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高中数学 1.1.3导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2


1.1.3 导数的几何意义
教学目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导 数的几何意义,并会用导数的几何意义解题; 教学重点:曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义; 教学难点:导数的几何意义. 教学过程: 一.创设情景 (一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数 我们知道,导数表示函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,反映了函数 y=f(x)在 x=x0 附近 的变化情况,导数 f ? ( x 0 ) 的几何意义是什么呢? 二.新课讲授 (一)曲线的切线及切线的斜率:如图 3.1-2,当 Pn ( x n , f ( x n )) ( n ? 1, 2, 3, 4) 沿着曲线 f ( x ) 趋近于点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 时,割线 P Pn 的变化趋势是什么?

图 3.1-2 我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 P Pn 趋近于确 定的位置,这个确 定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题:⑴割线 P Pn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系? ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少?
专心 爱心 用心 -1-

容易知道, 割线 P Pn 的斜率是 k n ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) xn ? x0

,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时,k n 无限
? f ?( x 0 )

趋近于切线 PT 的斜率 k ,即 k ? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

说明: (1)设切线的倾斜角为 α ,那么当Δ x→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线 的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的 斜率的一种方法; ②切线 斜率的本质—函数在 x ? x 0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切 线,并不一定与曲线只有 一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. (二)导数的几何意义: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点处的切线的斜率, 即 f ? ( x 0 ) ? lim
f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
?x? 0

? k

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ② 求 出 函 数 在 点 x 0 处 的 变 化 率 f ? ( x 0 ) ? lim
( x 0 , f ( x 0 )) 的切线的斜率;
f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
?x? 0

? k

,得到曲线在点

③利用点斜式求切线方程. (二)导函数: 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ? ( x 0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ? ( x ) 或 y ? , 即: f ? ( x ) ? y ? ? lim
f (x ? ?x) ? f (x) ?x

?x? 0

注:在不致发生混淆时, 导函数也简称导数. (三)函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ? ( x 0 ) 、导函数 f ? ( x ) 、导数 之间的区别与联系。 1)函数在一点处的导数 f ? ( x 0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数
' 3)函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ) 就是导函数 f ? ( x ) 在 x ? x 0 处的函数值,这也是 求函数

在点 x 0 处的导数的方法之一。 三.典例分析 2 例 1:(1)求曲线 y=f(x)=x +1 在点 P(1,2)处的切线方程.
专心 爱心 用心 -2-

2 (2)求函数 y=3x 在点 (1 , 3) 处的导数. 解: (1) y ? | x ? 1 ? lim
[(1 ? ? x ) ? 1] ? (1 ? 1)
2 2

?x? 0

?x

? lim

2?x ? ?x ?x

2

?x? 0

? 2,

所以,所求切线 的斜率为 2,因此,所求的切线方程为 y ? 2 ? 2 ( x ? 1) 即 2 x ? y ? 0
3 x ? 3 ?1
2 2

(2)因为 y ? | x ? 1 ? lim

x?1

x ?1

? lim

3( x ? 1 )
2 2

x?1

x ?1

? lim 3( x ? 1) ? 6
x?1

所以,所求切线的斜率为 6,因此,所求的切线方程为 y ? 3 ? 6 ( x ? 1) 即 6 x ? y ? 3 ? 0 (2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ? 1 附近的平均变 化率,并求出在该点处的导数.
2

解:

?y ?x

?

? (?1 ? ?x)

2

? (?1 ? ?x) ? 2 ?x

? 3 ? ?x

f ? ( ? 1) ? lim

?y ?x

? x? 0

?

? (?1 ? ?x) ? (?1 ? ? x) ? 2
2

?x

? lim (3 ? ? x ) ? 3
? x? 0

例 2. (课本例 2)如图 3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h ( x ) ? ? 4 .9 x ? 6 .5 x ? 1 0 ,根据图像,请描述、比
2

较曲线 h ( t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解:我们用曲线 h ( t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 处的切线,刻画曲 线 h ( t ) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t ? t 0 时,曲线 h ( t ) 在 t 0 处的切线 l 0 平行于
x 轴,所 以,在 t ? t 0 附近曲线比较平坦,几

乎没有升降. (2) 当 t ? t1 时,曲线 h ( t ) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h ? ( t1 ) ? 0 ,所以,在 t ? t1 附近曲线下降, 即函数 h ( x ) ? ? 4 .9 x ? 6 .5 x ? 1 0 在 t ? t1 附近单调递减.
2

(3) 当 t ? t 2 时, 曲线 h ( t ) 在 t 2 处的切线 l 2 的斜率 h ? ( t 2 ) ? 0 , 所以, t ? t 2 附近曲线下降, 在 即函数 h ( x ) ? ? 4 .9 x ? 6 .5 x ? 1 0 在 t ? t 2 附近单调递减.
2

从图 3.1-3 可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l 2 的倾斜程度,这说明曲线在 t1 附近比在

专心

爱心

用心

-3-

t 2 附近下降的缓慢.

例 3. (课本例 3)如图 3.1-4,它表示人体血管中药物浓度 c ? f ( t ) (单位: m g / m L )随时间
t (单位: m in )变化的图象.根据图像,估计 t ? 0 .2 , 0 .4 , 0 .6 , 0 .8 时,血管中药物浓度的

瞬时变化率(精确到 0 .1 ) .

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度 f ( t ) 在此时刻的导数,从图像 上看,它表示曲线 f ( t ) 在此点处的切线的斜率. 如图 3.1-4,画出曲线上某点处的切 线,利用网格估计这条切线的斜率,可以得到此时刻药物 浓度瞬时变化率的近似值. 作 t ? 0 .8 处的切线,并在切线上去两点,如 (0 .7 , 0 .9 1) , (1 .0 , 0 .4 8) ,则它的斜率为:
k ? 0 .4 8 ? 0 .9 1 1 .0 ? 0 .7 ? ? 1 .4

所以

f ? (0 .8) ? ? 1 .4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
t

0.2
'

0.4 0

0.6 -0.7

0.8 -1.4

药物浓度瞬时变化率 f ( t ) 四.课堂练习 1.求曲线 y=f(x)=x 在点 (1 ,1) 处的切线; 2.求曲线 y ?
x 在点 ( 4 , 2 ) 处的切线.
3

0.4

五.回顾总结 1.曲线的切线及切线的斜率; 2 .导数的几何意义 六.布置作业

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-4-


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