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2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案解析(2)


2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? A B C D 中,
' ' ' '

二面角 A ? BD ? C 等于
' '

(用反三角函数表示)

2.如果三角形 ?

ABC 的三个内角 A, B, C 满足

cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角 B 的最大值是
3.实数列 ?an ?满足条件: a1 ? 则通项公式 an ? 4. F1 , F2 是椭圆

2 n ? 1, a2 ? 2 ? 1, an ?1 ? an ?1 ? ? 2(n ? 2) , 2 an ? an ?1 (n ? 1) 。

x2 y 2 ? ? (a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF1 F2 的面积为 1 , a2 b2

1 tan ?PF1 F2 ? , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2 ?1 5.在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? ax ? 4 ( a ? 0) 与其反函数 f ( x) 的图像恰有三个不同的交点, 则实数 a 的取值范围是
6. 已知正实数 a1 , a2 ,? , an 与非负实数 b1 , b2 ,? , bn 满足(1) a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ; (2) a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ?

?b b b ? 1 ,则 a1a2 ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 的最大值为__________. an ? 2 ? a1 a2

7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,? , 2014 克的物品, 砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量最小值为________________克. 8.设 g ( x) ?

x(1 ? x) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg ( x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积是

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)设数列 ?an ?的前 n 项和 S n 组成的数列满足

S n ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 6n 2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ?的通项公式。

10.(20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10 x ? 11 ? 0 的三个根。
3

(1)已知 x1, x2, x3, 都落在区间 ( ?5,5) 之中,求这三个根的整数部分; (2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是 椭 圆 ? 上 的 两 点 , 直 线 11.( 20 分 ) 如 下 图 , 椭 圆 ? : 4 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C , D, E 分别是直线 l1 与 l2 , l2 与 l3 , l1 与 l3 的交点, 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.在如下图所示的正方体 ABCD ? A B C D 中,二面角 A ? BD ? C 等于
' ' ' ' ' '

解: arccos

2.如果三角形 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cot A, cot B, cot C 依次成等差数列,则角 B 的最大值是 解: .记 x ? cot A, y ? cot B, z ? cot C ,则 2 y ? x ? z .由于 x, y, z 至多一个负数,故 y ? 0 , 3 xy ? 1 ? ? z .即 xy ? yz ? zx ? 1 .消去 z 后,得到 x 2 ? 2 xy ? (1 ? 2 y 2 ) ? 0 ,方程有实根, 且 x? y
2

1 3

?

3 ? ? 即 B ? 且 A ? B ? C ? 时等号成立 3 3 3 n 2 3.实数列 ?an ?满足条件: a1 ? ? 1, a2 ? 2 ? 1, an ?1 ? an ?1 ? ? 2(n ? 2) ,则 an ? (n ? 1) 2 an ? an ?1 n 解: ? 1 .计算前几项可以猜出结果,再用数学归纳法可以证明. 2 x2 y 2 4. F1 , F2 是椭圆 2 ? 2 ? ( a ? b ? 0) 的两个焦点, P 为椭圆上任意一点,如果 ?PF1 F2 的面积为 1 , a b 1 tan ?PF1 F2 ? , tan ?PF2 F1 ? ?2, 则 a ? 2 15 1 解: .不妨假定 F1 (?c, 0), F2 (c, 0)(c ? 0), 设 P ( x0 , y0 ) .则 F1 P 的斜率为 k1 ? , F2 P 的斜率为 k2 ? 2 , 2 2 5 4 4 2 3 因此 x0 ? c ? 2 y0 , y0 ? 2( x0 ? c) 解得 x0 ? c, y0 ? c, 又 S△PF1F2 =cy0 ? c ? 1 ,所以 c ? , 3 3 3 2 5 3 2 3 15 , ) .从而 2a ? PF1 ? PF2 ? 15 ,所以 a ? 点 P( 6 3 2 5.设 g ( x ) ? x(1 ? x ) 是定义在区间 ?0,1? 上的函数,则函数 y ? xg ( x) 的图像与 x 轴所围成图形的面积是
所以 △ ? 12 y ? 4 ? 0 ,故 cot B ? y ?

6. 已知正实数 a1 , a2 ,? , an 与非负实数 b1 , b2 ,? , bn 满足(1) a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n ; (2) a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ?

?b b b ? 1 ,则 a1a2 ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 的最大值为__________. 2 an ? ? a1 a2

? ? a1 ? b1 ? ? ? a2 ? b2 ? ? ? ? ? an ? bn ? ? 1 解: .由均值不等式知: ? a1 ? b1 ?? a2 ? b2 ?? ? an ? bn ? ? ? ? ? 1, n 2 ? ?
n

于是 a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ? ? b1a2 a3 ? an ? a1b2 a3 ? an ? ? ? a1a2 a3 ? bn ? ? 1 ,

即 a1a2 ? an ?

