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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第十二章12.3


数学

北(理)

§12.3 模拟方法——概率的应 用
第十二章 概率与统计

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的 长度 (面积 或

1 .几何概型的试验中, 事件 A

的概率 P(A)只 与子区域 A 的几何度 量(长度、 面积或体积) 成正比,而与 A 的位 置和形状无关.

体积 )成比例,则称这样的概率

模型为几何概率模型,简称为
几何概型 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

2. 几何概型中,事件 A 的概率计算 公式 P(A)= .

2 .求试验中几何概型 的概率,关键是求 得事件所占区域和 整个区域 Ω 的几何 度量,然后代入公 式即可求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

3.要切实理解并掌握几何概型试 验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可 能出现的结果有 无限多个 ; (2)等可能性:每个结果的发生 具有 等可能性 .

3.几何概型的两种类型 (1) 线型几何概型:当基 本事件只受一个连续的 变量控制时. (2) 面型几何概型:当基 本事件受两个连续的变 量控制时, 一般是把两个 变量分别作为一个点的 横坐标和纵坐标, 这样基 本事件就构成了平面上 的一个区域, 即可借助平 面区域解决.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
1 3 2 3 2 5

解析

B
A

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

与长度有关的几何概型
解析 答案

在集合 A={m|关于 x 的方 思维启迪 3 2 程 x +mx+ m+1=0 无实根} 4 中随机地取一元素 m, 恰使式子 lg m 有意义的概率为________.

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

与长度有关的几何概型

在集合 A={m|关于 x 的方 思维启迪 解析 答案 探究提高 3 通过转化集合 A 和 lg m 有意义 2 程 x +mx+ m+1=0 无实根} 4 将问题转化成几何概型. 中随机地取一元素 m, 恰使式子 lg m 有意义的概率为________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

与长度有关的几何概型

在集合 A={m|关于 x 的方 思维启迪 解析 答案 探究提高 ?3 ? 3 2 2 程 x +mx+ m+1=0 无实根} 由 Δ=m -4?4m+1?<0 得 4 ? ? 中随机地取一元素 m, 恰使式子 lg m 有意义的概率为________.

-1<m<4.

即 A={m|-1<m<4}.

由 lg m 有意义知 m>0, 即使 lg m 有意义的范围是(0,4),
4-0 4 故所求概率为 P= = . 4-?-1? 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

与长度有关的几何概型
思维启迪 解析

在集合 A={m|关于 x 的方 ?3 ? 3 2 2 程 x +mx+ m+1=0 无实根} 由 Δ=m -4?4m+1?<0 得 4 ? ?

答案

探究提高

-1<m<4. 中随机地取一元素 m, 恰使式子 4 即 A={m|-1<m<4}. 5 lg m 有意义的概率为________ . 由 lg m 有意义知 m>0, 即使 lg m

有意义的范围是(0,4),
4-0 4 故所求概率为 P= = . 4-?-1? 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

与长度有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 探究提高

在集合 A={m|关于 x 的方 3 解答几何概型问题的关键在于弄 2 程 x +mx+ m+1=0 无实根} 4 清题中的考察对象和对象的活动 中随机地取一元素 m, 恰使式子 范围.当考察对象为点,点的活 lg m 有意义的概率为________.
动范围在线段上时,用线段长度 比计算;当考察对象为线时,一 般用角度比计算.事实上,当半 径一定时,由于弧长之比等于其 所对应的圆心角的度数之比,所 以角度之比实际上是所对的弧长 (曲线长)之比.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂

直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是

1 ________ . 2
解析

记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,如图,

不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直 于直径的弦,当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长(此时 F 为 OE 中点), 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF, 由几 何概型公式得: 1 2×2 1 P(A)= 2 =2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

(1) 为古典概型,利用列举法求 概率. (2)建立 a-b 平面直角坐标系, 将问题转化为与面积有关的几 何概型.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.



