 ?2 ? 4 答案:A

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3,则这个四 棱锥的外接球的表面积为 ( )

A.12π

B.36π
2

C.72π D.108π 解析:依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为3
× 2 =6,高为 ? 3 2?
2

?1 ? -?2×6?2 =3,因此底面中心 ? ?

到各顶点的距离均等于3,所以该四棱锥的外接球的球 心为底面正方形的中心,其外接球的半径为3,所以其 外接球的表面积等于4π×32=36π. 答案:B

3.某几何体的俯视图是如图所示的矩 形,正视图是一个底边长为8,高 为5的等腰三角形,侧视图是一个 底边长为6,高为5的等腰三角形, 则该几何体的体积为 A.24 B.80 ( )

C.64 D.240 解析:结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长
和宽分别为8和6的矩形,棱锥的高是5,可由锥体的体 1 积公式得V= ×8×6×5=80. 3

答案:B

4.(教材习题改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图 是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 解析:设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r, 则πrl+πr2=3π,πl=2πr. 解得r=1,即直径为2.

答案:2

5.某几何体的三视图如图所示, 其中正视图是腰长为2的等腰 三角形,侧视图是半径为1的

半圆,则该几何体的表面积
是________. 解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底
面积即俯视图的面积,为2 3 ;侧面积为一个完整的圆 锥的侧面积,且圆锥的母线长为2,底面半径为1,所以 侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为2(π + 3).
答案:2(π+ 3)

1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧 面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆,最好结合几 何体的侧面展开图来进行. 2.求体积时应注意的几点: (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及 数据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处 理.

几何体的表面积

某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 ________.

[自主解答]

由几何体的三视图可知,该几何体是

底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).

在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE= 4,AE=3,则AD=5. 1 所以其表面积为2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+ 2 4×5+4×4=92.

[答案] 92

1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是
分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的 表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

1.如图是某宝石饰物的三视图, 已知该饰物的正视图、侧视图 3 都是面积为 ,且一个内角为 60° 2 的菱形,俯视图为正方形, 那么该饰物的表面积为 ( )

A. 3 C.4 3

B. 2 3 D.4

解析:依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥 对接而成,正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱 形的边长,因此该饰物的表面积为
?1 ? 8×?2×1×1?=4. ? ?

答案:

D

几何体的体积

[例2]

(1)某几何体的三视图如图所示,它的体积



(

)

A.72π
C.30π

B.48π
D.24π

(2)如图,正方 体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线

段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的
体积为________. [自主解答] (1) 由三视图知,该几何体

是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所

示,圆锥的底面半径为3,高为4,半球的半
径为3.

14 3 1 V=V半球+V圆锥= ·π·3 + ·π·32· 4=30π. 23 3

1 1 (2)VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= 3 3 1 1 × ×1= . 2 6
[答案] (1)C 1 (2) 6

本例(1)中几何体的三视图若变为:

其体积为________.
解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与 1 2 圆锥的组合体,其体积V=V圆柱-V圆锥=π×3 ×4- 3 π×32×4=24π. 答案:24π

1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找

出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面
和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、 转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用 的方法,应熟练掌握.

3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三
棱锥的底面.①求体积时,可选择容易计算的方式来计 算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.

2.(1)四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正
方形,且PD垂直于底面ABCD,N为PB中点,则三棱 锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为 ( )

A.1∶2 C.1∶4

B.1∶3 D.1∶8

解析:设正方形ABCD面积为S,PD=h,则体积比为 1 11 1 11 Sh- ·S·h- ·Sh 3 32 2 32 1 = . 1 4 Sh 3

答案:C

(2)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是

(

)

A.32 C.8

B.24 32 D. 3

解析:此几何体是高为2的棱柱,底面四边形可切割成 为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三 1 角形,其底面积S=9+2× ×3×1=12, 2 所以几何体体积V=12×2=24.

答案:B

与球有关的几何体的表面积与体积问题

[例3]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球

面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,
且SC=2,则此棱锥的体积为
2 A. 6 2 C. 3 3 B. 6 2 D. 2

(

)

[自主解答]

由于三棱锥S-ABC

与三棱锥O-ABC底面都是△ABC,O 是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高 是三棱锥O-ABC高的2倍, 所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的 2倍. 在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= ×AB = , 4 4 6 3? ?2 高OD= 1 = , 3 3? ? 1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6
2

? -? ? ?

