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昆明市第一中学2012届高考第二轮考点专题复习教案 参数取值问题的题型与方法


第 30-34 课时: (Ⅰ)参数取值问题的探讨

参数取值问题的题型与方法

一、若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围 为所求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 则可将恒成立问题 转化成函数的最值问题求解。 例 1.已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5 ?

4sinx+ 5 a ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范 围。 分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,其中 x 的范围已知(x ? R) ,另一变量 a 的范围 即为所求,故可考虑将 a 及 x 分离。 解:原不等式即:4sinx+cos2x< 5 a ? 4 ? a+5 要使上式恒成立,只需 5 a ? 4 ? a+5 大于 4sinx+cos2x 的最大值,故上述问题转化成 求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x= ? 2sin2x+4sinx+1= ? 2(sinx ? 1)2+3 ? 3, ∴ 5 a ? 4 ? a+5>3 即 5 a ? 4 >a+2
?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 4 ? 上式等价于 ? 5 a ? 4 ? 0 或? ,解得 ? a<8. 5 ?5 a ? 4 ? 0 ? 2 5a ? 4 ? (a ? 2) ?

说明: 注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x, cos2x=1 ? 2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可 而 把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。 另解:a+cos2x<5 ? 4sinx+ 5 a ? 4 即 a+1 ? 2sin2x<5 ? 4sinx+ 5 a ? 4 ,令 sinx=t,则 t ? [ ? 1,1], 整理得 2t2 ? 4t+4 ? a+ 5 a ? 4 >0,( t ? [ ? 1,1])恒成立。 设 f(t)= 2t2 ? 4t+4 ? a+ 5 a ? 4 则二次函数的对称轴为 t=1, ? f(x)在[ ? 1,1]内单调递减。
?

只需 f(1)>0,即 5 a ? 4 >a ? 2.(下同)

例 2.已知函数 f(x)在定义域( ? ? ,1]上是减函数,问是否存在实数 k,使不等式 f(k ? sinx) ? f(k2 ? sin2x)对一切实数 x 恒成立?并说明理由。 分析: 由单调性与定义域, 原不等式等价于 k ? sinx≤k2 ? sin2x≤1 对于任意 x∈R 恒成立, 这又等价于
?k ? ? ?k ?
2

? 1 ? sin ? k ? 1 4

2

x ? ? ? ? (1 ) 1 2
1 4 1 2 9 4

2

? (sin x ?

) ? ? ? (2)
2

对于任意 x∈R 恒成立。

不等式(1)对任意 x∈R 恒成立的充要条件是 k2≤(1+sin2x)min=1,即 ? 1≤k≤1----------(3) 不等式(2)对任意 x∈R 恒成立的充要条件是 k2 ? k+ ≥[(sinx ? )2]max= ,

即 k≤ ? 1 或 k≥2,-----------(4) 由(3)(4)求交集,得 k= ? 1,故存在 k= ? 1 适合题设条件。 、 说明:抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。 例 3.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 取值范围.
x
2

9

?

y

2

4

? 1 顺次交于 A、B 两点,试求

AP PB



分析:本题中,绝大多数同学不难得到:

AP PB

=?

xA xB

,但从此后却一筹莫展, 问题的

根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所 求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施; 其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 思路 1: 从第一条想法入手,
AP PB

=?

xA xB

已经是一个关系式,但由于有两个变量

x A , x B ,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜

率 k. 问题就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆 方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) B = g(k) ,x

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式 由判别式得出 k 的取值范围 所求量的取值范围

解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP PB

? ?

1 5



当 l 与 x 轴不垂直时,设 A ? x 1 , y 1 ?, B ( x 2, y 2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭 圆方程,消去 y 得 ?9 k ? 4 ?x ? 54 kx ? 45 ? 0 ,
2 2

解之得

x 1, 2 ?

? 27 k ? 6 9 k 9k
2

2

?5

? 4

.

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x 1 ?
? 27 k ? 6 9 k 9k
2 2

?5

? 4
2

, x2 ?

? 27 k ? 6 9 k 9k
2

2

?5

? 4



所以

AP PB

? ?

x1 x2

=

? 9k ? 2 9k 9k ? 2 9k
2

?5 ?5

=1 ?

