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高中数学必修1(人教A版)第一章集合与函数概念


高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示

一、学习任务 1. 理解函数的概念;了解构成函数的要素(定义域、值域、对应法则),会求一些简单函数的 定义域和值域;了解映射的概念. 2. 理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法),会选择恰当的方法表示简单情境中 的函数.了解简单的分段函数

,能写出简单情境中的分段函数,并能求出给定自变量所对应 的函数值,会画函数的图象(不要求根据函数值求自变量的范围).

二、知识清单
函数的相关概念 函数的定义域的概念与求法 分段函数 函数的表示方法 函数的值域的概念与求法 复合函数 映射 函数的解析式的概念与求法

三、知识讲解
1.函数的相关概念 描述: 函数的概念 设 A ,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应,那么就称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function).记作:

y = f (x), x ∈ A.
其中, x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集 A )叫做这个函数的定义域. y 量,与 x 的值相对应的 y 值叫做函数在 x 处的函数值,所有函数值构成的集合 叫做因变

{y | y = f (x), x ∈ A}
叫做这个函数的值域. 相同函数的概念 如果两个函数的自变量取值集合相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数为相同函 数.相同函数的图象是一致的,图象一致的函数必然是相同函数. 连续数集的区间表示 研究函数时常用到区间的概念.设 a ,b 是两个实数,而且 a < b ,我们规定: ① 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a, b] ;

( a, b)

② 满足不等式 a < x < b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a, b) ; ③ 满足不等式 a ? x < b 的实数 x 的集合以及满足不等式 a < x ? b 的实数 x 的集合都叫 做半开半闭区间,分别表示为 [a, b) 和 (a, b] . 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点. 实数集的区间表示 实数集 R 可以用区间表示为 (?∞, +∞) ,“ ∞ ”读作“无穷大”.我们可以把满足 x ? a , x > a , x ? b , x < b 的实数 x 的集合分别表示为 [a, +∞) , (a, +∞) , (?∞, b] , (?∞, b) . 例题: 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数? (1)A = {(x, y) | x, y ∈ R},B = R,对任意的 (x, y) ∈ A,(x, y) → x + y; (2)A = N ,B = R,对应法则 f : y = ±√x; (3)A = R,B = R,对应法则 f : y = 解:(1)因为 A 不是数集,所以不是函数. (2)对于 A 中的元素 x = 4,y = ±√4 = ±2,即在对应法则 f 下,在 B 中有两个元素与 之对应,因而不能构成函数. (3)A = R,B = R,对于 A 中的元素 x = 0 在对应法则 f 下,在 B 中没有元素与之对 应,因而不能构成函数. 设 M = {x | 0 ? x ? 2},N = {y | 0 ? y ? 2},给出下面四个图形,其中能表示从集合 M 到 集合 N 的函数关系的有( )

1 . x2

A.0 个 B. 1 个 C.2 个 D.3 个 解:B 由函数的定义知,M 中任一元素在 N 中都有唯一的元素与之对应,① 不是,因为集合 M 中 1 < x ? 2 时,在 N 中无元素与之对应;③ 中的 x = 2 对应 y = 3 ? N ,所以 ③不是;④ 中当 x = 1 时,在 N 中有两个元素与之对应,所以 ④ 不是.由排除法,只有 ② 是. 已知 f (x) = 3x 2 ? 5x + 2 ,求 f (3) ,f (?√2 ) ,f (a),f (a + 1)的值. 解:f (3) = 3 × 3 2 ? 5 × 3 + 2 = 14. f (?√2 ) = 3 × (?√2 )2 ? 5 × (?√2 ) + 2 = 8 + 5√2. f (a) = 3 ? a2 ? 5 ? a + 2 = 3a2 ? 5a + 2. f (a + 1) = 3 ? (a + 1)2 ? 5 ? (a + 1) + 2 = 3a2 + a. 下列各组函数表示相同函数的是( A.f (x) = { x, )

x > 0 与 g(x) = |x| x<0 2x2 + x B.f (x) = 2x + 1 与 g(x) = x ? ?? ? ? ? ? C.f (x) = |x 2 ? 1| 与 g(t) = √(t 2 ? 1)2 ? ? ( )=√ ?x,

