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2015年四川省雅安市高考数学三诊试卷(文科)


2015 年四川省雅安市高考数学三诊试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={0,1},N={﹣1,0},则 M∩N=( ) A. {﹣1,0,1} B. {﹣1,1} C. {0} D. φ 【考点】 : 交集及其运算. 【专题】 : 集合.

【分析】 : 根据集合的基本运算进行求解即可. 【解析】 : 解:∵M={0,1},N={﹣1,0}, ∴M∩N={0}, 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

2. (5 分)已知向量 =(1,2) , =(x,﹣4) ,若 ∥ ,则 x=( A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ﹣2 【考点】 : 平行向量与共线向量. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 利用向量共线定理即可得出. 【解析】 : 解:∵ ∥ , ∴﹣4﹣2x=0,解得 x=﹣2. 故选:D. 【点评】 : 本题考查了向量共线定理,属于基础题. 3. (5 分)设 a,b∈R,则“a≥1 且 b≥1”是“a+b≥2”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )



【考点】 : 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 【解析】 : 解:若 a≥1 且 b≥1 则 a+b≥2 成立, 当 a=0,b=3 时,满足 a+b≥2,但 a≥1 且 b≥1 不成立, 即“a≥1 且 b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】 : 本题主要考查充分条件和必要条件,比较基础.

4. (5 分)设 α 为锐角,若 cosα= ,则 sin2α 的值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】 : 二倍角的正弦. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出. 【解析】 : 解:∵α 为锐角,cosα= , ∴ 则 sin2α=2sinαcosα= = . = .

故选:B. 【点评】 : 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 5. (5 分) 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 算法和程序框图. 【分析】 : 由已知中的程序框图及已知中输入 3,可得:进入循环的条件为 i≤3,即 i=1,2, 3.模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值. 【解析】 : 解:当 i=1 时,S=1+1﹣1=1; 当 i=2 时,S=1+2﹣1=2; 当 i=3 时,S=2+3﹣1=4; 当 i=4 时,退出循环,输出 S=4; 故选 C. 【点评】 : 本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的 变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理. 6. (5 分) 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )

A.

B.

C. 8﹣2π D.

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 三视图复原的几何体是正方体,除去一个倒放的圆锥,根据三视图的数据,求出 几何体的体积. 【解析】 : 解:三视图复原的几何体是棱长为:2 的正方体,除去一个倒放的圆锥,圆锥的 高为:2,底面半径为:1; 所以几何体的体积是:8﹣ =

故选 A. 【点评】 : 本题是基础题,考查三视图复原几何体的判定,几何体的体积的求法,考查空间 想象能力,计算能力,常考题型.
2 2

7. (5 分)已知直线 l:x﹣ky﹣5=0 与圆 O:x +y =10 交于 A,B 两点且 ( ) A. 2 B. ±2 C. ±

=0,则 k=

D.

【考点】 : 平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°,故弦心距等于半径的 到直线的距离公式求得 k 的值. 【解析】 : 解:由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°, 故弦心距等于半径的 故有 故选:B. = 倍,等于 ,求得 k=±2, = , 倍,再利用点

【点评】 : 本题主要考查直线和圆相交的性质,弦长公式、点到直线的距离公式的应用,属 于基础题. 8. (5 分) 若实数 a, b 满足 a +b ≤1, 则关于 x 的方程 x ﹣2x+a+b=0 有实数根的概率是 ( A. B. C. D.
2 2 2



【考点】 : 几何概型. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : 易得总的基本事件包含的区域为单位圆,面积 S=π,由根的存在性可得满足条件 的区域为阴影部分,可求面积 S′,由概率公式可得. 【解析】 : 解:∵实数 a,b 满足 a +b ≤1, ∴点(a,b)在单位圆内,圆面积 S=π, 2 ∵关于 x 的方程 x ﹣2x+a+b=0 有实数根, 2 ∴△=(﹣2) ﹣4(a+b)≥0, 即 a+b≤1,表示图中阴影部分, 其面积 S′=π﹣( π﹣ 故所求概率 P= 故选:A. = )= +
2 2