18 k 9k ? 2 9k
2

=1 ?
?5

18 9? 2 9? 5 k
2

.

由 所以

? ? ( ? 54 k ) ? 180 9 k
2

?

2

? 4 ? 0 , 解得 k

?

2

?

5 9



?1?1?

18 9? 2 9? 5 k
2

? ?

1 5



综上

?1?

AP PB

? ?

1 5

.

思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根 源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联 系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原 因在于
AP PB ? ? x1 x2

不是关于 x 1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有

了,即我们可以构造关于 x 1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) A xB = g(k) ,x AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式 由判别式得出 k 的取值范围 关于所求量的不等式

解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9 k

2

? 4 x

?

2

? 54 kx ? 45 ? 0

(*)



? 54 k ? x ? x2 ? , 2 ? 1 ? 9k ? 4 ? 45 ?x x ? . 2 ? 1 2 9k ? 4 ?



x1 x2

? ? ,则, ? ?

1

?

? 2 ?

324 k 45 k
2

2

? 20

.

在(*)中,由判别式 ? ? 0 , 可得 k
324 k 45 k
2 2

2

?

5 9


1 36 5

从而有

4 ?

? 20

?

36 5

,所以 4 ? ? ?

?

? 2 ?



解得

1 5

? ? ? 5 .结合 0 ? ? ? 1 得 AP PB ? ? 1 5

1 5

? ? ? 1.

综上, ? 1 ?

.

说明:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界 性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法. 二、直接根据图像判断 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 象, 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 例 4. (2003 年江苏卷第 11 题、天津卷第 10 题)已知长方形四个顶点 A(0,0) ,B(2, 0) ,C(2,1)和 D(0,1).一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为θ 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射角等于反射角).设 P4 的坐标为 (x4,0).若 1< x4<2,则 tan ? 的取值范围是 ( ) (A) ( ,1 )
3 1

(B) ( , )
3 3

1 2

(C) ( , )
5 2

2 1

(D) ( , )
5 3

2 2

分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设 立“数学探究”学习活动, 03 年数学试题反映了这方面的学习要求,在高考命题中体现了高 中课程标准的基本理念.本题可以尝试用特殊位置来解,不妨设 P4 与 AB 的中点 P 重合(如 图 1 所示) ,则 P1、P2、P3 分别是线段 BC、CD、DA 的中点,所以 ta n ? ? 择支中只有 C 含有
1 2 1 2

.由于在四个选

,故选 C. y1=(x-1)2 y2=logax 1 o 2 x

当然,本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成 “直线”问题来直接求解(如图 2 所示) . 说明 由本题可见, 03年试题强调实验尝试, 探索猜想在 数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点.

y

例 5.当 x ? (1,2)时,不等式(x ? 1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图象是抛物线,右边为 常见的对数函数的图象,故可以通过图象求解。 解:设 y1=(x ? 1)2,y2=logax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切 x ? (1,2),y1<y2 恒成立,显然 a>1,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。 故 loga2>1,a>1,? 1<a ? 2. 例 6.函数 y=(x ? 1)log 3 a ? 6xlog3a+x+1,其中在 x ? [0,1]时函数恒正,求 a 的范围。
2

解:排除对数 log3a 的干扰,选 x 为“主元”化函数为 y=f(x)=(log32a ? 6 log3a+1)x+1 ? log32a, x∈[0,1]. 一次(或常数)函数恒正,被线段端点“抬在”x 轴的上方。故有:
?a ? 0 1 ? ? a ? ? f (0 ) ? 0 ? 3 ? f (1 ) ? 0 ?
3

3 ,? ? 1 ? log

3

a ?

1 3.

说明:给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a≠0),若 y=f(x)在[m,n]内恒有 f(x)>0,则根据函数的图 象(直线)可得上述结论等价于 ⅰ) ?
?a ? 0 ? f (m ) ? 0

或ⅱ) ?

?a ? 0 ? f (n) ? 0

亦可合并定成 ?
? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0

? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0

同理,若在[m,n]内恒有 f(x)<0,则有 ?