? ? D.f (x) = √x 2 与 g(x) = x



解:C A.f (x) 的定义域是 (?∞, 0) ∪ (0, +∞),g(x) 的定义域是 R,定义域不同. B.f (x) 的定义域是 R,g(x) 的定义域 {x|x ≠ 0},定义域不同. C. f (x) = |x 2 ? 1|,g(t) = |t 2 ? 1|,虽然表示自变量的字母不同,但定义域与对应关系相同. D.f (x) = |x|,g(x) = x ,对应关系不相同. 将下列集合用区间表示出来,并在数轴上表示. (1){x | x ? 3} ;(2){x | 2 ? x ? 8 且 x ≠ 5}. 解:(1){x | x ? 3} 用区间表示为 [3, +∞).数轴表示为 (2){x | 2 ? x ? 8 且 x ≠ 5} 用区间表示为 [2, 5) ∪ (5, 8].数轴表示为

2.函数的表示方法 描述: 函数的表示方法有三种: 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系. 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 例题: 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成此项任务的人数 x 之间适合关系式 t = ax +

x = 2 时,t = 100 ;当 x = 14 时,t = 28 ,且参加此项任务的人数不能超过 20 人. (1)写出函数 t 的解析式;
(2)用列表法表示此函数; (3)画出函数 t 的图象. 解:(1)由题设条件知:当 x = 2 时,t = 100 ,当 x = 14 时,t = 28 ,得方程组

b ,当 x

? ? 2a + b = 100, 196 2 解此方程组得 { a = 1, 所以用解析法将函数 t 表示为 t = x + ,又 ? b x b = 196. ? ? 14a + = 28, 14 因为 x ? 20,x 为正整数,所以函数的定义域是 {x | 0 < x ? 20, x ∈ N ? }. (2)x = 1,2 ,3 ,?,20,共取 20 个值,用列表法将函数 t 表示为: x t x t 1 197 11 28.8 2 3 100 68.3 12 13 28.3 28.1 4 53 14 28 5 6 44.2 38.7 15 16 28.1 28.25 7 35 17 28.5 8 9 32.5 30.8 18 19 28.9 29.3 10 29.6 20 29.8

注:表中的部分数据是近似值. (3)函数 t 的图象是由 20 个点组成的一个点列.用图象法将函数 t 表示为:

3.映射 描述: 设 A 、 B 是两个非空集合,如果存在一个对应法则 f ,使得对 A 中的每个元素 a ,按对 应法则 f ,在 B 中有唯一确定的元素 b 与之对应,则称 f 为从 A 到 B 的映 射(mapping),记作 f : A → B .其中, b 称为元素 a 在映射 f 下的象,记作 b = f (a) ; a 称为 b 关于映射 f 的原象.集合 B 中所有元素的象的集合称为映射 f 的值域,记作 f (A ) . 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都有 且只有一个原象,那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并称这个映射叫 做从集合 A 到集合 B 的一一映射. 例题: 设 M = {1, 2, 3},N = {e, h, g} ,如下选项是从 M 到 N 的四种对应方式,其中是从 M 到 ) N 的映射的是(

解:C 紧扣映射定义,M 中每一个元素在 N 中都有唯一的元素与之对应,所以 M 中元素无剩余, N 中元素可以有剩余. 已知集合 A = B = R, x ∈ A, y ∈ B ,f : x → y = ax + b,若 8 和 14 的原象分别是 1 和 ) 3 ,则 5 在 f 作用下的象为( A.20 解:A 由题可得 { a + b = 8, B.30 C.

27 2

D.28

3a + b = 14.

,解得 a = 3 ,b = 5 ,故 y = 3x + 5 ,当 x = 5 时,y = 20 .

给出下列四个对应关系,回答问题. ① A = N ? ,B = Z ,f : x → y = 2x ? 3; ② A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,B = {y | y ∈ N ? , y ? 5},f : x → y = |x ? 1| ; ③ A = {x | x ? 2},B = {y | y = x2 ? 4x + 3},f : x → y = x ? 3 ; ④ A = N ? ,B = {y ∈ N ? | y = 2x, x ∈ N ? },f : x → y = 2x ? 1. (i)上述四个对应关系:其中是一一映射的是( ) A.① B.② C.③ D.④

(ii)其中是函数的有______个 解:(i)C (ii)2 (i)在 ① 中,对 x ∈ A ,在 f 作用下 B 中都有唯一的象,但 B 中元素只有一部分在 A 中有原象,从而不是一一映射;在 ② 中,当 x = 1 时,y = 0 ? B,所以不是映射;在 ③ 中,A = {x | x ≥ 2},B = {y | y = x2 ? 4x + 3} = {y | y = (x ? 2)2 ? 1} = {y | y ? ?1} ,对 于 A 中任一元素在 B 中有唯一的象与之对应,反之对于 B 中任一元素,在 A 中也有唯一元 素与之对应,所以是一一映射;④ 显然不是一一映射,(ii)①③ 是函数.

