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湖南省衡阳市第八中学2014-2015学年高一下学期六科联赛数学试题


衡阳市八中 2015 年上学期高一六科联赛数学试题
总分:100 分,时间:120 分钟 命题人:刘慧英 颜 军 审题人:张贤华

一.填空题:(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.)

? ? ? ? 1.设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , 若 a, b 方向相反, 则实数 x 的值是(

D
A. 0 2. 若 sin B. ?2 C. 2 B ) C. ? D. ?2

)

?
2
2 3

?

3 ,则 cos ? ? ( 3
B.

A. ?

1 3
C.2 3

1 3
D.4 3

D.

2 3
)

3. 在△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数列,b=6,则△ABC 的外接圆半径为( C A.6 B.12

4. 把函数 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把所 得函数图象上所有的点向左平移 A. y ? sin ? 2 x ?

?
6

个单位长度,得到图象的函数表达式为( D ) B. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?, x ? R 6?

? ?

??

?, x ? R 6?

C. y ? sin ?

? ? ?1 x ? ?, x ? R 12 ? ?2

D. y ? sin ?

? ? ?1 x ? ?, x ? R 12 ? ?2
( B )

5. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11, S12 ? 186, 则a8 = A.18 B.20 C.21 D.22

6.在△ABC 中, sin A ? A.3

u r uuu r 3 uu , AB ? AC =8,则△ABC 的面积为( A 5
B.4 C.6 D.

)

12 5

7. 如 果 数 列 {an }满足a1 ? 2, a2 ? 1, ( D ) A.

1 1 2 ? ? (n ? 2) 则 这 个 数 列 的 第 10 项 等 于 an?1 an?1 an

1 210

B.

1 29

C.

1 10

D.

1 5

8. 在△ABC 中,a、b、c 分别是内角 A,B,C 所对的边,C=

???? ??? ? ??? ? ? ,若 2OD ? aOE ? bOF 且 D、E、 3

F 三点共线(该直线不过点 O) ,则 △ABC 周长的最小值是 ( B ) A.

5 2

B. 3

C.

7 2

D. 4

9. 已知数列 ?an ? 是递增数列, 且对 n ? N * , 都有 an =n2 +? n , 则实数 ? 的取值范围是 ( C )

7 A.(? , ??) 2

B.[0, ??)

  C.( ?3, ??)    D.[ ?2, ??)

→ → → → 10. 设 A1, A2, A3, A4 是平面直角坐标系中四个不同的点, 若A1A3 = λ A1A2 (λ ∈ R), A1A4 = μ A1A2 (μ ∈ R), 且 1 1 + = 2,则称 A3, A4 调和分割 A1A2. 已知平面上的点 C、D 调和分割 AB, λ μ D ) B. D. D 可能是线段 AB 的中点 C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
0

则下面说法正确的是(

A. C 可能是线段 AB 的中点 C. C、D 可能同时在线段 AB 上 二.填空题: ( 每 题 3 分 , 共 15 分 )

11. 在 ?ABC 中, a2 ? b2 ? c2 ? 3bc ,则 A=

30

. 2n-5 .

12.若 an?1 ? an ? 2, n ? N * , a1 ? ?3, 则数列{an }通项公式an ?

13.在锐角 ?ABC 中,AB= 13 ,BC=4,C=60 ,则 BC 边上的高为
0

.

3 3 2

14. 如图,已知圆 M : ( x ? 4)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E、F 分别为 ???? ??? ? 边 AB、 AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时,ME ? OF 的最大值是_____8____________。
y C D F A M B E

o

x

因为圆的半径为 2,所以正方形的边长为

.因为

. 所以

=

=

.所以

.

? 15. 设数列 {an } 满足: a1 ? 1 a2 ? 4 a3 ? 9 an ? an?1 ? an?2 ? an? ,则 ( 3 n ? 4, n ? N )

,

a2017 ?
8065.

8065

.
d ? 16 ,

解 析 : ? a1 , a5 , a9 , a13 ,? 成 等 差 数 列 , 且 公 差

? a2017 ? a1 ? (505 ?1) ?16 ? 8065

三.解答题:(本大题共 6 个小题,共 55 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.(本题共8分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足, a3 ? 4 , S6 ? 18 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)从数列 {an } 中抽取偶数项构成新的数列 {bn } ,求数列 {bn } 的前n项和 Tn 。

(1)a1 ? 8, d ? ?2, an ? ?2n ? 10 (2)Tn ? 6n ? n(n ? 1) ? (?4) ? ?2n 2 ? 8n. 2
17. ( 本 题 共 9 分 ) 已 知 向 量

?? ? 3 1 ? a ? ( , ? ), b ? (sin 2 x, cos 2 x) , 设函数 f ( x) ? a? b. 2 2
(Ⅰ) 求 f ( x ) 的单调递增区间;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x ) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

? ? 3 1 ? (1) f ( x) ? a ? b? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6 ? ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

?
6

?
3

? k?