例 7.对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。 分析:在不等式中出现了两个字母:x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另 一个作为常数。显然可将 p 视作自变量,则上述问题即可转化为在[ ? 2,2]内关于 p 的一次 函数大于 0 恒成立的问题。 略解: 不等式即(x ? 1)p+x2 ? 2x+1>0,设 f(p)= (x ? 1)p+x2 ? 2x+1,则 f(p)在[ ? 2,2]上恒大于 0, 故有:
?x2 ? 4x ? 3 ? 0 ? x ? 3或 x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? 即? 2 解得: ? ? ?x ? 1 ? 0 ? f (2) ? ? x ? 1或 x ? ? 1 ?

∴x< ? 1 或 x>3. 例 8.设 f(x)=x2 ? 2ax+2,当 x ? [ ? 1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:题目中要证明 f(x) ? a 恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题转化成左边二 次函数在区间[ ? 1,+ ? )时恒大于 0 的问题。 解:设 F(x)= f(x) ? a=x2 ? 2ax+2 ? a. ⅰ)当 ? =4(a ? 1)(a+2)<0 时,即 ? 2<a<1 时,对一切 x ? [ ? 1,+ ? ),F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a ? 1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件:
? ?? ? 0 ? ( a ? 1 )( a ? 2 ) ? 0 ? ? 即 ?a ? 3 ? 0 ? f ( ? 1) ? 0 ? a ? ? 1, ? ? 2a ? ?? ? ? 1, 2 ? 得 ? 3 ? a ? ? 2; 综合可得 a 的取值范围为[ ? 3,1]

y

-1

o

x

说明:若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于 0 恒成立,则有 ?

?a ? 0 ?? ? 0

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题, 还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 x x 例 9.关于 x 的方程 9 +(4+a)3 +4=0 恒有解,求 a 的范围。 y 分析:题目中出现了 3x 及 9x,故可通过换元转化成二次函数型求 解。 4 解法 1(利用韦达定理) : 设 3x=t,则 t>0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。 o ?? ? 0
? ? ? x1 ? x 2 ? ? ( 4 ? a ) ? 0 ?x ? x ? 4 ? 0 2 ? 1

x



? ( 4 ? a ) 2 ? 16 ? 0 ? a ? 0或 a ? ? 8 ?? ? ?a ? ?4 ?a ? ?4 解得 a ? ? 8.

解法 2(利用根与系数的分布知识) :

即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4. 10. ? =0,即(4+a)2 ? 16=0,∴a=0 或 a= ? 8. a=0 时,f(x)=(t+2)2=0,得 t= ? 2<0,不合题意; a= ? 8 时,f(x)=(t ? 2)2=0,得 t=2>0,符合题意。 ∴a= ? 8. 20. ? >0,即 a< ? 8 或 a>0 时, ∵f(0)=4>0,故只需对称轴 ?
4? a 2 ? 0 ,即 a< ? 4.

y 4 o x

∴a< ? 8 综合可得 a ? ? 8. 三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。由于 此类问题综合性强, 且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽, 因而给解题带来了诸 多困难。为此,我们有必要总结和归纳如何寻找或挖掘不等量关系的策略和方法。 在几何问题中,有些问题和参数无关,这就构成定值问题,解决这些问题常通过取参数 和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明 该式是恒定的。 解析几何中的最值问题, 一般先根据条件列出所求目标——函数关系式, 然后根据函数 关系式手特征选用参数法,配方法,判别式法,应用不等式的性质,以及三角函数最值法等 求出它的最大值或最小值。 充分运用各种方法学会解圆锥曲线的综合问题(解析法的应用,数形结合的数学思想, 圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系,与圆锥曲线相关的定值问题,最值问题,应用问题和探索 性问题) 。 研究最值问题是实践的需要, 人类在实践活动中往往追求最佳结果, 抽象化之成为数学 上的最值问题,所以最值问题几乎渗透到数学的每一章。 解析几何中的最值问题主要是曲线上的点到定点的距离最值, 到定直线的距离最值, 还 有面积最值,斜率最值等,解决的办法也往往是数形结合或转化为函数最值。 而一些函数最值,反而可以通过数形结合转化为解析几何中的最值问题。 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决。 2.代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再 求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、三角函数 的值域法、函数的单调性法。 例 10. 已知椭圆 C: x ? 2 y
2 2

? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,

在线段 AB 上取点 Q,使

AP PB

? ?