【点评】 : 本题考查几何概型,涉及一元二次方程根的存在性和不等式与平面区域,属中档 题. 9. (5 分) 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 f (x) 满足 f (1) ≠1, 且对?n∈N , 有 f(n)+f(n+1)+f(f(n) )=3n+1,则 f(2)=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】 : 函数的值. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 令 n=1,得到等式 f(1)+f(2)+f(f(1) )=4,分别讨论 f(2)的取值,进行 排除验证即可. * 【解析】 : 解:∵对?n∈N ,有 f(n)+f(n+1)+f(f(n) )=3n+1,
*

∴令 n=1, 则 f(1)+f(2)+f(f(1) )=4, 若 f(2)=2, 则 f(1)+f(f(1) )=2, 则必有 f(1)=1,f(f(1) )=1,与 f(1)≠1 矛盾, 若 f(2)=3, 则 f(1)+f(f(1) )=1, ∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 f(x) , ∴f(x)≥1,此时方程不成立, 若 f(2)=4, 则 f(1)+f(f(1) )=0, ∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 f(x) , ∴f(x)≥1,此时方程不成立, 若 f(2)=1, 则 f(1)+f(f(1) )=3, ∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 f(x) ,f(1)≠1, ∴f(1)=2,f(2)=1 成立, 故选:A. 【点评】 : 本题主要考查函数值的运算和判断,利用特殊值法和排除法是解决本题的关键. 10. (5 分)过抛物线 x =4y 的焦点作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作抛物线 的切线 l1,l2,则 l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是( ) A. y=﹣1 B. y=﹣2 C. y=x﹣1 D. y=﹣x﹣1 【考点】 : 轨迹方程. 【专题】 : 导数的综合应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,由斜截式写出过焦点的直线方程,和抛物 线方程联立求出 A,B 两点横坐标的积,再利用导数写出过 A,B 两点的切线方程,然后整 体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值﹣1,从而得到两切线焦点的轨迹方程. 2 【解析】 : 解:由抛物线 x =4y 得其焦点坐标为 F(0,1) . 设 A( ) ,B( ) ,
2

直线 l:y=kx+1, 联立 ,得:x ﹣4kx﹣4=0.
2

∴x1x2=﹣4…①. 又抛物线方程为: 求导得 , ,

∴抛物线过点 A 的切线的斜率为

,切线方程为

…②

抛物线过点 B 的切线的斜率为

,切线方程为

…③

由①②③得:y=﹣1. ∴l1 与 l2 的交点 P 的轨迹方程是 y=﹣1. 故选:A. 【点评】 : 本题考查了轨迹方程,训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了整 体运算思想方法,是中档题. 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11. (5 分)已知(1+2i) z=3﹣i(i 为虚数单位) ,则复数 z= .

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 得

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 直接由复数代数形式的除法运算化简求值即可得答案. 解:由(1+2i) z=3﹣i, . .

故答案为:

【点评】 : 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 12. (5 分)某高中共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表,已知在全校学生中随机 抽取 1 人,抽到高二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生, 则在高三年级应抽取 16 名学生.

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : ∴

分层抽样方法. 概率与统计. 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解:∵在全校学生中随机抽取 1 人,抽到高二年级女生的概率是 0.19, ,即 m=380,

则高一,高二的学生总数为 373+380+377+370=1500, 则高三学生为 2000﹣1500=500, 若用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则在高三年级应抽取 ,

故答案为:16. 【点评】 : 本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系,结合概率求出 m 是解 决本题的关键.比较基础.

13. (5 分)若函数 f(x)=(a+2)x +2ax+1 有零点,但不能用二分法求其零点,则 a 的值 2 或﹣1 . 【考点】 : 二次函数的性质. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可. 【解析】 : 解:函数 f(x)=(a+2)x +2ax+1 有零点, 说明函数是二次函数,函数的图象与 x 轴有一个交点, 2 即△=4a ﹣4(a+2)=0 解得 a=2 或﹣1 故答案为:2 或﹣1. 【点评】 : 本题考查二次函数的性质,函数的零点判定定理的应用,考查计算能力.
2

2

14. (5 分)曲线 y=2sin(x+

)cos(x﹣

)和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小 π .