(2)

? ? ? 5? ? 5? 当x ? [0, ]时, (2 x ? ) ? [- , ],由标准函数 y ? sin x在[- , ]上的图像知, 2 6 6 6 6 6

? ? ? 1 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . 2 ? 2?
18. (本题共 9 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? ? ?

? ?

?
2

?? ?

??

? ? 的图像关于直线 x ? 3 2?

对称.(I)求 ? 的值; (II)若 f ?

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ,求 cos?? ? ? 的值. 2 ? 3 ? ? ?2? 4 ?6

? ? b sin 2C 19.(本题共9分)在三角形ABC中,A,B,C所对的边为a,b,c. ? C ? 且 ? 3 2 a ? b sin A ? sin 2C
(1)判断三角形ABC的形状;(2)若|BA ? BC |? 2,求BA?BC的取值范围。

?? ? ???

?? ? ???

20.(本题共 10 分) 如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行河 岸线 l1、l2 的距离分别为 4m、8m,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m, l2 与该养 殖区的最近点 B 的距离为 2m. (1)如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60? ,设 AD 与 l1 所成夹 角为 ? ,求 tan? 的值并请据此算出养殖区的面积; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,若记 ?BAD ? ? ,试用 q 表示养殖区的面积 S.
l1 l1

D A
C

D A
C

B
l2
?

B
l2

图甲 l2 所成夹角为 60 ? ? , 解: (1)如图甲,则 AB 与 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 3 ? 6 , sin ? sin ? 60? ? ? ? 解得 tan ? ? 3 , 5

图乙

所以,养殖区的面积

S?

? sin3? ? ? sin 60 ? 9?1 ? tan1 ? ? ? sin 60 ? 42 3 (m ) ;
2 ? ? 2 2

(2)如图乙,设 AD 与 l1 所成夹角为 ? , ?BAD ? ? ? 120?, 180? ,则 AB 与 l2 所成夹角 为 180? ? ? ? ? , 对菱形 ABCD 的边长“算两次”得 3 ? 6 ,解得 sin ? sin ?180? ? ? ? ? ?
tan ? ? sin ? , 2 ? cos?
2

?

?

?

?

所以,养殖区的面积

S?

4cos ? , ? ? ? sin? ? 9?1 ? tan1 ? ? ? sin? ? 9 ? 5 ?sin ? ?

3 sin ?

2

21.(本题共 10 分) 有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的公差为 d ,并且 a 成等差数列. amk ( , a , a , ? , a m , k ? 1 , 2 , 3 , ? , n , n ≥ 3 ) 1 n 2 n 3 n n n ≤ m ≤ n (Ⅰ)证明: d , p1 , p 2 是 m 的多项式) , ? p d ? p d m 11 2 2 (3 并求 p1 ? p2 的值;

m

,第 k 项为

n- 1 + 1 ,数列{ bn }满足不等式 dm 3 3 3 3 | b1 | + | b2 | + L + | b 2m - 1 | + | b 2m |< 4 ,求 m 的值. 2 2 2 2 解: (Ⅰ)由题意知 amn ? 1 ? (n ? 1)dm .
(Ⅱ)当 d 时,设 bn = 1 ,d 3 1? 2?

a2n ? a1n ? [1 ? (n ?1)d2 ] ? [1 ? (n ?1)d1 ] ? (n ?1)(d2 ? d1 ) , 同理, a3n ? a2n ? (n ?1)(d3 ? d2 ) , a4n ? a3n ? (n ?1)(d4 ? d3 ) ,?, ann ? a( n?1) n ? (n ?1)(dn ? dn?1 ) .
又因为 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列,所以 a2n ? a1n ? a3n ? a2n ? ? ? ann ? a( n?1) n . 故 d2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? dn ? dn?1 ,即 {dn } 是公差为 d2 ? d1 的等差数列. 所以, dm ? d1 ? (m ?1)(d2 ? d1 ) ? (2 ? m)d1 ? (m ?1)d2 . 令 p1 ? 2 ? m, p2 ? m ? 1 ,则 dm ? p1d1 ? p2d2 ,此时 p1 ? p2 ? 1. (Ⅱ)可知当 n ? m 时, bn < 不等式化为:

3 3 ;当 n > m 时, bn > . 2 2

3 3 3 3 3 ( - b1 ) + ( - b2 ) + L + ( - bm ) + (bm + 1 - ) + L + (b2m - ) < 4 2 2 2 2 2
即: (bm + 1 + L + b2m ) - (b1 + L + bm ) < 4
2 得: m - 8m + 4 < 0

得: 4 - 2 3 < m < 4 + 2 3 \ m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.


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