AQ QB

,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程及点 Q 的横坐标的

取值范围. 分析: 这是一个轨迹问题, 解题困难在于多动点的困扰, 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此, 首先是选定参数, 然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q ( x , y ) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为参 数, 如何将 x , y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上; 另一方面就是运用题目条件:
AP PB AQ QB

? ?

来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? (xA ? xB )

,要建

立 x 与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可.

通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心 中有数.
AP PB AQ QB

? ?

x ?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? (xA ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程

在得到 x ? f ? k ? 之后, 如果能够从整体上把握, 认识到: 所谓消参, 目的不过是得到关于 x , y 的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4 ) ? 1 解得 k ? 迹方程。从而简化消去参的过程。 解:设 A ? x 1 , y 1 ?, B ( x 2, y 2 ), Q ( x , y ) ,则由
4 ( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 8 ? ( x1 ? x 2 )
AP PB ? ? AQ QB

y ?1 x?4

,直接代入 x ? f ? k ? 即可得到轨

可得:

4 ? x1 x2 ? 4

?

x ? x1 x2 ? x



解之得: x ?

(1)

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4 ) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程: ?2 k ? 1 ?x ? 4 k (1 ? 4 k ) x ? 2 (1 ? 4 k ) ? 8 ? 0
2 2 2

(2)



4 k ( 4 k ? 1) ? x ? x2 ? , 2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 2 ? x x ? 2 (1 ? 4 k ) ? 8 . 2 ? 1 2 2k ? 1 ?
4k ? 3 k ? 2 .

代入(1) ,化简得: x ?

(3)

与 y ? k ( x ? 4 ) ? 1 联立,消去 k 得: ? 2 x ? y ? 4 ?( x ? 4 ) ? 0 .

在(2)中,由 ? ? ? 64 k ? 64 k ? 24 ? 0 ,解得
2

2? 4

10

? k ?

2? 4

10

,结合(3)

可求得

16 ? 2 10 9

? x ?

16 ? 2 10 9

.

故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0



16 ? 2 10 9

? x ?

16 ? 2 10 9

).

说明:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、 韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而 “引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 例 11.已知 ? ? [0, ? ) ,试讨论 ? 的值变化时,方程 x sin ? ? y c o s ? ? 1 表示的曲线的形状。
2 2

解: (1)当 ? ? 0 时,方程化为 y ? ? 1 ,它表示两条与 x 轴平行的直线; (2)当 ? ? (3)当 ? ?
?
2

时,方程化为 x ? ? 1 ,它表示两条与 y 轴平行的直线; 时,方程化为 x ? y ? 1 ,它表示一个单位圆;
2 2

?
4

(4)当 0 ? ? ?

?
4

时,方程化为

x

2

1 s in ?

?

y

2

1 cos ? y
2

? 1 ,因为

1 s in ?

?

1 cos ?

? 0 ,所以它

表示一个焦点在 x 轴上那个的椭圆; (5)当
?
4 ?? ?

?
2

时,方程化为

x

2

1 s in ?

?

1 cos ?
2

? 1 ,因为 0 ?

1 s in ?

?

1 cos ?

,所以它

表示一个焦点在 y 轴上那个的椭圆; (6)当
?
2 ? ? ? ? 时,方程化为

x

2

1 s in ?

? ?

y

1 cos ?

? 1 ,因为

1 s in ?

? 0,

?

1 cos ?

? 0,

所以它表示一个焦点在 x 轴上那个的双曲线。 (Ⅱ) 、求参数的取值范围在解析几何中的应用 例 12.一农民有田 2 亩,根据他的经验:若种水稻,则每亩每期产量为 400 公斤,若 种花生,则每亩产量为 100 公斤,但水稻成本较高,每亩每期 240 元,而花生只要 80 元, 且花生每公斤可卖 5 元,稻米每公斤只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问这位农民对两种 作物应各种多少亩,才能得到最大利润? 分析:最优种植安排问题就是要求当非负变量 x、y 满足条件 x ? y ? 2 和
240 x ? 80 y ? 400 时,总利润 P 达到最大,是线性规划问题。