? b1 b2 b ? 1 ? ? ? ? n ? ? 1 ? ? a1a2 ? an ? b1b2 ? bn ? ? . an ? 2 ? a1 a2

1 满足条件,且取到最大值. 2 7. 已知 20 块质量为整数克的砝码可称出 1, 2,? , 2014 克的物品,砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量
取 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1, b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 0, bn ? 最小值为________________克. 解: 147.设这 20 块砝码质量为 a1 ? a2 ? ? ? a20 .首先用归纳法证明: ak ? 2
n
7

k ?1

(k ? 11) .(1)当 k ? 1 时,显然,
n ?1

(2) 设结论对 k ? 1, 2,? , n 成立, 若 an ?1 ? 2 ( n ? 10) , 则由 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? 2 ? ? ? 2 克的物品无法称量,矛盾!于是, a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 255 , 所以 a9 ? a10 ? ? ? a20 ? 2014 ? 255 ? 1759 , 所以 a20 ?

? 2n ? 1 知 2n

a9 ? a10 ? ? ? a20 ? 147 时,符合条件,故最小值为 147 克.
8.在同一直角坐标系中, 函数 f ( x) ? a 的取值范围是

1759 ? 146 ,即 a20 ? 147 ,又当 ak ? 2k ?1 (k ? 8) , 12

ax ? 4 (a ? 0) 与其反函数 f ?1 ( x) 的图像恰有三个不同的交点, 则实数

二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.(16 分)设数列 ?an ?的前 n 项和 S n 组成的数列满足

S n ? S n ?1 ? S n ? 2 ? 6n 2 ? 9n ? 7(n ? 1) ,已知 a1 ? 1, a2 ? 5, 求数列 ?an ?的通项公式。

10.(20 分)设 x1, x2, x3, 是多项式方程 x ? 10 x ? 11 ? 0 的三个根。 (1)已知 x1, x2, x3, 都落在区间 (?5,5) 之中,
3

求这三个根的整数部分;(2)证明: arctan x1 ? arctan x2 ? arctan x3 ?

?
4

x2 ? y 2 ? 1, A(?2,0), B(0,?1) 是 椭 圆 ? 上 的 两 点 , 直 线 4 l1 : x ? ?2, l2 : y ? ?1.P( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) 是 ? 上的一个动点,l3 是过点 P 且与 ? 相切的直线,C , D, E 分别是直线 l1 与 l2 , l2 与 l3 , l1 与 l3 的交点, 求证:三条直线 AD, BE 和 CP 共点。
11. ( 20 分 ) 如 下 图 , 椭 圆 ? :

解答三:利用赛瓦定理

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一(本题满分 40 分) 对任意实数 a, b ,定义运算“ ? ”为: a ? b = [2a + b] .在直角坐标系中,? 设点集 A = {( x, y ) | 0 ? x < 3, 0 ? y < 2, ( 2 ? x) ? 2 y = ( 2 ? y ) ? 2 x} ,求 A 所对应的平面区域的面积.

二(本题满分 40 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , H 为 ?ABC 的垂心,M 为边 BC 的中点,点 S 在边 BC 上且满足 ?BHM ? ?CHS ,点 A 在直线 HS 上的射影为 P .证明: ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切.
A P

H

C

S

M

B

三(本题满分 50 分) 整数 a, b, c, d 满足 ad ? bc ? 1 .求 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? cd ? ac ? bd ? bc 的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 ? a, b, c, d ?

四(本题满分 50 分)

设整数 n ? 2 , G ? ?0,1,?, n ? 1? , A, B ? G ,对 x ? G ,记 f AB ( x) 为满足 a ? b ? x(mod n) , a ? A , 证明:

b ? B 的数组 (a, b) 的个数,类似定义 f AA ( x) , f BB ( x) .

?f
x?G

2
AB

( x) ? ? f AA ( x) ? f BB ( x) .
x?G

2015 全国高中数学联赛模拟试题 02 一(本题满分 40 分) 对任意实数 a, b ,定义运算“ ? ”为: a ? b = [2a + b] .在直角坐标系中,? 设点集 A = {( x, y ) | 0 ? x < 3, 0 ? y < 2, ( 2 ? x) ? 2 y = ( 2 ? y ) ? 2 x} ,求 A 所对应的平面区域的面积. 解:根据运算“ ? ”的定义, 2 ? x 为整数,进而

( 2 ? x) ? 2 y = [2( 2 ? x) + 2 y ] = 2( 2 ? x) + [2 y ] = 2[2 2 + x] + [2 y ] = 2[ x] + 2[ y ] + 2[2 2 + {x}] + [2{ y}] , 其中 {x}, { y} 表示 x, y 的小数部分.同理可知 ( 2 ? y ) ? 2 x = 2[ y ] + 2[ x] + 2[2 2 + { y}] + [2{x}] .
比较①、②可知, ( 2 ? x) ? 2 y = ( 2 ? y ) ? 2 x 当且仅当 ① ②

2[2 2 + {x}] + [2{ y}] = 2[2 2 + { y}] + [2{x}] .
由于 [2{x}], [2{ y}] ? {0, 1} ,而 2[2 2 + {x}] 与 2[2 2 + { y}] 均是偶数,故上式成立的充分必要条件是

2[2 2 + {x}] = 2[2 2 + { y}] ,且 [2{x}] = [2{ y}] .