[答案] A

1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球

心及多面体中的特殊点或过线作截面,把空间问题转
化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. 2.记住几个常用的结论: (1)正方体的棱长为a,球的半径为R,

①正方体的外接球,则2R= 3a;

②正方体的内切球,则2R=a;
③球与正方体的各棱相切,则2R= 2a.

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c, 外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.

3.(1)(2012· 琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其
中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的 表面积为 ( )

A.2 3π C.4 3

8π B. 3 16π D. 3

(2)如图所示,已知球 O 的面上有四点 A、B、C、D,DA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC = 2,则球 O 的体积等于________.

解析:(1)由三视图可知几何体的 直观图如图所示. 其中侧面DBC⊥底面ABC,取BC 的中点O1,连接AO1,DO1知DO1⊥ 底面ABC且DO1= 3,AO1=1,BO1=O1C=1.

在Rt△ABO1和Rt△ACO1中,AB=AC= 2, ∴BC为底面ABC外接圆的直径,O1为圆心, 又∵DO1⊥底面ABC,∴球心在DO1上, 即△BCD的外接圆为球大圆,设球半径为R, 2 则( 3-R) +1 =R ,∴R= . 3
2 2 2

∴S球=4πR

2

? =4π×? ? ?

2? ?2 16π = . ? 3 3?

(2)如图,以DA,AB,BC为棱长构 造正方体,设正方体的外接球球O的半 径为R,则正方体的体对角线长即为球 O的直径,所以|CD|= ? 2?2+? 2?2+? 2?2=2R,所以R 6 = . 2 4πR3 故球O的体积V= = 6π. 3
答案:(1)D (2) 6π

某些空间几何体是某一个几何体的一部分,在解 题时,把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置 于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体 积问题,这是一种重要的解题策略——补形法.常见的 补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补 形,主要涉及台体中“还台为锥”问题.

1.对称补形
1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为 ( )

8π A. 3 10π C. 3

B.3π D.6π

[解析] 由三视图可知,此几何体是底 面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处 1 截去了圆柱的 ,根据对称性,可补全此圆柱 4 3 如图,故体积V= × π× 12× 4=3π. 4

[答案] B

[题后悟道]

对称”是数学中的一种重要关系,在

解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想
象能力的提高很有帮助.

[解析]

由于正三棱锥的侧棱PA,

PB,PC两两互相垂直,故以PA,PB, PC为棱补成正方体如图,可知球心O 为体对角线PD的中点,且PO= 3,又 1 3 P到平面ABC的距离为h,则 × × 3 4 1 1 (2 2)2· h= × ×2×2×2. 3 2 2 3 ∴h= . 3 2 3 3 ∴球心到截面距离为 3- = . 3 3

[答案]

3 3

2.已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3的正方形.若 PA =2 6,则△OAB 的面积为________. [解析] 由PA⊥底面ABCD,且

ABCD为正方形,故可补形为长方体 如图, 知球心O为PC的中点, 又PA=2 6,AB=BC=2 3, ∴AC=2 6,∴PC=4 3, ∴OA=OB=2 3,即△AOB为正三角形, ∴S=3 3.

[答案]

3 3

[题后悟道]

三条侧棱两两互相垂直,或一侧棱

垂直于底面,底面为正方形或长方形,则此几何体可补 形为正方体或长方体,使所解决的问题更直观易求.