设事件 A 为“方程 x2+2ax

+b2=0 有实根”.
当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax + b2 = 0 有 实 根 的 充 要 条 件 为 a≥b.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

(1)基本事件共有 12 个:(0,0), (0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2).其中第一个数表示 a 的取 值,第二个数表示 b 的取值.事 件 A 中包含 9 个基本事件,事件 9 3 A 发生的概率为 P(A)= = . 12 4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

(2) 试验的全部结果所构成的区 域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}, 构 成 事 件 A 的 区 域 为 {(a , b)|0≤a≤3,0≤b≤2 , a≥b} ,所 以 所 求 的 概 率 为 P(A) = 1 2 3×2- ×2 2 2 = . 3 3×2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高

程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数, 求上述方程有实根 的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数, b 是从区间[0,2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.

数形结合为几何概型问题的解决提供了 简捷直观的解法.用图解题的关键:用 图形准确表示出试验的全部结果所构成 的区域,由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式,在图形中画出事件 A 发生的区域,通用公式: P(A)= 构成事件A的区域的测度 . 试验的全部结果所组成的区域的测度

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2

(2012· 湖南)函数 f(x)=sin(ωx+φ)的导函

数 y=f′(x)的部分图像如图所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为 图像的最低点. ? π 3 3? ? ? (1)若 φ= ,点 P 的坐标为?0, ?,则 ω=________; 6 2 ? ? (2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点 在△ABC 内的概率为________.



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
(1)∵f(x)=sin(ωx+φ),∴f′(x)=ωcos(ωx+φ). ? π? π 当 φ=6时,f′(x)=ωcos?ωx+6?. ? ? ? 3 3 π 3 3? ? ? 又该函数过点 P?0, ?,故 2 =ωcos 6. 2 ? ? ∴ω=3. π π φ (2)设 A(x0,0),则 ωx0+φ= ,∴x0= - . 2 2ω ω ? π ? φ π 2π π 又 y=ωcos(ωx+φ)的周期为 ω ,∴|AC|=ω,C?2ω-ω+ω,0?. ? ? 解析
依题意曲线段 ABC 与 x 轴围成的面积为 ωcos(ωx+φ)dx=2. π π ∵|AC|= ,|yB |=ω,∴S△ABC=2. ω π ∴满足条件的概率为4. π 答案 (1)3 (2)4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析

【例 3】 如图所示, 在△ABC 中,

探究提高

∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD = 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的 概率.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析

【例 3】 如图所示, 在△ABC 中,

探究提高

∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD = 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的 概率.

根据“在∠BAC 内作射线 AM”可 知,本题的测度是角度.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析

【例 3】 如图所示, 在△ABC 中,

探究提高

∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD = 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的 概率.



因为∠B=60° ,∠C=45° ,

所以∠BAC=75° , 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=
AD 所以 BD=tan 60° =1, ∠BAD=30° .
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”,则 可 得 ∠BAM<∠BAD 时 事 件 N 发生.

60° ,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析

【例 3】 如图所示, 在△ABC 中,

探究提高

∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD = 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的 概率.

由几何概型的概率公式,得 P(N) 30° 2 = = . 75° 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析

【例 3】 如图所示, 在△ABC 中,

探究提高

∠B=60° ,∠C=45° ,高 AD = 3, 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的 概率.

几何概型的关键是“测度”,如本题 条件若改成 “在线段 BC 上找一点 M” , 则相 应 的测 度变 成 线 段的 长度.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机 飞行. 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面 的距离均大于 10,则飞行是安全的,假设蜜蜂在正方体玻璃容器 内飞行到每一个位置的可能性相同, 那么蜜蜂飞行是安全的概率为 1 A. 8
解析

1 B. 16

1 C. 27

3 D. 8

( C )

由题意,可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才

是安全的,所以由几何概型的概率计算公式,知蜜蜂飞行是安全的 103 1 概率为 3= . 30 27

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)向量 a∥b 转化为 x=2y,而 x、y 的值均为有限个,可以直接列出,转 化为古典概型问题;(2)和(1)中条件类似,但 x、y 的值有无穷多个,应转 化为几何概型问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y.

