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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练·对接高考练习:专题2第2讲 解三角形问题


一、选择题 1.(2014· 西安模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin b Asin B+bcos2 A= 2a,则a=( A. 2 C. 3 解析 ). B.2 2 D.2 3 因为 asin Asin B+bcos2 A= 2a,所以由正弦定理,得 sin Asin Asin B+

b 2 sin B 1-sin A = 2sin A,即 sin B= 2sin A,所以a= 2.

(

)

答案

A

2.(2014· 益阳模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 asin A +bsin B-csin C= 3asin B,则角 C 等于( π A.6 π C.3 解析 π B.4 5π D. 6 由正弦定理,得 a2+b2-c2= 3ab, ).

a2+b2-c2 3 所以 cos C= 2ab = 2 , 又 0<C<π, π 所以 C=6. 答案 A

3.(2014· 吉林省实验中学一模)在△ABC 中,sin(A+B)· sin(A-B)=sin2C,则此三 角形的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 解析 ). B.直角三角形 D.等腰直角三角形

因为 sin(A+B)sin(A-B)=sin2 C,所以 sin (A-B)=sin C,又因为 A,B,

-1-

C 为△ABC 的内角,所以 A-B=C,所以 A=90° ,所以△ABC 为直角三角形. 答案 B

π 4.(2014· 福州模拟)在△ABC 中,BC=1,B=3,△ABC 的面积 S= 3,则 sin C =( 13 A. 13 4 C.5 解析 ). 3 B.5 2 39 D. 13 π 1 因为在△ABC 中,BC=1,B=3,△ABC 的面积 S= 3,所以 S△ABC=2

1 3 BC×BAsin B= 3,即2×1×BA× 2 = 3,解得 BA=4.又由余弦定理,得 AC2 BA AC =BC2+BA2-2BC· BAcos B,即得 AC= 13,由正弦定理,得sin C=sin B,解 2 39 得 sin C= 13 . 答案 D

5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且 b2=a2-ac+c2,C -A=90° ,则 cos Acos C 等于( 1 A.4 1 C.-4 解析
2 2 2

). 2 B. 4 2 D.- 4

a2+c2-b2 1 依题意得 a +c -b =ac,则 cos B= 2ac =2.

又 0° <B<180° ,所以 B=60° ,C+A=120° .又 C-A=90° ,所以 C=90° +A, A=15° ,所以 cos Acos C= 1 1 1 cos Acos(90° +A)=-2sin 2A=-2sin 30° =-4. 答案 C

二、填空题
-2-

6.(2014· 福建卷)在△ABC 中,A=60° ,AC=2,BC= 3,则 AB 等于________. 解析 由余弦定理知 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos A 代入数据得( 3)2=AB2+

22-2AB· 2cos60° ,解之得 AB=1. 答案 1

7.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为 测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60° ,C 点的仰角∠CAB=45° 以及∠MAC=75° ;从 C 点测得∠MCA=60° ,已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

解析

在△AMC 中,

∵∠MAC=75° ,∠MCA=60° , ∴∠AMC=180° -75° -60° =45° . 由正弦定理得 AM sin∠MCA = AC sin∠AMC ,

又△ABC 中,∠ABC=90° ,∠CAB=45° ,BC=100 m, ∴AC=100 2 (m), 100 2 ∴AM=sin 45° · sin 60° =100 3 (m), 在△AMN 中,MN⊥AN,∠NAM=60° , 3 ∴MN=AM· sin 60° =100 3× 2 =150 (m). 答案 150

8.(2014· 江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值
-3-

是________. 解析 ∵sin A+ 2sin B=2sin C. a+ 2b 2 ,

由正弦定理可得 a+ 2b=2c,即 c=

?a+ 2b?2 ? a2+b2-? a +b -c ? 2 ? cos C= 2ab = 2ab
2 2 2

3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 = ≥ = 8ab 8ab 4 , a 2 当且仅当 3a2=2b2 即b= 时等号成立. 3 ∴cos C 的最小值为 答案 三、解答题 9.(2014· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3, c=1,△ABC 的面积为 2.求 cos A 与 a 的值. 解 1 由三角形面积公式,得2×3×1· sin A= 2, 6- 2 4 6- 2 4 .

2 2 故 sin A= 3 . 因为 sin2 A+cos2 A=1, 所以 cos A=± 1-sin2 A=± 1 ①当 cos A=3时,由余弦定理得 1 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×3=8, 所以 a=2 2. 1 ②当 cos A=-3时,由余弦定理得
-4-

8 1 1-9=± 3.

1 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×(-3)=12, 所以 a=2 3. 10.(2014· 山东卷)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos 6 π A= 3 ,B=A+2. (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中,

3 由题意知 sin A= 1-cos2 A= 3 , π 又因为 B=A+2, π 6 所以 sin B=sin(A+2)=cos A= 3 . 由正弦定理可得 6 3× 3 asin B b= sin A = =3 2. 3 3 π π 3 (2)由 B=A+2得 cos B=cos(A+2)=-sin A=- 3 . 由 A+B+C=π,得 C=π-(A+B). 所以 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 3 3 6 6 1 = 3 ×(- 3 )+ 3 × 3 =3. 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S=2absin C=2×3×3 2×3= 2 . 11.(2014· 贵州六校联盟联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 2acos C=2b-c. (1)求 sin A; (2)求三角函数式 -2cos 2C +1 的取值范围. 1+tan C
-5-



(1)∵2acos C=2b-c,根据正弦定理,

得 2sin A· cos C=2sin B-sin C, 又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 1 ∴2sin C=cos Asin C, 1 ∵sin C≠0,∴cos A=2, π 3 又∵0<A<π,∴A=3,∴sin A= 2 . -2cos 2C 2?cos2 C-sin2 C? (2) +1=1- =1-2cos2 C+2sin Ccos C=sin 2C-cos sin C 1+tan C 1+cos C π? ? 2C= 2sin?2C-4?, ? ? 2 ∵0<C<3π, π π 13 ∴-4<2C-4<12π, π? 2 ? ∴- 2 <sin?2C-4?≤1, ? ? π? ? ∴-1< 2sin?2C-4?≤ 2, ? ? ∴ -2cos 2C +1 的取值范围是(-1, 2]. 1+tan C

-6-


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