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2016年浙江省高中数学竞赛卷


2016 年浙江省高中数学竞赛卷
一、选择题(每题 6 分,共 48 分) 1.曲线 ( x ? 2 y ? a)( x2 ? y 2 ) ? 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 A. a ? 0
3





B. a ? 1

C. a ? ?1

/>D. a ? R ( D. ? )

2.函数 f ( x) ? 4sin x ? sin x ? 2(sin A. 2? B.

? 2

x x ? cos ) 2 的最小周期 2 2 2? C. 3

3.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 A 是过 F2 且倾斜角为 a 2 b2


? 的直线与双曲线的一个交点.若 ? F 则双曲线的离心率为 ( 1F 2 A 为等腰直角三角形, 4
A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C.

2 ?1 2

D. 2 ? 1

4.已知正三棱锥 S ? ABC , 底面是边长为 1 的正三角形, 侧棱长为 2 .若过直线 AB 的截面, 将正三棱锥的体积分成两个相等的部分, 则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 ( ) A.

15 10

B.

4 15 15

C.

15 15

D.

2 15 15
3a ? b ? 1 a ? 2b ? 2
( )

x 1 ? , 5.已知 a , b ? R , 函数 f ( x) ? ax ? b .若对任意 x ? [?1, 1] , 有 0 ? f( ) 则
的取值范围为 A. [?

1 , 0] 2

B. [?

4 , 0] 5

C. [ ?

1 2 , ] 2 7

D. [ ?

4 2 , ] 5 7

6. 已 知 向 量 OA , OB 垂 直 , 且 | O A? |

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? |O? B|

.2 若 4 t ? [0 , 1] , 则 ( D. 24 ) )

??? ? ???? ? ??? ? 5 ??? | t AB ? AO ? | | BO ? ? t ( BA 1 的最小值为 ) | 12
A. 2 193 7.设集合 M ? {( x , y) | A. 0 B. 26 C. 24 2

1 1 1 ? ? , x , y ? N *} , 则集合 M 中的元素个数为 ( x y 45
B. 1 C. 2 D. 3

8.记 [ x ] 为不超过 x 的最大正数,若集合 S ? {( x , y) | | [ x ? y] | ? | [ x ? y] | ? 1} ,则集合 S 所表示的平面区域的面积为 A. ( C. )

5 2

B. 3

9 2

D. 4

二、填空题(第 12 题 9 分,其余每题 7 分,共 51 分) 9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,若对任意实数 x ,有 f (x ?2) ?? f ( x) ,且当 x ? [0 , 1] 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (10 3) =. 10.已知数列 {a n } ,{bn } 满足: a1 ? ?1 , b1 ? 2 , an?1 ? ?bn , bn?1 ? 2an ? 3bn (n ? N * ) , 则 b2015 ? b2016 =. 11.设 a ? R ,方程 | | x ? a | ?a | ? 2 恰有三个不同的根,则 a =. 12.已知两个底面重合的正四面体 A ? OBC 和 D ? OBC ,M ,N 分别为 ? ADC 与 ? BDC 的重心.记 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,若点 P 满足 OP ? xa ? yb ? zc , MP ? 2PN , 则实数 x =, y =, z =. 13.在 ? ABC 中, ?B ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

?
4

, ?C ?

5? , AC ? 2 6 , AC 的中点为 D .若长度为 3 的线 12

段 PQ ( P 在 Q 的左侧)在直线 BC 上滑动,则 AP ? DQ 的最小值为=. 14.若关于 x , y 的方程组 ?

?sin x ? m sin 3 y ? 有实数解,则正实数 m 的取值范围为=. 3 ? ?cos x ? m cos y

15.已知 a , b , c 为互不相等的整数,则 4(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 的最小值为=.

三、解答题(第 16 题 15 分,第 17、18 题每题 18 分,共 51 分) 16.设函数 f ( x) ? x ? (k ? 5ak ? 3) x ? 7(a , k ? R) .已知对于任意的 k ?[0 , 2] , 若 x1 , x2
2 2

满足 x1 ?[k , k ? a] , x2 ?[k ? 2a , k ? 4a] ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求正实数 a 的最大值.

17.已知椭圆 C :

16 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,经过点 P (3 , ) ,离心率为 .过椭圆 C 的右焦 2 5 5 a b

点作斜率为 k 的直线 l ,交椭圆于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)若 k1 ? k2 ? 0 ,求实数 k 的值.

18.给定数列 {xn } , 证明: 存在唯一分解 xn ? yn ? zn , 其中数列 { yn } 非负, {zn } 单调不减, 并且 yn ( zn ? zn?1 ) ? 0 , z0 ? 0 .

四、附加题(每题 25 分,共 50 分) 19.设集合 A ? {x ? N * | x 的十进制表示中数码不含2 , 0 ,1, 6} .证明:

? x ? 3.
x? A

1

(注:

? x 表示集合 A 中的所有元素的倒数之和)
x? A

1

20.设正整数 n ? 2 , 对 2 ? n 格点链中的 2 n 个结点用红 ( R ) 、 黄 (Y ) 、 蓝 ( B ) 三种颜色染色, 左右端点中的三个结点已经染好色,如图所示.若对剩余的 2n ? 3 个结点,要求每个结点恰 染一种颜色,相邻结点异色,求不同的染色方法术.


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