基本事件空间为 Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1), (1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含 12 个基本事件;

其中 A={(0,0),(2,1)},包含 2 个基本事件. 2 1 1 则 P(A)= = ,即向量 a∥b 的概率为 . 12 6 6

3分 5分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角,可得 a· b<0, 即 2x+y<0,且 x≠2y. ?? ? -1≤x≤2? ? ?? ? ? ? 基本事件空间为 Ω= ?x,y?? ? ??-1≤y≤1? ? ? ? -1≤x≤2? ?? ? ? ? ? ? ?-1≤y≤1? ? ? B=??x,y??? , 2 x + y <0 ? ? ? ?? ? ? x ≠ 2 y ? ? ? ?
基础知识 题型分类
7分



10分

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1 ?1 3? ×? + ?×2 μB 2 ?2 2? 1 则 P(B)=μ = = , 3 3× 2 Ω

1 即向量 a,b 的夹角是钝角的概率是3.

12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 23.转化与化归思想在概率中的应用
典例:(12 分)已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)对含两个变量控制的概率问题,若两个变量取值有限个,可转化为古典 概型;若取值无穷多个,则可转化为几何概型问题. (2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题, 找不到问题的 切入点. 所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数 是有限个还是无限多个.

2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将 试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键;

2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在 事件之内不影响所求结果.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 辽宁)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为 1 A. 6 ( 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2012· 辽宁)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为 1 A. 6 ( C 1 B. 3 2 C. 3 4 D. 5 )

解 析
设 AC=x,CB=12-x,所以 x(12-x)<32,解得 x<4 或 x>8.
4+4 2 所以 P= = . 12 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组

专项基础训练
6 7 8 9

2.(2012· 北京)设不等式组? ? ?0≤y≤2 是 π A. 4

4 5 ? ?0≤x≤2,

表示的平面区域为 D,在区

域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 ( π- 2 B. 2 π C. 6 4-π D. 4 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组

专项基础训练
6 7 8 9

2.(2012· 北京)设不等式组? ? ?0≤y≤2 是 π A. 4

4 5 ? ?0≤x≤2,

表示的平面区域为 D,在区

域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率 ( D ) π- 2 B. 2 π C. 6 4-π D. 4

解 析

如图所示,正方形 OABC 及

其内部为不等式组表示的区域 D,且区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内 到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面 4-π 积为 4-π.因此满足条件的概率是 . 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一 点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 5 6 7 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一 点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( C 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 5 6 7 )

解 析
∵S
1 阴影= ? 0(

x-x)dx=

?2 3 ? x2 ?3

1 2? ?1 - x ? ?0 2 ??

2 1 1 =3-2=6,又 S 正方形 OABC=1,

1 6 1 ∴由几何概型知,P 恰好取自阴影部分的概率为1=6.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

πx 1 2 4. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, 则 sin 的值介于- 与 4 2 2 之间的概率为 1 1 A. B. 4 3 ( 2 C. 3 5 D. 6 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

πx 1 2 4. 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, 则 sin 的值介于- 与 4 2 2 之间的概率为 1 1 A. B. 4 3 2 C. 3 5 D. 6 ( D )

解 析
π πx π ∵-1≤x≤1,∴- ≤ ≤ . 4 4 4 1 πx 2 π πx π 由-2≤sin 4 ≤ 2 ,得-6≤ 4 ≤4, 2 1+3 2 5 即-3≤x≤1.故所求事件的概率为 2 =6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚 半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内, 则硬币不与任何一 条平行线相碰的概率是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚 半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内, 则硬币不与任何一 1 条平行线相碰的概率是________ . 3

解 析
如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬 1 币不与任何一条平行线相碰, 故所求概率为 . 3

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
2

6

7

8

9

p 1 6.设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x +px+ + =0 有实根的概 4 2 率为________.