1.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1 C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A

的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正
方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之 和的最小值为 A.(6-3 3)π
C.(6+3 3)π

(
B.(8-4 3)π D.(8+4 3)π

)

解析:设球O1、球O2的半径分别为r1、r2, 则 3r1+r1+ 3r2+r2= 3, 3- 3 r1+r2= , 2
2 ? r + r ? 1 2 2 从而4π(r2 + r ) ≥ 4π· =(6-3 3)π. 1 2 2 答案:A

2.已知某球半径为R,则该球内接长方体的表面积的最 大值是 A.8R2 B.6R2 ( )

C.4R2

D.2R2

解析:设球内接长方体的长、宽、高分别为a、b、c, 则a2+b2+c2=(2R)2,所以S表=2(ab+bc+ac)≤2(a2+b2 2 3 +c )=8R ,当且仅当a=b=c= R时,等号成立. 3 答案:A
2 2

3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的
弧线是半圆),则该几何体的表面积是 ( A.20+3π C.20+4π B.24+3π D.24+4π )

解析:根据几何体的三视图可知,该几何体是一个正 方体和一个半圆柱的组合体,其中,正方体的边长为 2,半圆柱的底面半径为1,母线长为2.故该几何体的表 1 面积为4×5+2×π+2× π=20+3π. 2

答案:A

4.(2012· 湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开 立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开 立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知 球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈ 3 16 V .人 9 59?判 ( )

们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.141 断,下列近似公式中最精确的一个是 3 16 3 A.d≈ V B.d≈ 2V 9 3 300 3 21 C.d≈ V D.d≈ V 157 11

3 6V 4 3 解析:∵V= πR ,∴2R=d= ,考虑到2R与标 3 π 6 16 6 准值最接近,通过计算得 - ≈0.132 08, -2≈- π 9 π 6 300 6 21 0.090 1, - ≈-0.001 0, - ≈0.000 8,因此最 π 157 π 11 接近的为D选项.

答案:D

5.如图,AD与BC是四面 体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD =2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中 a,c为常数,则四面体ABCD的体积的

最大值是________.
解析:如图过点B在平面BAD中作 BE⊥AD,垂足为E,连接CE,因 为BC⊥AD,所以AD⊥平面BCE. 1 所以四面体ABCD的体积为 S△BCE· 3 AD.当△BCE的面积最大时,体积最大.

因为AB+BD=AC+CD=2a,所以点B,C在一个椭圆上 运动,由椭圆知识可知当AB=BD=AC=CD=a时,BE =CE= a2-c2 为最大值,此时截面△BCE面积最大,为 1 ×2 a2-c2-1 = a2-c2-1 ,此时四面体ABCD的体积 2 1 2c 2 2 最大,最大值为 S△BCE· AD= · a -c -1. 3 3
2 答案: c a2-c2-1 3


推荐相关:

2空间几何体的表面积和体积学生版

2空间几何体的表面积和体积学生版_数学_高中教育_教育专区。第二节 空间几何体的表面积和体积 几何体的表面积 1.(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥,...


...几何(含答案)2-第二节 空间几何体的表面积和体积

2018课标版文数一轮(8)第八章-立体几何(含答案)2-第二节 空间几何体的表面积和体积_数学_高中教育_教育专区。第二节 空间几何体的表面积和体积 A 组 基础...


第二节(空间几何体的表面积及体积)

第二节 空间几何体的表面积和体积 [知识能否忆起] 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 S 侧=2πrl S 侧=πrl 体积 V=Sh=πr2h 1 1 1 V...


...第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通...

2016届高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第二节 空间几何体的表面积和体积 A 组 专项基础测试 ...


第七章 第二节 空间几何体的表面积及体积

第七章 第二节 空间几何体的表面积体积_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第七章 第二节 空间几何体的表面积体积_数学_高中...


空间几何体的表面积和体积公式汇总表

空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.(1)圆柱的侧面展开图是一个 ,设底面半径为 r,母线长为 l ,...


...第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通...

(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通用)_高考_高中教育_教育专区。第二节 空间几何体的表面积和体积 A ...


7.2空间立体几何体的表面积和体积

第二节 空间几何体的表面积和体积 [备考方向要明了] 考什么 怎么考 1.多以选择题或填空题的形式考查,有时也以解答题形式考查. 了解球体、柱体、 锥体、 ...


空间几何体的表面积和体积

第七章 第二节 空间几何... 6页 5财富值 第二讲 空间几何体的表面... 4页 2财富值 空间几何体的体积表面积 4页 免费 空间几何体的体积和表面积 3页 ...


...第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通...

(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积 理(全国通用)_数学_高中教育_教育专区。第二节 空间几何体的表面积和体积 A ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com