4.函数的定义域的概念与求法 描述: 函数 y = f (x) ,x ∈ A 中自变量 x 的取值范围 A 称为函数的定义域(domain).在不加说明 时函数的定义域是使解析式或实际模型有意义的自变量的取值范围. 例题: 求下列函数的定义域. ? ? ? + x; (1)f (x) = √? x? (? x? ? 1) √ (2)f (x) =

3 (3)f (x) = √ x.

(x + 1)0 ; ? ? ? ? √? |x |? ? x

解:(1)由题意得,{

{x | x ? 1} ∪ {0}.

x(x ? 1) ? 0, 即 x ? 0 或 x ? 1, 所以函数的定义域为 { x ? 0, x ? 0, x + 1 ≠ 0, 即 x ≠ ?1 且 x < 0.所以函数的定义 |x| ? x > 0,

(2)由题意得,因为 0 0 无意义,所以 { 域为 {x | x < 0且x ≠ ?1}. (3)定义域是 {x | x ∈ R} .

(1)已知 f (x) 的定义域是 (1, 2),求 f (2x + 1) 的定义域; (2)已知 f (2x + 1) 的定义域是 (1, 2),求 f (x) 的定义域. 解:(1)因为 f (x) 的定义域是 (1, 2),所以在 f 作用下的自变量都必须在 (1, 2) 内才能使解

1 1 ,所以 f (x) 的定义域是 (0, ) ; 2 2 (2)因为 f (2x + 1) 的定义域是 (1, 2),即 1 < x < 2 ,所以 3 < 2x + 1 < 5,所以 f (x) 的 定义域是 (3, 5).
析式有意义,所以 1 < 2x + 1 < 2,解得 0 < x <

已知函数 y = √mx 2 ? 6mx + m + 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. 解:当 m = 0 时, y = √8 ,其定义域为 R . ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 当 m ≠ 0 时,由定义域为 R 可知,√mx2 ? 6mx + m + 8 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则有

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

{

m > 0, Δ = (?6m)2 ? 4m(m + 8) ? 0,

解得0 < m ? 1. 综上所述,m 的取值范围是 m ∈ [0, 1] .

5.函数的值域的概念与求法

描述: 函数 y = f (x) ,x ∈ A 中函数值的集合 {f (x) | x ∈ A} 称为函数的值域(range). 例题: 求下列函数的值域.

1 ,x ? 2. x 解:(1)因为 √x ≥ 0,所以 √x ? 1 ≥ ?1,所以函数的值域是 [?1, +∞) . (2)因为 x ≥ 1,所以 2x + 1 ≥ 3,所以函数的值域是 [3, +∞). 1 1 1 (3)因为 x ≥ 2,所以 0 < ≤ ,所以函数的值域是 (0, ] . x 2 2
(1)y = √x ? 1 ;(2)y = 2x + 1,x ? 1;(3)y = 求下列函数的值域.

1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;(3)y = √?x2 + 4x + 5. + 4x + 5 解:(1)因为 y = ?x 2 + 4x + 5 = ?(x ? 2)2 + 9 ,所以 y ≤ 9,所以函数的值域是 (?∞, 9]. 1 1 1 (2)由(1)得 t = ?x 2 + 4x + 5 ≤ 9 ,所以 <0 或 ≥ ,所以函数的值域是 t t 9 1 (?∞, 0) ∪ [ , +∞). 9 (3)由(1)得 t = ?x 2 + 4x + 5 ≤ 9 ,所以 0 ≤ √t ≤ 3 ,所以函数的值域是 [0, 3] .
(1)y = ?x 2 + 4x + 5;(2)y =

?x2

求下列函数的值域 .

2x + 3 1 ? x2 ;(2)y = . x+1 1 + x2 2x + 3 1 1 解:(1)(分离常数)y = ,因为 =2+ ≠ 0 ,所以 y ≠ 2,即值域是 x+1 x+1 x+1 (?∞, 2) ∪ (2, +∞). 1 ? x2 2 (2)(分离常数)y = ,又函数的定义域是 R,所以 1 + x 2 ≥ 1,所 = ?1 + 1 + x2 1 + x2 2 以 0< ≤ 2 ,所以函数的值域是 y ∈ (?1, 1]. 2 x +1
(1)y =

? ? 求函数 y = x ? √? 2? x? ? 1 的值域.

