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第3章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法


§ 3.2

立体几何中的向量方法 (一) —— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一 个法向量.

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证: 是平面 A1D

1F 的法向量. 证明

AE

知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1.

.

1

如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF= 90° ,AD= 3,EF=2. 求证:AE∥平面 DCF. 证明 如图所示,以点 C 为坐标原点,以 CB、CF 和 CD 所在直线分别作为 x 轴、y 轴 和 z 轴,建立空间直角坐标系 C—xyz.

知识点三 利用向量方法证明垂直关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1. 解

在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C⊥A1B. 求证:AC1⊥A1B.

2.平行关系的常用证法 → AB =λCD .证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直, 然后说明直 线在平面外,证面面平行可转化证两面的法向量平行. 3.垂直关系的常用证法
2

要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直. 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直. 要证面面垂直,可以转化为证明两个平面的法向量垂直.

一、选择题 1. 已知 A(3, 5, 2) , B (-1, 2, 1) , 把 AB 按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是( )

A.(-4,-3,0) B.(-4,-3,-1) C.(-2,-1,0) D.(-2,-2,0) 2.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为(2,-1,0),则平面 α 与平面 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 3. 从点 A(2, -1,7)沿向量 a=(8,9, -12)的方向取线段长 AB=34, 则 B 点的坐标为( ) A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31). 4.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( ) A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 15 B.x=3,y= 2 15 D.x=6,y= 2

答案 D 5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ) A.l∥α B.l⊥α C. D.l 与 α 斜交 答案 B 二、填空题 6.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量是________________. 7.已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e=(1,1,1)是 α 的法向量,M(x,y,z)是平面 α 内任 意一点,则 x,y,z 满足的关系式是________________. 8.若直线 a 和 b 是两条异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2,-3,-2),则 直线 a 和 b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________. 三、解答题 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

3

10.

如图所示,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中,AP=BQ=b (0<b<1),截 面 PQEF∥A′D,截面 PQGH∥AD′. (1)证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; (2)证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值,并求出这个值; 1 (3)若 b= ,求 D′E 与平面 PQEF 所成角的正弦值. 2

4


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