解:设水稻种 x 亩,花生种 y 亩,则有题意得:
x? y ? 2 x ? 0, y ? 0



x? y ? 2

x ? 0, y ? 0

240 x ? 80 y ? 400

3x ? y ? 5

此不等式组的解为四边形区域(包括边界) ,这些解通常就叫做本问题的可行解,并称 这个区域为问题的可行解区域。 而利润 P=(3×400-200)x+(5×100-80)y=960x+420y 为二元函数,通常就叫做 本问题的目标函数。故所求问题变为:要在此可行解区域内,找出(x,y)点,使目标函数 P=960x+420y 的值为最大,这类点就叫做本问题的最佳解。如何找出这类点呢?观察目标 函数 P,我们知道: (1) 当 P 等于任意常数 m 时,m=960x+420y 都是-48/21 的直线; (2) 若直线 l:m=960x+420y 与可行解区域相交,则对应于此直线的任一可行解,目标 函数 P 的值皆为 m; (3) 当直线 l:m=960x+420y 即 y=-48/21x+m/400 过可行解区域,且纵截距最大时, m 有最大值,即目标函数 P 有最大值。 由图可知,当直线 l 过 B 点时,纵截距最大。 解方程组 ?
?x ? y ? 2 ?3 x ? y ? 5

得交点 B(1.5,0.5)

所以当 x=1.5,y=0.5 时,Pmax=960×1.5+420×0.5=1650(元) 即水稻种 1.5 亩,花生种 0.5 亩时所得的利润最大。 说明:很多数学应用题都与二元一次不等式组有关,而不等式组的解答往往很多, 在各种解答中, 是否有一组为符合实际情况的最佳解答呢?求此类问题的解答为数学的一个 重要分支——线性规划。线性规划是最优化模型中的一个重要内容,它具有适应性强,应用 面广,计算技术比较简便的特点,它是现代管理科学的重要基础和手段之一。利用线性规划 解决应用问题的方法可按下列步骤进行: (1) (2) 根据题意,建立数学模型,作出不等式组区域的图形,即可行解区域; 设所求的目标函数 f(x,y)为 m 值;

(3)将各顶点坐标代入目标函数,即可得 m 的最大值或最小值,或求直线 f(x,y) =m 在 y 轴上截距的最大值(最小值)从而得 m 的最大值(最小值) 。 例 13.某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型的汽车,若 A 厂每小时可完 成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车;B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车。今欲制造 40 辆 甲型车和乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工作时数最小?

分析:这是一个如何安排生产才能发挥最佳效率的问题。最优工作时数的安排问题就是 A、 B 两厂生产甲、乙两种不同型号的汽车数不得低于甲型 40 辆、乙型 20 辆时,总工时最少。 解:设 A 厂工作 x 小时,B 厂生产 y 小时,总工作时数为 T 小时,则它的目标函数为 T=x+y 且 x+3y≥40 ,2x+y≥20 ,x≥0 ,y≥0 可行解区域,而符合问题的解答为此区域内的格子点(纵、横坐标都是整数的点称为 格子点) ,于是问题变为:要在此可行解区域内,找出格子点(x,y) ,使目标函数 T =x+ y 的值为最小。由图知当直线 l:y=-x+T 过 Q 点时,纵截距 T 最小,但由于符合题意的解 必须是格子点,我们还必须看 Q 点是否是格子点。 解方程组 ?
? x ? 3 y ? 40 ?2 x ? y ? 20

得 Q(4,12)为格子点,

故 A 厂工作 4 小时,B 厂工作 12 小时,可使所费的总工作时数最少。 说明: 也可以用凸多边形性质去寻找最佳解, 要注意到有时符合题意的解仅限于可行解区域 内的格子点,此时如果有端点并非格子点,这些点就不符合题意,不是我们要找的解;如果 所有的端点都是格子点,所有的端点全符合题意,我们就可用凸多边形性质去找出最佳解。 符合本题的解仅为可行解区域内的格子点,其可行解区域的端点 P(40,0) ,Q(4,12) R(0,20)都是格子点,都符合题意,而它们所对应的目标函数值如下表所示: (x,y) T (40,0) 40 (4,12) 16 (0,20) 20

故 Q(4,12)即为所要找的点。 例 14.私人办学是教育发展的方向。某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学,为了考虑 社会效益和经济效益, 对该地区教育市场进行调查, 得出一组数据列表如下 (以班级为单位) : 班级学生数 初中 高中 50 40 配备教师数 2.0 2.5 硬件建设(万元) 教师年薪(万元) 28 58 1.2 1.6

根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、 办公费以外每生每年收取 600 元,高中每生每年可收取 1500 元。因生源和环境等条件的限 制,办学规模以 20 至 30 个班为宜。教师实行聘任制。初中、高中的教育周期均为三年。请 你合理地安排找生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资? 解:设初中编制为 x 个班,高中编制为 y 个班。

则?