到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于

【考点】 : 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法. 【专题】 : 计算题;压轴题. 【分析】 : 本题考查的知识点是诱导公式, 二倍角公式及函数图象的交点, 将 y=2sin (x+ cos(x﹣ )的解析式化简得 y=sin(2x)+1,令 y= ,解得 x=kπ+ ± )

(k∈N) ,代入

易得|P2P4|的值. 【解析】 : 解:∵y=2sin(x+ =2sin(x﹣ =2cos(x﹣ =cos[2(x﹣ =cos(2x﹣ =sin(2x)+1 若 y=2sin(x+ 则 2x=2kπ+ x=kπ+ ± ± )cos(x﹣ (k∈N) )= + )cos(x﹣ ) )cos(x﹣ ) )

)cos(x﹣ )]+1 )+1

(k∈N)

故|P2P4|=π 故答案为:π

【点评】 : 求两个函数图象的交点间的距离,关于是要求出交点的坐标,然后根据两点间的 距离求法进行求解. 15. (5 分)以下命题,错误的是 ①②③ (写出全部错误命题) 3 2 ①若 f(x)=x +(a﹣1)x +3x+1 没有极值点,则﹣2<a<4 ②f(x)= 在区间(﹣3,+∞)上单调,则 m≥ ﹣m 有两个零点,则 m<
+

③若函数 f(x)=

④已知 f(x)=logax(0<a<1) ,k,m,n∈R 且不全等, .

【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 导数的综合应用;简易逻辑. 2 【分析】 : ①若 f(x)没有极值点,则 f′(x)=3x +2(a﹣1)x+3≥0 恒成立,可得△≤0, 解出即可判断出正误; ②f(x)在区间(﹣3,+∞)上单调,f′(x)= 时舍去,解出即可判断出正误; ③f′(x)= ,利用单调性可得:当 x=e 时,函数 f(x)取得最大值,f(e)= .且 ≥0 或 f′(x)≤0 恒成立,且 m=

x→0,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→﹣m.若函数 f(x)有两个零点,则

,解

得即可判断出正误; + ④由于 f(x)=logax(0<a<1) ,可得函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减.k,m,n∈R 且不全等,kd ,
3


2

,等号不全相等,即可判断出正误.
2

【解析】 : 解:①若 f(x)=x +(a﹣1)x +3x+1 没有极值点,则 f′(x)=3x +2(a﹣1) 2 x+3≥0 恒成立,∴△=4(a﹣1) ﹣36≤0,解得﹣2≤a≤4,因此①不正确; ②f(x)= 在区间(﹣3,+∞)上单调,f′(x)= ≥0 或 f′(x)≤0 恒成立,

且 m= 时舍去,因此 m∈R 且 m≠ ,因此②不正确; ,当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增;当 x∈(e,

③f′(x)=

+∞)时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减,∴当 x=e 时,函数 f(x)取得最大值,f

(e)=

.且 x→0,f(x)→﹣∞;x→+∞,f(x)→﹣m.若函数 f(x)=

﹣m 有

两个零点,则

,解得

,因此③不正确.
+

④∵f(x)=logax(0<a<1) ,∴函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减.∵k,m,n∈R 且 不全等,则 , , ,等号不全相等, ,因此正确. 综上可得:错误的是①②③. 故答案为:①②③. 【点评】 : 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,75 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知向量 , ,函数

(Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1, a>b,求 a,b 的值.