? ? 解:(换元法)设 t = √? 2? x? ? 1(x ≥

1 ),则 2 x= 1 + t2 (t ≥ 0), 2

所以

y=
因为 y =

1 1 t2 + 1 ? t = t2 ? t + (t ≥ 0), 2 2 2

y min

1 2 1 的图象是抛物线,且对称轴是 t = 1 ,且开口向上,当 t = 1 时, t ?t+ 2 2 = 0 ,所以函数的值域是 [0, +∞).

6.函数的解析式的概念与求法 描述: 函数 y = f (x) 中表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应关系的数学表达式称为函数的解析式.

f (x) =

2

?1

例题: 已知函数 f (x) = x 2 ? 1,求 f (2x + 1) 的解析式. 解:(代入法)f (2x + 1) = (2x + 1)2 ? 1 = 4x2 + 4x. 已知 f (√x ? 1) = x + 2√x ,求 f (x) 的解析式. 解:(配凑法)因为 f (√x ? 1) = (√x ? 1)2 + 4(√x ? 1) + 3,又 √x ? 1 ≥ ?1,所以 f (x) = x2 + 4x + 3 ,所以 f (x) 的解析式是 f (x) = x2 + 4x + 3(x ≥ ?1). (换元法)令 t = √x ? 1 ,则 t ? ?1,且 √x = t + 1 ,所以 f (t) = (t + 1)2 + 2(t + 1) = t 2 + 4t + 3,故所求的函数为 f (x) = x2 + 4x + 3(x ≥ ?1). 已知 f (x) 是一次函数,且 f [f (x)] = 4x + 3 ,求 f (x) 的解析式. 解:(待定系数法)设 f (x) = ax + b ,则f [f (x)] = a(ax + b) + b = a2 x + ab + b = 4x + 3,
2 所以 { a = 4,

ab + b = 3, f (x) = ?2x ? 3.
已知 f (x) + 2f (

解得 { a = 2, 或 { a = ?2, 故所求的函数为 f (x) = 2x + 1 或

b = 1,

b = ?3,

1 ) = x(x ≠ 0),求 f (x) 的解析式. x 1 1 1 解:(解方程(组)法)令 t = ,则 f ( ) + 2f (t) = ,令 t = x,则 x t t ? 1 ? ? f (t) + 2f ( ) = t, 1 1 2 t t 消去 f ( ) 得 f (t) = f (t) + 2f ( ) = t.由 ? ? (t ≠ 0). t 1 1 t 3t 3 ? ? ? f ( ) + 2f (t) = . ? t t 2 x 因此,函数的解析式为 f (x) = ? (x ≠ 0). 3x 3

7.分段函数 描述: 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数称为分段函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域
是各段值域的并集.

例题:

x ≤ ?2, ?2 < x < 2, ? 2x ? 1, x ≥ 2. 5 (1)求 f (?5),f (?√3 ),f (f (? )) 的值; 2 (2)若 f (a) = 3,求实数 a 的值; (3)若 f (m) > m,求实数 m 的取值范围.
已知函数 f (x) = ? x 2 + 2x, 解:(1)由 ?5 ∈ (?∞, ?2],?√3 ∈ (?2, 2),?

? x + 1,

5 ∈ (?∞, ?2],知 2

f (?5) = ?5 + 1 = ?4, f (?√3 ) = (?√3 )2 + 2 × (?√3 ) = 3 ? 2√3 , f (f (?

5 3 3 9 3 3 2 )) = f (? ) = (? ) + 2 × (? ) = ? 3 = ? . 2 2 2 4 4 2

(2)①当 a ? ?2 时,f (a) = a + 1,所以 a + 1 = 3,所以 a = 2 > ?2 不合题意,舍去. ②当 ?2 < a < 2 时,a2 + 2a = 3 ,即 a2 + 2a ? 3 = 0,所以 a = 1 或 a = 3.因为

1 ∈ (?2, 2) ?3 ? (?2, 2)

1 ∈ (?2, 2),?3 ? (?2, 2),所以 a = 1 符合题意. ③当 a ? 2 时,2a ? 1 = 3,所以 a = 2 符合题意.综合 ①②③ 知,当 f (a) = 3 时,a = 1 或 a = 2. < m < 2, (3)分三种情况:{ m ≤ ?2, 或 { ?2 或 { m ≥ 2, m + 1 > m, 2m ? 1 > m. m 2 + 2m > m, 解得 m ? 2 或 { ?2 < m < 2, 或{ m ≥ 2, m < ?1或m > 0, m > 1. 即 m ≤ ?2 或 ?2 < m < ?1 或 0 < m < 2 或 m ≥ 2 ,所以 m < ?1 或 m > 0 . 综上所述,m 的取值范围是 (?∞, ?1) ∪ (0, +∞).
已知函数 f (x) = 1 +

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

|x| ? x (?2 < x ? 2) . 2

x?x =1 ; 2 ?x ? x 当 ?2 < x < 0 时,f (x) = 1 + = 1 ? x.所以 2
解:(1)当 0 ? x ? 2 时,f (x) = 1 +

f (x) = { 1, 1 ? x,
(2)函数图象如图所示:

0 ? x ? 2, ?2 < x < 0.