? 20 ? x ? y ? 30 ? 28 x ? 58 y ? 1200

(x>0,y>0,x,y∈Z) 。

计年利润为 s,那么 s=3x+6y-2.4x-4y,即 s=0.6x+2y 作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线 0.6x+2x ? s=0 截距的最大值。过点 A 作 0.6x+2y=0 的平行线即可求出 s 的最大值。 联立 ?
? x ? y ? 30 ? 28 x ? 58 y ? 1200

得 A(18,12) 。

将 x=18,y=12 代入 s=0.6x+2y 求得 Smax=34.8。 设经过 n 年可收回投资,则 11.6+23.2+34.8(n ? 2)=1200,可得 n=33.5。 学校规模初中 18 个班级,高中 12 个班级,第一年初中招生 6 个班 300 人,高中招生 4 个班 160 人。从第三年开始年利润 34.8 万元,大约经过 36 年可以收回全部投资。 说明:本题的背景材料是投资办教育,拟定一份计划书,本题是计划书中的部分内容。 要求运用数形结合思想,解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知,投资教育主 要是社会效益,提高整个民族的素质,经济效益不明显。 (Ⅲ) 、强化训练 1. (南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题) 若对 n 个向量 a 1 , a 2 , ? a n 存在 n 个 不 全 为 零 的 实 数 k1 , k 2 ,? , k n , 使 得 k1 a1 ? k 2 a 2 ? ? ? k n a n ? 0 成 立 , 则 称 向 量
?? ?? ? ?? ? .依此规定, 能说明 a 1 ? (1, 0 ) , a 2 ? (1, ? 1) , a 3 ? ( 2 , 2 ) “线 a 1 , a 2 , ? a n 为“线性相关”

性相关”的实数 k 1 , k 2 , k 3 依次可以取
y
2

(写出一组数值即可,不必考虑所有情况) .

2.已知双曲线 C :

?

x

2

? 1 ,直线 l 过点 A

2

2

?

2 , 0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双

?

曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 3. 设函数 f(x)=2x-1 ? 2-x-1,x ? R,若当 0 ? ? ? 求实数 m 的取值范围。 4.已知关于 x 的方程 lg(x +20x) ? lg(8x ? 6a ? 3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。
2

?
2

时, 2 ? +2msin ? )+f( ? 2m ? 2)>0 恒成立, f(cos

5.试就 k 的不同取值,讨论方程 ( k ? 2 ) x ? (6 ? k ) y ? (6 ? k )( k ? 2 ) 所表示的曲线形
2 2

状,并指出其焦点坐标。 6. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机, 由于这两种产品的市场需

求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产 品的月供应量, 以使得总利润达到最大。 已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动 力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 资金 单位产品所需资金(百元) 空调机 成本 劳 动 力 30 5 洗衣机 20 10 月资金供应量(百元) 300 110

(工资) 单位利润 6 8

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 7.某校伙食长期以面粉和大米为主食,而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位,含淀粉 4 个单位,售价 0.5 元,米食每 100 克含蛋白质 3 个单位,含淀粉 7 个单位,售价 0.4 元,学 校要求给学生配制盒饭,每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉,问应如何配 制盒饭,才既科学又费用最少? 8.发电厂主控室的表盘,高 m 米,表盘底边距地面 n 米。问值班人员坐在什么位 置上,看得最清楚?(值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为 1.2 米) 9. 某养鸡厂想筑一个面积为 144 平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙,现有 50 米铁丝 网,筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网?已有的墙最多利用多长?最少利用多长? (Ⅳ) 、参考答案 1.分析:本题将高等代数中 n 维向量空间的线形相关的定义,移植到平面向量中,定 义了 n 个平面向量线性相关. 在解题过程中, 首先应该依据定义, 得到 k 1 a1 ? k 2 a 2 ? k 3 a 3 ? 0 , 即 k 1 (1, 0 ) ? k 2 (1, ? 1) ? k 3 ( 2 , 2 ) ? 0 ,于是 ( k 1 ? k 2 ? 2 k 3 , ? k 2 ? 2 k 3 ) ? 0 ,所以 ?
? k1 ? ? 4 k 3 , ? k2 ? 2k3.
? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?

