2016年浙江省高中数学竞赛卷

2016 年浙江省高中数学竞赛卷
一、选择题（每题 6 分，共 48 分） 1.曲线 ( x ? 2 y ? a)( x2 ? y 2 ) ? 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 A. a ? 0
3

（

）

B. a ? 1

C. a ? ?1

/>D. a ? R （ D. ? ）

2.函数 f ( x) ? 4sin x ? sin x ? 2(sin A. 2? B.

? 2

x x ? cos ) 2 的最小周期 2 2 2? C. 3

3.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 A 是过 F2 且倾斜角为 a 2 b2
）

? 的直线与双曲线的一个交点.若 ? F 则双曲线的离心率为 （ 1F 2 A 为等腰直角三角形， 4
A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C.

2 ?1 2

D. 2 ? 1

4.已知正三棱锥 S ? ABC ， 底面是边长为 1 的正三角形， 侧棱长为 2 .若过直线 AB 的截面， 将正三棱锥的体积分成两个相等的部分， 则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为 （ ） A.

15 10

B.

4 15 15

C.

15 15

D.

2 15 15
3a ? b ? 1 a ? 2b ? 2
（ ）

x 1 ? ， 5.已知 a , b ? R ， 函数 f ( x) ? ax ? b .若对任意 x ? [?1, 1] ， 有 0 ? f( ) 则
的取值范围为 A. [?

1 , 0] 2

B. [?

4 , 0] 5

C. [ ?

1 2 , ] 2 7

D. [ ?

4 2 , ] 5 7

6. 已 知 向 量 OA ， OB 垂 直 ， 且 | O A? |

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? |O? B|

.2 若 4 t ? [0 , 1] ， 则 （ D. 24 ） ）

??? ? ???? ? ??? ? 5 ??? | t AB ? AO ? | | BO ? ? t ( BA 1 的最小值为 ) | 12
A. 2 193 7.设集合 M ? {( x , y) | A. 0 B. 26 C. 24 2

1 1 1 ? ? , x , y ? N *} ， 则集合 M 中的元素个数为 （ x y 45
B. 1 C. 2 D. 3

8.记 [ x ] 为不超过 x 的最大正数，若集合 S ? {( x , y) | | [ x ? y] | ? | [ x ? y] | ? 1} ，则集合 S 所表示的平面区域的面积为 A. （ C. ）

5 2

B. 3

9 2

D. 4

二、填空题（第 12 题 9 分，其余每题 7 分，共 51 分） 9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，若对任意实数 x ，有 f (x ?2) ?? f ( x) ，且当 x ? [0 , 1] 时， f ( x) ? 2 x ，则 f (10 3) =. 10.已知数列 {a n } ，{bn } 满足： a1 ? ?1 ， b1 ? 2 ， an?1 ? ?bn ， bn?1 ? 2an ? 3bn (n ? N * ) ， 则 b2015 ? b2016 =. 11.设 a ? R ，方程 | | x ? a | ?a | ? 2 恰有三个不同的根，则 a =. 12.已知两个底面重合的正四面体 A ? OBC 和 D ? OBC ，M ，N 分别为 ? ADC 与 ? BDC 的重心.记 OA ? a ， OB ? b ， OC ? c ，若点 P 满足 OP ? xa ? yb ? zc ， MP ? 2PN ， 则实数 x =， y =， z =. 13.在 ? ABC 中， ?B ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

?
4

， ?C ?

5? ， AC ? 2 6 ， AC 的中点为 D .若长度为 3 的线 12

段 PQ （ P 在 Q 的左侧）在直线 BC 上滑动，则 AP ? DQ 的最小值为=. 14.若关于 x , y 的方程组 ?

?sin x ? m sin 3 y ? 有实数解，则正实数 m 的取值范围为=. 3 ? ?cos x ? m cos y

15.已知 a , b , c 为互不相等的整数，则 4(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 的最小值为=.

三、解答题（第 16 题 15 分，第 17、18 题每题 18 分，共 51 分） 16.设函数 f ( x) ? x ? (k ? 5ak ? 3) x ? 7(a , k ? R) .已知对于任意的 k ?[0 , 2] ， 若 x1 , x2
2 2

满足 x1 ?[k , k ? a] , x2 ?[k ? 2a , k ? 4a] ，则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，求正实数 a 的最大值.

17.已知椭圆 C :

16 3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ，经过点 P (3 , ) ，离心率为 .过椭圆 C 的右焦 2 5 5 a b

点作斜率为 k 的直线 l ，交椭圆于 A ， B 两点，记 PA ， PB 的斜率为 k1 ， k2 . （1）求椭圆的标准方程； （2）若 k1 ? k2 ? 0 ，求实数 k 的值.

18.给定数列 {xn } ， 证明： 存在唯一分解 xn ? yn ? zn ， 其中数列 { yn } 非负， {zn } 单调不减， 并且 yn ( zn ? zn?1 ) ? 0 ， z0 ? 0 .

四、附加题（每题 25 分，共 50 分） 19.设集合 A ? {x ? N * | x 的十进制表示中数码不含2 ， 0 ,1, 6} .证明：

? x ? 3.
x? A

1

（注：

? x 表示集合 A 中的所有元素的倒数之和）
x? A

1

20.设正整数 n ? 2 ， 对 2 ? n 格点链中的 2 n 个结点用红 ( R ) 、 黄 (Y ) 、 蓝 ( B ) 三种颜色染色， 左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示.若对剩余的 2n ? 3 个结点，要求每个结点恰 染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法术.