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福建省泉港一中2016届高三数学考前模拟试卷 理


2016 届高三数学模拟卷(理科)
第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.实数

a+ i (a 为实数)的共轭复数为( ) 2- i
B.-5 C.-1 D.-i

A.1

2.用 0,1,? ? ?,199 给 2

00 个零件编号,并用系统抽样的方法从中抽取 10 件作为样本进行质量 检测,若第一段中编号为 5 的零件被取出,则第二段中被取出的零件编号为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

3.在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1 ? 2, 且 a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列,记 Sn 是数列{an} 的前 n 项和,则 S5 ? ( A.32 4.已知 tan(? ? A.1/2 ) B.62 C.27 D.81

?
4

)?

1 sin ? ? cos ? ,则 的值为( 2 sin ? ? cos ?
C.2 2 D.-2



B.2

5.若 f ( x) ? ae? x ? e x 为奇函数,则 f ( x ? 1) ? e ? A. ( ??, 0) B. ( ??, 2) C. (2, ??)

1 的解集为( ) e
D. (0, ??) )

6.执行如图所示的程序框图,输出的 n 的值为( A.10 C.12 7.已知 x 0 ? 间是( A. ( ) B.11 D.13

? 是函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) 的一个极大值点,则 f ( x ) 的一个单调递减区 3
B. (

? 2?
6 , 3

)

? 5?
3 , 6

)

C. (

?
2

,? )

D. ( )

2? ,? ) 3

8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于(

160 A. 3

B. 160

C. 64 ? 32 2
2

D.60
2

9.经过点 (2,1) ,且渐近线与圆 x ? ( y ? 2) ? 1 相切的双曲线的标准方程为 ( )
1

x2 y2 ? ?1 A. 11 11 3

x2 ? y2 ? 1 B. 2

y2 x2 ? ?1 C. 11 11 3

y2 x2 ? ?1 D. 11 11 3

10.如图,在直角梯形 ABCD 中.AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点, BC ? 3EC ,F 为 AE 中点,则 BF ? (

uuu r

uuu r

uuu r

) B.

u r 1 uuu r 2 uu AB ? AD 3 3 uu u r r 2 1 uuu C. ? AB ? AD 3 3
A.

u r 2 uuu r 1 uu AB ? AD 3 3 uu u r r 1 2 uuu D. ? AB ? AD 3 3

11.如图 ABCD -A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体,S- ABCD 是高为 l 的正四棱锥,若点 S,A1,B1,Cl,D1 在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A.

9 ? 16

B.
2

25 ? 16

C.

49 ? 16

D.

81 ? 16

12.若函数 f

?x ? ? x

?

2

x

? a ln x (a ? 0) 有唯一零点 x0,且 m<x0<n(m,n 为相邻
) C.5 第Ⅱ卷 D.7

整数),则 m+n 的值为( A.1 B.3

本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须做答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

? x-y+1≥0 ? 13.若实数 x,y 满足 ? x+y≥0 ,则 z=|x+2y-3|的最小值为__________. ? x≤0 ?
14.在 (2 x ?

3 ? 4)9 的展开式中,不含 x 的各项系数之和为 y

x2 y2 15.已知 F1 , F2 分别为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,Q 为椭圆 C 上的一点, a b
且 ?QF 1O(O 为坐标原点)为正三角形,若射线 QF 1 , QO 与椭圆分别相交于点 P, R ,则

?QF1O 与 ?QPR 的面积的比值为______.
16.已知数列 ?an ?是首项为 4 ,公差为 3 的等差数列,数列 ?bn ?满足 bn (an an?1 ? an?1 an ) ? 1 ,

2

则数列 ?bn ?的前 32 项的和为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为锐角△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且(a+b) (sinA-sinB) =(c-b)sinC (Ⅰ)求∠A 的大小; (Ⅱ)若 f(x)= 3 sin

x x x ? cos +cos 2 ,求 f(B)的取值范围. 2 2 2

18. (本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB//CD, AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 上的一点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 所成角的正弦值. 19(本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水 文资料显示, 水库年入流量 X (年入流量: 一年内上游来水与库区降 水之和,单位:亿立方米)都在 40 以 上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且 不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为 相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (Ⅰ)求在未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (Ⅱ) 水电站希望安装的发电机尽可能运行, 但每年发电机最多可运行台数受年入流量