? k1 ? k 2 ? 2 k 3 ? 0 , ? ? k2 ? 2k3 ? 0.

即?

则 k 1 : k 2 : k 3 ? ? 4 : 2 : 1 .所以, k 1 , k 2 , k 3 的值依次可取 ? 4 c , 2 c , c ( c 是不等于

零的任意实数) . 2.分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然 是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过 点 B 作与 l 平行的直线,必与双曲线 C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 ? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:
l: y ? k(x ? 2)

?0

? k ? 1?

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

2

l ':

y ? kx ?

2k

2

? 2 ?

2k

解得 k 的值

解题过程略. 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅 有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ?

2? x k
2

2

?

2k ? 2

关于 x 的方程

?1

?0

? k ? 1 ? 有唯一解

转化为一元二次方程根的问题 求解

解:设点 M ( x , 2 ? x ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:
2

kx ?

2? x k
2

2

?

2k ? 2

?1

?0

? k ? 1?

?? ?

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x
kx ?
2

? x ? kx ,从而有
2

2? x

?

2 k ? ? kx ?

2? x

2

?

2k.

于是关于 x 的方程 ?? ?
? ? kx ?
? ? ? ? ? ?
2? x
2

?

2k ?

2(k

2

? 1)

?

2? x 2(k
2

2

?

2

? ( 2(k

2

? 1) ?

2 k ? kx ) ,
2

? 1) ?

2 k ? kx ? 0

? 2 2 2 ? ?k ? 1 ? x ? 2 k 2 ( k ? 1 ) ? ? ? ? 2 ( k 2 ? 1 ) ? 2 k ? kx ? 0 . ?

?

2k x ?

? ?

2(k

2

? 1) ?

2k

?

2

? 2 ? 0,

由 0 ? k ? 1 可知: 方程 ?k ? 1 ?x ? 2 k
2 2

?

2(k

2

? 1) ?

2k x ?

? ?

2(k

2

? 1) ?

2k

?

2

? 2 ? 0 的二根同正,

故 2 ( k ? 1) ?
2

2 k ? kx ? 0 恒成立,于是 ?? ? 等价于
2

?k

?1 x

?

2

? 2k

?

2(k

2

? 1) ?

2k x ?

? ?

2(k

2

? 1) ?

2k

?

2

?2 ? 0.
2 5 5

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k ?

.

说明: 上述解法紧扣解题目标, 不断进行问题转换, 充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 3.分析与解:从不等式分析入手,易知首先需要判断 f(x)的奇偶性和单调性,不难证 明,在 R 上 f(x)是奇函数和增函数,由此解出 cos2 ? +2msin sin ? <2m+2. 令 t=sin ? ,命题转化为不等式 t2 ? 2mt+(2m+1)>0,t∈[0,1]--------------------(*) 恒成立时,求实数 m 的取值范围。 接下来, g(t)=t2 ? 2mt+(2m+1),按对称轴 t=m 与区间[0, 设 1]的位置关系, 分类使 g(t)min>0, 综合求得 m> ?
1 2
.

本题也可以用函数思想处理,将(*)化为 2m(1 ? t)> ? (t2+1),t∈[0,1] ⑴当 t=1 时,m∈R; ⑵当 0≤t<1 时,2m>h(t)=2 ? [(1 ? t)+ 易知当 t=0 时,h(x)max= ? 1, ∴m> ?
1 2
,

2 1? t

],由函数 F(u)=u+
? 1 2

2 u


在( ? 1,1]上是减函数,

综合(1)(2)知 m> 、

说明:本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识,以及用 函数的思想、 数形结合、 分类讨论、 转化和化归的思想方法解题, 是综合性较强的一道好题。 4.分析:方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x ? 6a ? 3),从而得 x +20x=8x ? 6a ? 3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+20x 及一次函数 y=8x ? 6a ? 3,则只需考虑这两个 函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。 解:令 y1= x2+20x=(x+10)2 ? 100,y2=8x ? 6a ? 3,则如图所示, y1 的图象为一个定抛物线,y2 的图象是一条斜率为定值 8,而截距 不定的直线,要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点,则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但不包括 l2) 当 直 线 为 l1 时 , 直 线 过 点 ( ? 20 , 0 ) 此 时 纵 截 距 为
2

y l1 l

l2 x -20 o

? 6a ? 3=160,a= ?

