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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 小题分类补偿练4 文


补偿练 4
一、选择题

三角函数与三角恒等变换
(限时:40 分钟)

1 ? 2?π 1.已知 sin α +cos α = ,则 sin ? -α ?=( 3 ?4 ? A. 1 18 17 B. 18 8 C. 9

) 2 9

D.

1 解析 ∵s

in α +cos α = , 3 1 2 ∴(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 9

?π 1-cos? -2α π 8 ?2 ? 2? ∴sin 2α =- ,∴sin ? -α ?= 9 2 ?4 ?
答案 B

? ? ? 1-sin 2α
= 2

17 = . 18

2.已知函数 f (x)=2 2sin xcos x,为了得到函数 g(x)=sin 2x+cos 2x 的图象,只需要 将 y=f (x)的图象( ) π B.向左平移 个单位长度 4 π D.向左平移 个单位长度 8

π A.向右平移 个单位长度 4 π C.向右平移 个单位长度 8

解析 由于函数 f (x)=2 2sin xcos x= 2sin 2x,函数 g(x)=sin 2x+cos 2x= 2 π? π ? ? π? sin?2x+ ?= 2sin 2?x+ ?,故将 y=f (x)的图象向左平移 个单位长度,即可得到 4? 8? 8 ? ?

g(x)的图象.
答案 D 3.若函数 f (x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的部分图象如图所示, 则 f (x)的解析式可以为( π? ? A.f (x)=3sin?2x- ? 4? ? π? ? B.f (x)=3sin?2x+ ? 4? ? )

?1 3π ? C.f (x)=3sin? x- ? 4 ? ?2 ?1 3π ? D.f (x)=3sin? x+ ? 4 ? ?2

1

T 3π ? π ? 1 解析 由图象可知 A=3, = -?- ?=2π ? T=4π ? ω = . 2 2 ? 2? 2
π π π ? π ? 当 x=- 时,sin?- +φ ?=1? - +φ = +2kπ (k∈Z), 4 2 4 2 ? ? 3π ∴φ = +2kπ (k∈Z), 4

?1 3π ? ∴解析式可以为 f (x)=3sin? x+ ?. 4 ? ?2
答案 D 4.已知函数 f (x)=2sin x( 3cos x-sin x)+1, 若 f (x-φ )为偶函数, 则 φ 可以为( A. π 2 π B. 3 π C. 4 π D. 6 )

π? ? 2 解析 f (x)= 3sin 2x-2sin x+1= 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?,则 f (x-φ ) 6? ? π? π π kπ ? =2sin?2x-2φ + ?, ∵f(x-φ )为偶函数, ∴-2φ + =kπ + , k∈Z, ∴φ =- 6? 6 2 2 ? - π π ,k∈Z,结合各选项可知,φ 可以为 ,故选 B. 6 3

答案 B π? ? 5.已知函数 f (x)=tan?2x- ?,则下列说法错误的是( 3? ? π A.函数 f (x)的周期为 2 B.函数 f (x)的值域为 R )

?π ? C.点? ,0?是函数 f (x)的图象一个对称中心 ?6 ?
D.f ?

?2π ?<f ?3π ? ? ? 5 ? ? 5 ? ? ?

π 解析 由题设知,A:T= ,正确;B:y∈R,正确, 2

?π ? C:f ? ?=0,正确; ?6?
7π ?2π ? D:f ? ?=tan >0,f 15 ? 5 ? 答案 D 6.在△ABC 中内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 ) B.锐角三角形
2

?3π ?=tan13π <0,tan 7π >tan 13π ,错误. ? 5 ? 15 15 15 ? ?