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 3

X 限制,并有如下关系;
年入流量 X 发电机最多可运行台数

40 ? X ? 80
1

80 ? X ? 120
2

X ? 120
3

若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台 发电机年亏损 800 万元, 欲使水电站年总利润的均值达到最大, 应安装发电机多少台? 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 + =1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 B(0, 3 )为短 a 2 b2

轴的一个端点,∠OF2B=60°. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2,且斜率 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点,A 为椭圆的右
3

顶点, 直线 AE, AD 分别交直线 x=3 于点 M, N, 线段 MN 的中点为 P, 记直线 PF2 的斜率为 k ? . 试 问 k· k ? 是否为定值?若 为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由. (21) (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln ax , g ( x ) ? x ? ( a ?

1 ) x ? 1( a ? R , a ? 1 ) . a

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? a 处的切线 l 斜率为 2 ,求 l 的方程; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得当 x ? ( , a ) 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立.若存在,求 a 的值; 若不存在,说明理由. 请考生在第 (22) , (23) , (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 B 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC·BC=2AD·CD. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 a



D

E A O C

? ? x ? 1 ? 3 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数) ,点 M 是曲 ? ? y ? 3 sin ?
线 C1 上的动点,点 P 在曲线 C2 上,且满足 OP ? 2OM . (Ⅰ)求曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ) 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 射线 ? ? 别交于 A 、 B 两点,求 AB . (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M .

??? ?

???? ?

2? 与曲线 C1 、C2 分 3

1 1 1 (Ⅰ)证明: | a ? b |? ; 3 6 4 (Ⅱ)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

2016 届高三数学模拟(理科答案) 一. 选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 A 10 C 11 D 12 C

二. 填空题

4

13

1

14

-1

15

3 ?1 8

16

2 15

三. 解答题

18.(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= 2 , ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC, 又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. (Ⅱ)如图,以 C 为原点,取 AB 中点 F, CF , CD, CP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向, 建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,﹣1,0) .设 P(0,0,a) (a >0) , 则 E(
2 2 2

??? ? ??? ? ??? ?

1 1 a ,﹣ , ) , 2 2 2

5

6

20 . (1) 由条件可知 a ? 2, b ? 分 (2)设过点 F2 (1, 0) 的直线 l 方 程为: y ? k ( x ? 1) .

3 , 故所求椭圆方程为

x y ? ? 1 .…………………………4 4 3

2

2

7

? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4 因为点 F2 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即 ? ? 0 恒成立.
设点 E ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) , 则

x1 ? x 2 ?

4k 2 ? 12 . ……………………………………………6 分 4k 2 ? 3 y1 ( x ? 2) , 直 线 AD 的 方 程 为 : 因 为 直 线 AE 的 方 程 为 : y ? x1 ? 2 y2 y? ( x ? 2) , x2 ? 2 y1 y ) , N (3, 2 ) , 所 以 点 P 的 坐 标 令 x ? 3 , 可 得 M (3, x1 ? 2 x2 ? 2 y2 1 y (3, ( 1 ? )) 2 x1 ? 2 x2 ? 2 8k 2 , 4k 2 ? 3 x1 x 2 ?
. ………………………… ……8 分

y 1 y1 ( ? 2 )?0 2 x1 ? 2 x2 ? 2 直线 PF2 的斜率为 k ' ? 3 ?1 1 x1 y2 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

y

l
D M

O F2

A P

x
N

4k 2 ? 12 8k 2 2k ? 2 ? 3k ? 2 ? 4k 1 3 4k ? 3 4k ? 3 ? ? , ?? 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 3 4k ? 3 k ? k? 所 以 为
3 ? . 4

