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浙江省温州市平阳县鳌江中学2013届高三数学(理)一轮复习全能测试 专题六 不等式


平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 专题六 不等式
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ; 球的表面积公式: S ? 4?R (其中 R 表示球的半径) ;
2

4 ? R 3 (其中 R 表示球的半径) ; 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) ; 3 柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高) ; 1 台体的体积公式: V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
球的体积公式: V ? (其中 S1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高) .

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求)

A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x
1、若集合 A. C.

x?? ? ?} x ,则 A ? B ?

{x ??? x ? ?} {x ? ? x ? ?}

B.

{x ? ? x ??}
D.

{x ? ? x ??}

2、不等式 | x | (1 ? 3x) ? 0 的解集是 A. (?? , )
b a

1 3

B. (?? ,0) ? (0, ) C. ( ,?? )

1 3

1 3

D. (0,

1 ) 3

1 ?1? ?1? 3、设 ? ? ? ? ? ? ? 1 ,那么( 2 ? 2? ? 2?
A. a ? a ? b
a b a a a

) C。 a ? a ? b
b a

B. a ? b ? a

b

a

D. a ? b ? a
b a

a

4、若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是 ( A.



1 1 1 1 ? B. ? ? 1 ab 2 a b

C. ab ? 2 D.

1 1 ? 2 8 a ?b
2

5、设变量 x,y 满足约束条件

?y ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

,则 z=2x+y 的最大值为 ( B. sin x ? D. )

A.—2 B.4 C.6 D.8 6、 (2012 福建理)下列不等式一定成立的是 A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0)
2

1 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

C. x2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

2 7、已知圆 x ? ? y ? 1? ? 2 上任一点 P ? x, y ? ,其坐标均使得不等式 x ? y ? m ≥0 恒成立,

(A) ?1, ?? ? (B) ? ??,1? (C) ? ?3, ?? ? (D) ? ??, ?3? 8、对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上确
2 2

则实数 m 的取值范围是()

界,若 a, b ? R? , 且a ? b ? 1 ,则 ? A.

9 2

B. ?

9 2

1 2 ? 的上确界为( 2a b 1 C. 4

) D. ?4

9、定义 max ?a, b? ? ?

?a ?b

?x ?2 a?b ? ,设实数 x, y 满足约束条件 ? , a?b ? ?y ?2
( D. ?? 7,8? ) B. ?? 6,8? C. ?? 6,10?

z ? max ?4x ? y,3x ? y? ,则 z 的取值范围是
A. ?? 7,10?

2 10、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x . 若对任意的 x ?[t , t ? 2] ,

不等式 f ( x ? t ) ? 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 (

)

? ?) A. [ 2,

? ?) B. [2,

C. (0, 2]

D. [? 2, ?1] [ 2, 3]

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、不等式 | x |?

4 的解集是 x

12、不等式 x ? 2 x ? 3 ? a ? 2a ? 1 在 R 上的解集是 ? ,则实数 a 的取值范围是
2 2

? x, y ? 0 ? 13、 (2012 新课标理) 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为_______ ? x? y ?3 ?
14、规定记号“⊙”表示一种运算,定义 a⊙b= ab ? a ? b (a , b 为正实数) ,若 1⊙k<3, 则 k 的取值范围为_________ 15、 已知函数 y ? a x?1 ? 3(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点 A , 且点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,若 m ? 0, n ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 ______________ m n

a2 ? b2 16、已知 a ? b, ab ? 1, 则 a ? b 的最小值是____________.
17、 (2012 浙江理)设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x -ax-1)≥0,则 a=______________. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

18、 (本题满分 14 分)设有关于 x 的不等式 lg( x ? 3 ? x ? 7 ) ? a, (Ⅰ)当 a ? 1 时,解这个不 等式; (Ⅱ)当 a 为何值时,这个不等式的解集为 R .

19、 (本题满分 14 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN, 要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米, (1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2) 若|AN| ? [3, 4) (单位:米) ,则当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最大?并求出最大面积. N P

D

C

A

B

M

20、 (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已 a1 ? (1)证明:数列 { (2)设 bn ?

n ?1 Sn } 是等差数列,并求 Sn ; n

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1, ? 2 n , 1? 2

???

Sn ,求证: b1 ? b2 ? n3

? bn ? 1 .