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
2

6

7

8

9

p 1 6.设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x +px+ + =0 有实根的概 4 2

3 5 率为________ .

解 析
一元二次方程有实数根?Δ≥0, 而 Δ=p
2

?p 1? -4?4+2?=(p+1)(p ? ?

- 2) , 解 得 p≤ - 1 或 p≥2 , 故 所 求 概 率 为 P = [0,5]∩{?-∞,-1]∪[2,+∞?}的长度 3 = . 5 [0,5]的长度

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x) =x2+2ax-b2+π 有零点的概率为________.

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)

3 4 =x2+2ax-b2+π 有零点的概率为________ .

解 析
根据函数 f(x)=x2+2ax-b2+π 有零点得 4a2-4(π-b2)≥0,即 a2+b2≥π,建立如图所示的平面直角坐标系,则试验的全部结 果构成的区域为正方形 ABCD 及其内部,使函数 f(x)有零点的 区域为图中阴影部分,且 S 阴影=4π2-π2=3π2.

S阴影 3π2 3 故所求概率为 P= = 2= . S正方形 4π 4

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8. (10 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 在正方体内随 1 机取点 M,求使四棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率. 6

解 析

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8. (10 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 在正方体内随 1 机取点 M,求使四棱锥 M-ABCD 的体积小于 的概率. 6

解 析
如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1.设 M- 1 1 ABCD 的高为 h,则 ×SABCD×h< , 3 6 1 又 SABCD=1,∴h<2,
即点 M 在正方体的下半部分, 1 V 2 正方体 1 ∴所求概率 P= =2. V正方体
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. ?x+y-8≤0 ? 设点(a,b)是区域?x>0 内的随机点,求函数 y=f(x)在区 ? ?y>0 间[1,+∞)上是增函数的概率.
解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. ?x+y-8≤0 ? 设点(a,b)是区域?x>0 内的随机点,求函数 y=f(x)在区 ? ?y>0 间[1,+∞)上是增函数的概率.
解 析
解 因为函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图像的对称轴为 x= 2b 2 ,要使 f ( x ) = ax -4bx+1 在区 间 [1 ,+ ∞) 上为增函 a 2b 数,当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. ?x+y-8≤0 ? 设点(a,b)是区域?x>0 内的随机点,求函数 y=f(x)在区 ? ?y>0 间[1,+∞)上是增函数的概率.
解 析
依条件,可知试验的全部结果所构成的区域为 ? ? ??a+b-8≤0 ? ? ?? ??a,b???a>0 ?. ?? ? ? b >0 ? ? ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. ?x+y-8≤0 ? 设点(a,b)是区域?x>0 内的随机点,求函数 y=f(x)在区 ? ?y>0 间[1,+∞)上是增函数的概率.
? ? ?2b ? ? ≤ 1 ?a ? ? ?. 构成所求事件的区域为??a,b?? a >0 ? ? ? ? ? ?b>0 ? ? a+b-8=0, ? ? ?16 8? 由? 得交点坐标为? 3 ,3?, a ? ? b=2, ? ?

解 析

基础知识

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知关于 x 的一元二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. ?x+y-8≤0 ? 设点(a,b)是区域?x>0 内的随机点,求函数 y=f(x)在区 ? ?y>0 间[1,+∞)上是增函数的概率.
解 析
1 8 ×8× 2 3 1 所以所求事件的概率为 P= = . 1 3 ×8×8 2

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

1.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零 点的概率为 1 2 A. B. 2 3 ( 3 C. 4 1 D. 4 )

解 析

基础知识

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B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零 点的概率为 1 2 A. B. 2 3 3 C. 4 1 D. 4 ( C )