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

解析 由 b=2ccos A,根据正弦定理得 sin B=2sin Ccos A,因为在三角形中, sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 代入上式可得: sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,即 sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0, 又-π <A-C<π , 所以 A-C=0, 即 A=C, 同理 A=B, 所以△ABC 的形状为等边三角形. 答案 C

? π ? 7.使奇函数 f (x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )在?- ,0?上为减函数的 θ 值为( ? 4 ?
π A.- 3 π B.- 6 5π C. 6 2π D. 3

)

π? ? 解析 由已知得:f (x)=2sin?2x+θ + ?, 3? ? 由于函数为奇函数, π 故有 θ + =kπ ,k∈Z, 3 π 即 θ =kπ - (k∈Z),可淘汰 B、C 选项, 3 然后分别将 A 和 D 选项代入检验, 2π 易知当 θ = 时, 3

? ? f (x)=-2sin 2x 其在区间?- ,0?上递减. ?
π 4

?

答案 D 3cos A a 2 2 8.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 = ,且 a -c =2b,则 cos C c

b=(
A.1

) B.2 C.3 D.4
2 2 2

3cos A a a +b -c 解析 在△ABC 中,由 = 得 acos C=3ccos A,由余弦定理有 cos C= = cos C c 2ab 3

b2+c2-a2 2 2 2 2 2 2 ,化简并整理得 2(a -c )=b .又由已知 a -c =2b,∴4b=b ,解得 b=4 或 2ab

b=0(舍).
答案 D π? 4π ? 9.设 ω >0, 函数 y=sin?ω x+ ?的图象向右平移 个单位长度后与原图象重合, 则ω 的 3? 3 ? 最小值为( )
3

A.

2 3

4 B. 3

3 C. 2

D.3

解析

π? 4π 4π ? ∵函数 y = sin ?ω x+ ? 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,∴ = 3 3 3 ? ?



2π 3 ,n∈Z,∴ω =n× ,n∈Z, ω 2

3 又 ω >0,故其最小值是 . 2 答案 C π? ? 10.已知函数 f (x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?在一个周期内的图象如图所示. 2? ? 若方程 f(x)=m 在区间[0,π ]上有两个不同的实数解 x1,x2,则 x1+x2 的值为( )

A.

π 3

2 B. π 3

4 C. π 3

D.

π 4 或 π 3 3

解析 要使方程 f (x)=m 在区间[0,π ]上有两个不同的实数解.只需函数 y=f (x)与函 π 数 y=m 的图象在区间[0,π ]上有两个不同的交点,由图象知,两个交点关于直线 x= 6 2π π π 2π 4π 或关于 x= 对称,因此 x1+x2=2× = 或 x1+x2=2× = . 3 6 3 3 3 答案 D π? ? 11.设函数 f (x)= 3sin(2x+φ )+cos(2x+φ )?|φ |< ?,且其图象关于直线 x=0 对称, 2? ? 则( )

? π? A.y=f (x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f (x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数 2? ?
C.y=f (x)的最小正周期为 D.y=f (x)的最小正周期为 π ? π? ,且在?0, ?上为增函数 4? 2 ? π ? π? ,且在?0, ?上为减函数 4? 2 ?

π? ? 解析 f (x)= 3sin(2x+φ )+cos(2x+φ )=2sin?2x+φ + ?,∵函数图象关于直线 6? ?

x=0 对称,
4

∴函数 f (x)为偶函数, π ∴φ = ,∴f (x)=2cos 2x, 3 2π π ∴T= =π ,∵0<x< ,∴0<2x<π , 2 2

? π? ∴函数 f (x)在?0, ?上为减函数. 2? ?
答案 B π? ? 12.已知函数 f (x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的最小正周期是 π ,若其图象向右平 2? ? 移 π 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 y=f (x)的图象( 3 )

?π ? A.关于点? ,0?对称 ?12 ?
π B.关于直线 x= 对称 12 C.关于点?

?5π ,0?对称 ? ? 12 ?