,且

【考点】 : 平面向量数量积的运算; 两角和与差的正弦函数; 正弦函数的单调性; 余弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)由题意结合数量积的定义可得 f(x)的解析式,由整天法可求单调区间; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 和条件可得 结合余弦定理和 结合可解答案. = = , . (5 分) . (6 分) (2C+ ,即 , (7 分) )=1 (3 分) (2C+ ) =1, 进而可得 ,

【解析】 : 解: (Ⅰ)由题意可得: = 由 得 所以 f(x)的单调增区间是 (Ⅱ)由(Ⅰ)和条件可得 ∵C 是三角形内角,∴

∴cosC= 将 代入可得

=

,即 a +b =7. (9 分) ,解之得:a =3 或 4,
2

2

2

∴a= 或 2,∴b=2 或 , (11 分) ∵a>b,∴a=2,b= . (12 分) 【点评】 : 本题为三角函数和解三角形的综合应用,涉及余弦定理,属中档题. 17. (12 分) 有编号为 A1,A2,…A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面 数据:

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率. 【考点】 : 古典概型及其概率计算公式;等可能事件;等可能事件的概率. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)考查古典概型用列举法计算随机事件所含的基本事件数,从 10 个零件中随 机抽取一个共有 10 种不同的结果,而符合条件的由所给数据可知,一等品零件共有 6 个, 由古典概型公式得到结果. (2) (i)从一等品零件中,随机抽取 2 个,一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5, A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 15 种. (ii)从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等记为事件 B,列举出 B 的所有可能结 果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种.根 据古典概型公式得到结果. 【解析】 : (Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个. 设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A,则 P(A)= (Ⅱ) (i)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6. 从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个, 所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4}, {A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6}共有 15 种. (ii)“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”记为事件 B B 的所有可能结果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6}, {A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种. ∴P(B)= . = ;

【点评】 : 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基 础知识,考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力. 18. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将 △ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACD; (Ⅱ)求几何体 D﹣ABC 的体积.

【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : (Ⅰ)解法一:由题中数量关系和勾股定理,得出 AC⊥BC,再证 BC 垂直与平 面 ACD 中的一条直线即可,△ADC 是等腰 Rt△,底边上的中线 OD 垂直底边,由面面垂直 的性质得 OD⊥平面 ABC,所以 OD⊥BC,从而证得 BC⊥平面 ACD; 解法二:证得 AC⊥BC 后,由面面垂直,得线面垂直,即证. (Ⅱ) ,由高和底面积,求得三棱锥 B﹣ACD 的体积即是几何体 D﹣ABC 的体积. 【解析】 : 解: (Ⅰ) 2 2 2 【解法一】 :在图 1 中,由题意知, ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC 取 AC 中点 O,连接 DO,则 DO⊥AC,又平面 ADC⊥平面 ABC, 且平面 ADC∩平面 ABC=AC,DO?平面 ACD,从而 OD⊥平面 ABC, ∴OD⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩OD=O, ∴BC⊥平面 ACD 【解法二】 :在图 1 中,由题意,得 ,∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC ∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC?面 ABC,∴BC⊥平面 ACD (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC 为三棱锥 B﹣ACD 的高,且 所以三棱锥 B﹣ACD 的体积为: 由等积性知几何体 D﹣ABC 的体积为: . ,S△ACD= ×2×2=2, ,
2 2 2

【点评】 : 本题通过平面图形折叠后得立体图形,考查空间中的垂直关系,重点是“线线垂 直,线面垂直,面面垂直”的转化;等积法求体积,也是常用的数学方法.

19. (12 分)已知数列{an}的前项 n 和为 Sn,点(n,Sn) (n∈N )均在函数 f(x)=3x ﹣2x 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 的实数 λ 的范围. 【考点】 : 数列的求和;数列与函数的综合. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)利用点(n,S)在函数 f(x)=3x ﹣2x 的图象上,得到 求出首项,判断数列是等差数列,然后求解通项公式. (2 另一类消费求出数列的和,然后结合不等式求出 λ≥2016 即可. 【解析】 : 解: (1)∵点(n,S)在函数 f(x)=3x ﹣2x 的图象上,∴ 当 n=1 时,a1=S1=3﹣2=1…(2 分) 当 n≥2 时, 分) 当 n=1 时,6n﹣1=1 符合∴ (2)∵ ∴ = …(6 分) , …(10 分) =6n﹣5…(5
2 2

*

2

是数列{bn}的前 n 项和,求使得 2Tn≤λ﹣2015 对所有 n∈N 都成立

*



∴2Tn<1 * 又∵2Tn≤λ﹣2015 对所有 n∈N 都成立∴1≤λ﹣2015 故 λ≥2016…(12 分) 【点评】 : 本题考查等差数列的判定,数列求和的方法,数列与函数相结合,以及不等式的 应用,考查计算能力.