若 {x}, { y} ? [0, 3 - 2 2) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 0 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 2 . 若 {x}, { y} ? [3 - 2 2,

1 ) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 0 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 3 . 2

1 若 {x}, { y} ? [ , 1) ,则 [2{x}] = [2{ y}] = 1 , [2 2 + {x}] = [2 2 + { y}] = 3 . 2 1 1 当 {x}, { y} 取自 [0, 3 - 2 2) 、 [3 - 2 2, ) 、 [ , 1) 中不同的区间时,③不成立. 2 2 对 m ? {0, 1, 2}, n ? {0, 1} , 记 A (m, n) = {( x, y ) | ( x, y ) ? A, [ x] = m, [ y ] = n} , 则 根 据 上 述 讨 论 知 , A (m, n) 所对应的平面区域面积
?1 ? ? 1÷ 63 ÷ +? ? S (m, n) = ((3 - 2 2) - 0) + ? - (3 - 2 2)÷ 1- ÷ = - 22 2 , ? ? ÷ ÷ ? ? è2 ? è 2? 2 2 1 ? 63 ? - 22 2 ÷ 因此点集 A 所对应的平面区域面积为 ?? S (m, n) = 6 ? ? ÷ ? ÷ = 189 -132 2 . ? è2 ? m= 0 n=0 二(本题满分 40 分) 如图,在 ?ABC 中, AB ? AC , H 为 ?ABC 的垂心,M 为边 BC 的中点,点 S 在边 BC 上且满足 ?BHM ? ?CHS ,点 A 在直线 HS 上的射影为 P .证明: ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切. 作 DE / / BC 与 ?ABC 的外接圆交于点 E , 易知 D, H 证明: 联接 AH 并延长交 ?ABC 的外接圆于点 D , 关于 BC 对称,故 ?HCB ? ?BCD ? ?CBE ,因此 CH / / BE ,由此推出 EB ? AB ,故 AE 为 ?ABC 外接 结合 CH / / BE 知四边形 CHBE 为平行四边形, 所以 EH 过点 M .设 B?, C ? 圆的直径.又由 CH ? CD ? EB , 为 B, C 在 AC , BC 上的射影,延长 EH 交 ?ABC 的外接圆于点 Q ,
2 2 2

由 ?AQH ? ?AQE ? 90 ? ?APH 得, A, Q, B?, H , C ?, P 共圆,
?

以 AH 为直径.由 ?BHM ? ?CHS 有 ?B?HQ ? ?C ?HP , 所以 QB? ? PC ? (相等的圆周角所对弦长相等),故有 PQ / / B?C ? . 由 ?EAB ? ?B?C ?A ? 90? ? ?AEB ? ?ACB ? 90? 得, AE ? B?C ? , 所以 AE ? PQ ,结合 AQ ? QE 有 ?AQP ? ?AEQ ,由此推出 ?SDH ? ?SHD ? ?AHP ? ?AQP ? ?AEQ ? ?ADQ ? ?QDH , 所以点 Q, S , D 共线,由 ?QPS ? ?QPH ? ?QAH

? ?QAD ? ?QED ? ?QMS 得, P, Q, S , M 四点共圆 ? . 过点 Q 作 ?ABC 外接圆的切线,由 ?TQS ? ?TQD ? ?QED ? ?QMS 知, TQ 也是圆 ? 的切线,故 ?MPS 的外接圆与 ?ABC 的外接圆相切,证毕.

三(本题满分 50 分) 整数 a, b, c, d 满足 ad ? bc ? 1 .求 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? cd ? ac ? bd ? bc 的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 ? a, b, c, d ? 解:设原式 ? f ? a, b, c, d ? ,易知: f ? a, b, c, d ? ?