5π D.关于直线 x= 对称 12 2π 解析 由题意可得 =π ,解得 ω =2, ω π 故函数 f (x)=sin(2x+φ ),其图象向右平移 个单位后得到的图象对应的函数为 y= 3 2π π π ? ? π? ? ? ? sin?2?x- ?+φ ?=sin?2x- +φ ?是奇函数, 又|φ |< , 故 φ =- , 故函数 f (x) 3? 3 2 3 ? ? ? ? ? π? π? 5π π ? ? =sin?2x- ?,故当 x= 时,函数 f (x)=sin =1,故函数 f (x)=sin?2x- ?关 3? 3? 12 2 ? ? 5π 于直线 x= 对称, 12 答案 D 二、填空题 24 π ?π ? 13.已知 sin 2α = ,0<α < ,则 2cos? -α ?的值等于________. 25 2 ?4 ? 解析 ∵(sin α +cos α ) =sin α +cos α +2sin α cos α 24 49 π =1+sin 2α =1+ = ,0<α < , 25 25 2 7 ?π ? ∴sin α +cos α = ,∴ 2cos? -α ?= 5 ?4 ?
5
2 2 2

2?

7 2 ? 2 ? cos α + sin α ?=cos α +sin α = . 5 2 ?2 ? 7 5

答案

π 14.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 B=A+ ,b=2a,则 B=________. 3 解析 ∵b=2a, π ? π? ∴sin B=2sin A=2sin?B- ?=sin B- 3cos B? cos B=0,∴B= . 3 2 ? ? 答案 π 2

15.已知函数 f (x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >

? π? 0)的部分图象如图所示.若 f (α )=1,α ∈?0, ?,则 sin 2α 3? ?
=________.

T 7π π π 解析 由函数图象知: A=3, = - = ,所以 T=π , 则 ω =2; 故 f (x)=3sin(2x 4 12 3 4
+φ ),又过?

?π ,0?,解得 φ =π , ? 3 ?3 ?
π π π 1

? ? ? ? ? ? f (x)=3sin?2x+ ?,因为 f (α )=1,即 3sin?2α + ?=1,得 sin?2α + ?= , 3? 3? 3? 3 ? ? ? ? π? ? 2π ? ∵α ∈?0, ?,∴2α ∈?0, ?, 3? 3 ? ? ?
π? π ?π 2 2 ? ? ∴2α + ∈? ,π ?,故 cos?2α + ?=- , 3? 3 ?3 3 ? ? π? π? ?? 则 sin 2α =sin??2α + ?- ? 3? 3? ?? π? π? π π ? ? =sin?2α + ?cos -cos?2α + ?sin 3 3 3 3 ? ? ? ? = 1+2 6 . 6 1+2 6 6

答案

π π 2π 16.设函数 f (x)=3sin (ω x+φ )(ω >0,- <φ < )的图象关于直线 x= 对称,它 2 2 3 的周期是 π ,则下列说法正确的是______.(填序号)

? 3? ①f (x)的图象过点?0, ?; ? 2?
6

?π 2π ? ②f (x)在? , ?上是减函数; ?12 3 ?
③f (x)的一个对称中心是?

?5π ,0?; ? ? 12 ?

④将 f (x)的图象向右平移|φ |个单位得到函数 y=3sin ω x 的图象. 解析 ∵周期为 π , ∴ 2π =π ? ω =2, ω

?2 ? ? 4π + φ ? , ∴f (x)=3sin(2x+φ ),f ? π ?=3sin? ? ?3 ? ? 3 ?
则 sin?

?4π +φ ?=1 或-1, ? ? 3 ?

4π ? π π? ?5π 11 ? ∵φ ∈?- , ?,∴ +φ ∈? , π ?, 6 ? 3 ? 2 2? ? 6 ∴ 4π 3π π +φ = ? φ = , 3 2 6

π? ? ∴f (x)=3sin?2x+ ?. 6? ? 3 ①:令 x=0? f (x)= ,正确. 2 π π 3π π 2π π ②: 令 2kπ + <2x+ <2kπ + , k∈Z? kπ + <x<kπ + , k∈Z.令 k=0? 2 6 2 6 3 6 2π <x< , 3

?π 2 ? ?π π ? 即 f (x)在? , π ?上单调递减,而在? , ?上单调递增,错误. 6 3 ? ? ?12 6 ?
5π ③:令 x= ? f (x)=3sin π =0,正确. 12 π ④:应平移 个单位,错误. 12 答案 ①③

7


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