(3)由(2)知,f (x) 在 (?2, 2] 上的值域为 [1, 3). 如图所示,一动点 P 自边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发,沿正方形边界运动一 周,再回到 A 点,若点 P 运动的路程为 x,点 P 到顶点 A 的距离为 y ,求 A 、P 两点间 的距离 y 与点 P 运动的路程 x 之间的函数关系式.

解:①当点 P 在 AB 上,即 0 ≤ x ≤ 1 时,AP = x,即 y = x; ②当点 P 在 BC 上,即 1 < x ≤ 2 时,AB = 1,AB + BP = x,BP = x ? 1. 根据勾股定理 AP 2 = AB2 + BP 2 ,所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? y = AP = √1 + (x ? 1)2 = √x2 ? 2x + 2 ; AD = 1

③当点 P 在 CD 上,即 2 < x ≤ 3 时,AD = 1,DP = 3 ? x,根据勾股定理 AP 2 = AD2 + DP 2 ,所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? y = AP = √1 + (3 ? x)2 = √x2 ? 6x + 10;
④当点 P 在 AD 上,即 3 < x ≤ 4 时,有

y = AP = 4 ? x .
综上所求函数关系式为

x, ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? √ 2 ? 2x + 2 , y= ? x ? ? ? ? ? ?? ? ? ? √ 2 ? ? ? x ? 6x + 10, ? 4 ? x,

0 ≤ x ≤ 1, 1 < x ≤ 2, 2 < x ≤ 3, 3 < x ≤ 4.

8.复合函数 描述: 设 y = f (u) 的定义域为 D u ,函数 u = g(x) 的定义域为 D x ,值域为 M x ,且 Mx ? D u .那么对于 D x 内的任意一个 x 经过 u = g(x) 和 y = f (u) 有唯一确定的 y 值与 之对应,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成函数关系,记为 y = f (g(x)) ,这种函数称 为复合函数,其中 x 称为自变量,u 称为中间变量,y 称为因变量. 例题: 已知 f (x) = x 2 ,g(x) = x + 1 ,求:① f (g(x));② g(f (x)). 解: ① f (g(x)) = (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1; ② g(f (x)) = x 2 + 1.
3 若函数 f (x) = { x ,

A.14 解:B

B.16

2x,

x < 6 ,则 f (f (2)) 等于( x?6 C.12 D.10



f (2) = 2 3 = 8,f (8) = 2 × 8 = 16,所以 f (f (2)) = 16.
设 f , g 都是由 A 到 表1 映射 f 的对应法则

A 的映射,其对应法则如下表(从上到下):
原象 象

1 3

2 3 4 2

4 1

表2 映射

g

的对应法则 原象 象

1 4

2 3 3 1

4 2

则与 f [g (1)] 相同的是 A. g [f (1)] B. g [f (2)] 解:A

C. g [f (3)]

D. g [f (4)]

四、课后作业

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1. 设 f : A → B 是集合 A 到 B 的映射,下列说法正确的是 ( A.A 中每一个元素在 B 中必有象 B.B 中每一个元素在 A 中必有原象 C.B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的 D.B 是 A 中所在元素的象的集合
答案: A

)

2. 设 f (x) = |x ? 1| ? |x|,则 f (f ( )) = ( A.?
解析:

答案: D

1 2

1 2

)
C.

B.0

1 2

D.1

1 ∣1 ∣ f ( ) = ∣ ? 1∣ ? ∣ ∣ 2 2

1 ∣1∣ ∣ ∣ = 0,f [f ( )] = f (0) = 1. ∣2∣ 2 )
D.2x + 7

3. 设函数 f (x) = 2x + 3,g (x + 2) = f (x),则 g (x) 的表达式是 ( A.2x + 1
答案: B 解析: 因为

B.2x ? 1

C.2x ? 3

g (x + 2) = 2x + 3 = 2 (x + 2) ? 1,所以 g (x) = 2x ? 1 . )
D.[3, 4]

4. 函数 y = ?x 2 ? 2x + 3 (?5 ? x ? ?2) 的值域是 ( A.(?∞, 4]
答案: B

B.[?12, 3]

C.[?12, 4]

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