163 6

;
1 2

当直线为 l2 时, 直线过点 (0, , 0) 纵截距为 ? 6a ? 3=0, ? a= ∴a 的范围为[ ?
163 6

,?

1 2

) 。

5.解: (1)当 k ? 2 时,方程化为 y ? 0 ,表示 x 轴。 (2)当 k ? 6 时,方程化为 x ? 0 ,表示 y 轴 (3)当 k ? 2, 6 时,方程为标准形式:
x
2

6?k

?

y

2

k ?2

? 1(* )

①当 6 ? k ? k ? 2 ? k ? 4 时, 方程化为 x ? y ? 2 表示以原点为圆心, 2 为半径的圆。
2 2

②当 k ? 2 时,方程(*)表示焦点在 x 轴上的双曲线,焦点为 ( ? 8 ? 2 k , 0 ) ③当 2 ? k ? 4 时,方程(*)表示焦点在 x 轴上的椭圆,焦点为 ( ? 8 ? 2 k , 0 ) ④当 4 ? k ? 6 时,方程(*)表示焦点在 y 轴上的椭圆,焦点为 (0 , ? 2 k ? 8 ) ⑤当 k ? 6 时,方程(*)表示焦点在 y 轴上的双曲线,焦点为 (0 , ? 2 k ? 8 ) 6.解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P,则 P=6x+8y 由题意:30x+20y ≤300 5x+10y≤110 x≥0,y≥0 x、y 均为整数 画图知直线 y=-3/4x+1/8P 过 M(4,9)时,纵截距最大,这时 P 也取最大值 Pmax=6 ×4+8×9=96(百元) 故:当月供应量为:空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元。 7.解:设每盒盒饭需要面食 x(百克) ,米食 y(百克)则目标函数为 S=0.5x+0.4y 且 x,y 满足 : 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ,y≥0

画图可知,直线 y=-5/4x+5/2S 过 A(13/15,14/15)时,纵截距 5/2S 最小,即 S 最小。 故每盒盒饭为 13/15 百克,米食 14/15 百克时既科学又费用最少。 8.解答从略,答案是: 值班人员的眼睛距表盘距离为 x ?
( n ? 1 . 2 )( m ? n ? 1 . 2 )

(米) 。本题材料背景:仪表及工业电视,是现代化企业的眼睛,它总是全神贯注地注视着生 产内部过程, 并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。 这就要在值班人员和仪表及工业 电视之间,建立某种紧密的联系,联系的纽带是值班人员的眼睛!因此只有在最佳位置上安 排值班人员的座位,才能避免盲目性。 9.解:假设围栏的边长为 x 米和玉米,于是由题设可知 x>0,y>0,且 xy=144 (1)

2x+y≤50 (2) 双 曲 线 xy = 144 在 第 一 象 线 内 的 一 支 与 直 线 2x + y = 50 的 交 点 是 A (
25 ? 2 25 ? 2 337 337 , 25 ? 337 ) ,B( 25 ? 2 25 ? 2 337 337 , 25 ? 337 ) ,满足条件(1)(2)的解集是 、

在双曲线 xy=144(

? x ?

) ,这一段上的点集(即如图中双曲线 A、

B 之间的一段) ,当过双曲线 A、B 之间上的任一点作一点作直线 2x+y=k(k>0)就是相应 需用铁丝网的长度,直线 2x+y=k(k>0)与双曲线 xy=144 相切。这时,相应的 k 值最小, 消去 y 得 x 的二次方程: 2 x ? kx ? 144 ? 0 ,从△=0 得 k ? 4 ? 2 ? 144 ? 0 ,
2 2

即k

=24 2 (米)所需用铁丝网的最短长度为 24 2 米。从图中知,利用已有墙的最大长度由 点 A 的纵坐标给出, 25 ? 即
337 米, 利用墙的最短长度由 B 纵坐标给出, 25 ? 即 337 米。


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