20. (13 分)已知抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F 以及椭圆 C2: 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 O:x +y =1 上. (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (2)过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A,B 两不同点,交 y 轴于点 N,已知 = ,则 λ1+λ2 是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
2 2

2

=1(a>b>0)

=



【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 : (1)根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系,求解抛物线方程;根 据椭圆的焦点和右定点也在圆上,确定椭圆方程; (2) 利用已知的向量关系式进行坐标转化求出 λ1= 线方程联立,借助韦达定理进行化简 λ1+λ2 并求值. 【解析】 : 解: (1)由抛物线 C1:y =2px(p>0)的焦点 F( 得: ∴p=2, ∴抛物线 C1:y =4x(3 分) 同理由椭圆 C2: =1(a>b>0)的上、下焦点(0,c) , (0,﹣c)
2 2 2 2

, λ2=

然后通过直线与抛物

)在圆 O:x +y =1 上

2

2

及左、右顶点(﹣b,0) , (b,0)均在圆 O:x +y =1 上可解得:b=c=1, ∴ . 得椭圆 C2:x +
2

. (6 分)

(2)λ1+λ2 是定值,且定值为﹣1. 设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 N(0,k) . 联立方程组 ,消去 y 得:k x ﹣(2k +4)x+k =0,
2 2 2 2

∴△=16k +16>0,且

2

, (9 分)



=



=

得:λ1(1﹣x1)=x1,λ2(1﹣x2)=x2,

整理得:λ1=

,λ2=



λ1+λ2=

(13 分)

【点评】 : 本题考查抛物线与椭圆的标准方程的求法,直线与圆锥曲线的位置关系,考查分 析问题解决问题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣(2a+1)x+alnx,a∈R (1)当 a=1,求 f(x)的单调区间;
2

(2)a>1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最小值; (3)g(x)=(1﹣a)x,若 使得 f(x0)≥g(x0)成立,求 a 的范围.

【考点】 : 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最大值、 最小值问题中的应用. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (1)求出 f(x)的表达式,定义域以及导数,然后判断导函数的符号,求出单 调区间. (2)求出导函数以及极值点,通过当 1<a<e 时,当 a≥e 时方便起见函数的最小值即可. (3)转化不等式 f(x)≥g(x)在区间 上有解,通过 上有解为 x ﹣2x+a(lnx﹣x)≥0 在
2

时,当 x∈(1,e]时,求解函数的导数求出新函数的最值,然后

求解 a 的取值范围. 2 【解析】 : 解: (1)当 a=1,f(x)=x ﹣3x+lnx,定义域(0,+∞) , ∴ …(2 分) ,解得 x=1 或 x= ,x∈ 是增函数,x∈( ,1) , 函数是减函数.…(4 分) (2)∴ 当 1<a<e 时, ,∴ , , (1,+∞) ,f′(x)>0,f(x)

∴f(x)min=f(a)=a(lna﹣a﹣1) 当 a≥e 时,f(x)在[1,a)减函数, (a,+∞)函数是增函数, ∴

综上

…(9 分)

(3)由题意不等式 f(x)≥g(x)在区间 即 x ﹣2x+a(lnx﹣x)≥0 在 ∵当 时,lnx≤0<x,
2

上有解

上有解,

当 x∈(1,e]时,lnx≤1<x,∴lnx﹣x<0,



在区间

上有解.



…(10 分)



,∴x+2>2≥2lnx∴

时,h′(x)<0,h(x)是减函数,

x∈(1,e],h(x)是增函数,







时, …(14 分)

,∴

∴a 的取值范围为

【点评】 : 本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查转化思 想以及计算能力.


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