E





…………………………………………………………………12 分

(21)解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ln( ax) ?

a ? 1 , f ?(a) ? 2 ,……………………………2 分 x

2 所以 ln a ? 2 ,解得 a ? e 或 a ? ?e(舍去). ………………………………………3 分

因为 f ( x) ? ( x ? e) ln ex ,所以 f (e) ? 0 ,切点为 ? e,0 ? , 所以 l 的方程为 y ? 2 x ? 2e .………………………5 分
8

2 (Ⅱ) 由 f (x) ?g (x) 得,( x ? a ) ln ax ? x ? ( a ? ) x ? 1,( x ? a ) ln ax ? ( x ? a )( x ? ) ,

1 a

1 a

1 1 , ln ax ? x ? ? 0 .…………………………2 分 a a 1 1 1 1? x 令 h( x ) ? ln ax ? x ? ( x ? ( , a ) ) ,则 h?( x) ? ? 1 ? , a a x x 1 所以,当 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增; a
又 x ? ( , a ) ,所以 ln ax ? x ? 当 1 ? x ? a 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, 所以当 x ? 1 时,函数 h( x) 取得最大值 h ?1? ? ln a ? 故只需 ln a ?

1 a

1 ? 1 .…………………………9 分 a

1 ? 1 ? 0 (*). a 1 1 1 x ?1 令 ? ( x ) ? ln x ? ? 1 ( x ? 1 ) ,则 ? ?( x ) ? ? 2 ? 2 , x x x x
所以当 x ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , g ? x ? 单调递增,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 .…………11 分 故不等式(*)无解. 综上述,不存在实数 a ,使得当 x ? ( , a ) 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. …………12 分 22、 【证明】 : (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点, 所以 OED 三点共线.………………………… …2 分 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB.………………………… …5 分 (Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD.………… …8 分

1 a

B D E O C

AC AD ? = ?AD·CD=AC·CE CD CE 2AD·CD=AC·2CE 2AD·CD=AC·BC.……………………………10 分
' '

A

' ??? ? ???? ? ? ?x ? 2x , 23、 【解析】 : (1)设 P ? x, y ? , M ? x , y ? ,? OP ? 2OM ,? ? ………… …2 分 ' ? ?y ? 2y ,

' ? 2 ? x ? 1 ? 3 cos ? , ? x ' ? 1 ? y '2 ? 3 ,……………… …4 分 ? 点 M 在曲线 C1 上,? ? ' ? ? y ? 3 sin ? ,

?

?

2 曲线 C2 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 12 ;………………………… …5 分 2

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 2 ? 0,
2

将? ?

2? ? 2? 代入得 ? ? 1 ,? A 的极坐标为 ?1, 3 ? 3

? ? ,………………………… …7 分 ?

9

曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4? cos? ? 8 ? 0,
2

将? ?

2? ? 2? 代入得 ? ? 2 ,? B 的极坐标为 ? 2, 3 ? 3

? ? ,………………………… …9 分 ?

? AB ? 2 ?1 ? 1 .………………………… …10 分
x ? ?2 ? 3, ? 24、 【解析】 : (I)记 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 2 x ? 1,?2 ? x ? 1,由 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0 ? ? 3, x ? 1 ?
解得: ?

1 1 ? x ? ,即 M ? (? 1 , 1 ) 2 2 2 2

………………………… …3 分

所以, | 1 a ? 1 b |? 1 | a | ? 1 | b |? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ;………………………… …5 分 3 6 3 6 3 2 6 2 4 (II)由(I)得: a 2 ? 1 , b2 ? 1 ,………………………… …6 分
4
4

为 | 1 ? 4ab |2 ?4 | a ? b |2 ? (1 ? 8ab ? 16a 2b2 ) ? 4(a 2 ? 2ab ? b2 ) …………… …8 分

? (4a 2 ? 1)(4b 2 ? 1) ? 0

,故 | 1 ? 4ab |2 ? 4 | a ? b |2 ,即

| 1 ? 4ab |? 2 | a ? b | ………………………… …10 分

10


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