21、 (本题满分 15 分) 函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 , 设 g ( x) ? 6ln x ? f ?( x)(其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数) ,若曲线 y ? g ( x) 在不同两点 A( x1 , g ( x1 )) 、 B( x2 , g ( x2 )) 处的切线互相平行, 且

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m 恒成立,求实数 m 的最大值. x1 ? x2

22、 (本题满分 15 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 , g ( x) ? ? ln x ? 1? e x ? x (其中 x

. (1)判断函数 f ( x) 在 (0, e] 上的单调性; e 为自然对数的底数) (2)是否存在实数 x0 ? (0,??) ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在, 求出 x 0 的值;若不存在,请说明理由. (3)若实数 m, n 满足 m ? 0, n ? 0 ,求证: n e ? m e
n m n n

平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D C C A B A 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 11、{x|0<x<2} 12、{a|-1<a<3} 13、 [?3,3] 14、0<k<1 15、9

3 16、 2 2 17、 a ? 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18、 (本题满分 14 分) (1)当 a ? 1 时,原不等式可化为 x ? 3 ? x ? 7 ? 10,

?? 2 x ? 4( x ? 3) ? ? x ? 3 ? x ? 7 ? ?10(?3 ? x ? 7) , ? 当 x ? ?3 时,由 ? 2 x ? 4 ? 10得x ? ?3; ? 2 x ? 4( x ? 7 ) ?
当 x ? 7 时,由 2 x ? 4 ? 10 得x ? 7, ? 原不等式的解集为 x x ? ?3或x ? 7 . (2)? x ? 3 ? x ? 7 ? ( x ? 3) ? ( x ? 7) ? 10, 对于任何 x ? R 都成立。

?

?

? lg( x ? 3 ? x ? 7 ) ? lg10 ? 1 对于任何 x ? R 都成立。 ?l g x ( ? 3 ? x ? 7 ) ? a 当且仅当
a ? 1 时对于任何 x ? R 都成立,? 当 a ? 1 时, lg( x ? 3 ? x ? 7 ) ? a 的解集为 R.

19、 (本题满分 14 分)解:设 AN 的长为 x 米(x >2) ∵

|DN| |DC| 3x ? ,∴|AM|= x?2 |AN| |AM|

3x2 ∴SAMPN=|AN|?|AM|= ------------------------------------- 4 分 x?2
(1)由 SAMPN > 32 得

3x2 > 32 , x?2

2 ∵x >2,∴ 3x ? 32 x ? 64 ? 0 ,即(3x-8) (x-8)> 0

∴2 ? x ?

8 或 x?8 3

即 AN 长的取值范围是 (2, )

8 3

(8,+?) ----------- 8 分

(2)令 y=

6 x( x ? 2) ? 3x 2 3( x x ? 4) 3x2 ? ,则 y′= 2 x?2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

-------------- 10 分

∵当 x ? [3, 4) ,y′< 0,∴函数 y=

3x2 在 [3, 4) 上为单调递减函数, x?2

∴当 x=3 时 y=

3x2 取得最大值,即 (S AMPN )max ? 27 (平方米) x?2

3? 3 ? 9米 3? 2 20、 . (本题满分 14 分)解: (1)由 Sn ? n2an ? n ? n ?1? ? n ? 2 ? 得:
此时|AN|=3 米,|AM|=

Sn ? n2 (Sn ? Sn?1 ) ? n ? n ?1? ,即 (n2 ?1)Sn ? n2 Sn?1 ? n ? n ?1? ,所以 n ?1 n Sn ? Sn ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1 1?1 S1 ? 1 1 n ?1 Sn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 { ………………………4 分 n
S1 ? a1 ? 1 n2 ,所以 Sn ? ,当 n ? 1 时,也成立。 ………………………8 分 2 n ?1

Sn 1 1 1 ? ? ? …………………11 分 3 n n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? b1 ? b2 ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1 ……………14 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
(2) bn ?

22 、( 本 题 满 分 15 分 ) 解 ( 1 ) ∵ f ( x) ? ∴ f ?( x) ? ?

a ? ln x ? 1 , x ? (0,??) , x

a 1 x?a ? ? 2 . ??1 分 x2 x x
??2 分

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 (0, e] 上单调递增;

②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e 上单调递增, ③若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e 上单调递减. (2)解:∵ g ( x) ? ? ln x ?1? e ? x , x ? (0,??) ,
x

?

??4 分

?

??5 分

ex ?1 ? x x ? ? ? ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ??6 分 g ( x) ? ? ln x ?1? e ? ? ln x ?1? ? e ? ? 1 x ?x ? ,
由(1)易知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 即 x0 ? (0,??) 时

1 ? ln x ? 1 在 (0,??) 上的最小值: f ( x) min ? f (1) ? 0 , x
??8 分

1
,x 0

? ln x0 ? 1 ? 0 .

又e

x0

?1 ? ? 0 ,∴ g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 . ? x0 ?

??9 分

曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解.故不存在.
n m n n (3)证明: n e ? m e ? (

??10分

n n n n m ) ? e n ? m ? n ln ? n ? m ? ln ? 1 ? m n m m

?

m n n 1 n m ? ln ? 1 ? 0 ,由(2)知 ? ln x ? 1 ? 0 ,令 x ? 得 ? ln ? 1 ? 0 .??15分 x m n n m m


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