1? 2 2 2 2 a ? b ? ? ? c ? d ? ? ? a ? c ? ? ? b ? d ? ? ? bc . ? ? 2? (1) bc ? 0 ,则 ad ? 1 ? bc ? 0 ,故 b、c 同号, a、d 同号.由于 f ? a, b, c, d ? ? f ? ?a, ?b, ?c, ?d ? ,故只须考 虑如下两种情况:(i) a, b, c, d ? 0 ; (ii) a, d ? 0 ; b, c ? 0 . 对于(i),由 a ? b ? 1 ? b , c ? d ? c ? 1 知:
2

?b ? c ? ?1 ? b ? c ? 2 . 1 2 2 f ? a, b, c, d ? ? ?? b ? 1? ? ? c ? 1? ? ? bc ? ? ? 2 2 对于(ii),由 a ? c ?? c ? 1 , b ? d ? b ? 1 知:
2 2 ?b ? c ? ? b ? c ? 1 ? 2 . 1 f ? a, b, c, d ? ? ?? c ? 1? ? ? b ? 1? ? ? bc ? ? 2? 2 (2) bc ? 0 .则 ad ? 1 ,所以 a ? d ? ?1 .若 b ? 0 ,则 1 1 2 2 2 2 f ? a, b, c, d ? ? ? a 2 ? ? c ? d ? ? ? a ? c ? ? d 2 ? ? 1 ? ?? c ? 1? ? ? c ? 1? ? ? 2 ,等号成立当且仅当 c ? 0 . ? ? 2? 2? 2

同理,若 c ? 0 ,则 f ? a, b, c, d ? ? 2 ,等号成立当且仅当 b ? 0 .

(3) bc ? 0 . 此 时 , 若 bc ? ?3 , 则 f ? a, b, c, d ? ? 3 . 若 bc ? ?2 , 则 f ? a, b, c, d ? ? 2 , 取 等 号 时 有

a ? ?b ? c ? ?d .但此时 b 2 ? 2 ,与 b 为整数矛盾!故等号取不到. 若 bc ? ?1 ,则 ad ? 0 , f ? a, b, c, d ? ? 1 ,取等号时有 a ? ?b ? c ? ?d .但 ad ? 0 , bc ? ?1 ,这不可能!
故 f ? a, b, c, d ? ? 2 ,取等号时, ? a ? b ? ? ? a ? c ? ? ? c ? d ? ? ? b ? d ? ? 2 .
2 2 2 2

由 bc ? ?1 知: b 2 ? c 2 ? 1 .由 ad ? 0 知, a, d 中必有 0 .若 a ? 0 ,则 b ? ?c ? d ,故 ? a, b, c, d ? ? ? 0,1, ?1,1? 或 ? 0, ?1,1, ?1? .同理,若 d ? 0 ,则 a ? ?b ? c , ? a, b, c, d ? ? ?1, ?1,1, 0 ? 或 ? ?1,1, ?1, 0 ? . 综上所述, f ? a, b, c, d ? 最小值为 2 ,取等号当且仅当 ? a, b, c, d ? 为

? 0,1, ?1,1? , ? 0, ?1,1, ?1? , ?1, ?1,1, 0 ? , ? ?1,1, ?1, 0? , ?1, 0, 0,1? , ? ?1, 0, 0, ?1? 之一.
四(本题满分 50 分) 设整数 n ? 2 , G ? ?0,1,?, n ? 1? , A, B ? G ,对 x ? G ,记 f AB ( x) 为满足 a ? b ? x(mod n) , a ? A , 证明:

b ? B 的数组 (a, b) 的个数,类似定义 f AA ( x) , f BB ( x) .

?f
x?G

2
AB

( x) ? ? f AA ( x) ? f BB ( x) .
x?G

证明:对 x ? G ,记 Ax ? {( s, t ) | s ? t ? x (mod n), s, t ? A} , Bx ? {( s, t ) | s ? t ? x (mod n), s, t ? B} ,

Cx ? {( s, t ) | s ? t ? x (mod n), s ? A, t ? B} ,
则由 f AA ( x), f BB ( x), f AB ( x) 的定义知, f AA ( x) ? Ax , f BB ( x) ? Bx , f AB ( x) ? Cx . 又记 Px ? {( s, t , u , v) | s ? t ? u ? v ? x (mod n), s, t ? A, u , v ? B} ,

Qx ? {( s, t , u, v) | s ? u ? t ? v ? x (mod n), s, t ? A, u , v ? B} ,
则 Px ? Ax ? Bx ? f AA ( x) ? f BB ( x) , Qx ? Cx ? Cx ? f AB ( x) .
2

考虑 S ? {( s, t , u , v ) | s ? t ? u ? v (mod n), s, t ? A, u , v ? B} 的元素个数 S . 一方面,由于 S ?
x?G

? P ,且其中各个 P 两两不交,故 S ? ? P ? ? f
x x x?G x x?G

AA

( x) ? f BB ( x) .
x?G



另一方面,注意到 S ? {( s, t , u , v ) | s ? u ? t ? v (mod n), s, t ? A, u , v ? B} ? 而其中各个 Qx 亦两两不交,因此 S ? 由①、②得,

?Q

x



?f
x?G

2 AB

( x) ? S

? Q ? ? f ( x) . ? ? f ( x) ? f ( x) .
x?G x x?G

2 AB



x?G

AA

BB


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