解 析
要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0.
∵a,b∈[0,1] ,a+2b>0,∴a-2b<0. ?0≤a≤1, ? 作出?0≤b≤1, 的可行域, ?a-2b<0 1 1 ? 1- ×1×
易得该函数无零点的概率 P=
基础知识 题型分类

2 1×1

2 3 = . 4
练出高分

思想方法

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2 . 如图所示,设 M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在 圆周上等可能地任取一点 N,连接 MN,则弦 MN 的 长超过 2R 的概率为 1 1 A. B. 5 4 ( 1 C. 3 ) 1 D. 2

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2 . 如图所示,设 M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在 圆周上等可能地任取一点 N,连接 MN,则弦 MN 的 长超过 2R 的概率为 1 1 A. B. 5 4 ( D ) 1 C. 3 1 D. 2

解 析
如图,在圆上过圆心 O 作与 OM 垂直的直径 CD,则 MD=MC= 2R,当点 N 不在半圆弧 CMD 上时, πR 1 MN> 2R,故所求的概率 P(A)= = . 2πR 2

基础知识

题型分类

思想方法



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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. (2012· 陕西)如图所示是用模拟方法估计圆周率 π 值的算法框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填入 ( )

A.P=

N 1 000

B . P=

4N 1 000

C.P=

M 1 000

D.P=

4M 1 000

基础知识

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思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
∵xi,yi 为 0~1 之间的随机数,构成以 1 为边长的正方形面,
当 xi2+y2 yi)均落在以原点为圆 i ≤1 时,点(xi, 1 心,以 1 为半径且在第一象限的 圆内,当 4 xi2+ y 2 i >1 时对应点落在阴影部分中 ( 如图所
π 1- 4 N 4M ∴有 = ,Nπ=4M-Mπ,π(M+N)=4M,π= . M π 1 000 4

示).

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.在区间[0,1]上随意选择两个实数 x,y,则使 x2+y2≤1 成立 的概率为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.在区间[0,1]上随意选择两个实数 x,y,则使 x2+y2≤1 成立
π 的概率为________ . 4

解 析
D 为直线 x=0,x=1,y=0,y=1 围成的正方形区域,而 由 x2+y2≤1,即 x2+y2≤1(x≥0,y≥0)知 d 为单位圆在第 1 π×12 4 π 一象限内部分(四分之一个圆),故所求概率为 = . 1×1 4

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.(2011· 江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往 1 单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电 2 1 影; 若此点到圆心的距离小于 , 则去打篮球; 否则, 在家看书. 则 4 小波周末不 在家看书的概率为________. .

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.(2011· 江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往 1 单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电 2 1 影; 若此点到圆心的距离小于 , 则去打篮球; 否则, 在家看书. 则 4 13 小波周末不 在家看书的概率为________ . 16 .
12 π×1 -π×? ? 2 3 ∵去看电影的概率 P1= = , 2 4 π × 1 12 π×? ? 4 1 去打篮球的概率 P2= = , π×12 16 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16
2

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示, 在单位圆 O 的某一直径上随机地取一点 Q, 则过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率 是________.

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图所示, 在单位圆 O 的某一直径上随机地取一点 Q, 则过点 Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过 1 的概率
3 1- 2 是________.

解 析
3 弦长不超过 1,即|OQ|≥ ,而 Q 点在直径 AB 上是随机的,事 2

3 2 ×2 3 由几何概型的概率公式得 P(A)= 2 = 2 . 3 ∴弦长不超过 1 的概率为 1-P(A)=1- 2 .
件 A={弦长超过 1}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将 线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构 成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构 成三角形的概率.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将 线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构 成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构 成三角形的概率.

解 析
解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度

所有可能情况是 1,1,4;1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条 1 线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,故构成三角形的概率为 P= . 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

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4 5 6 7

7.(13 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将 线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构 成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构 成三角形的概率.

解 析
(2)设其中两条线段长度分别为 x、y,则第三条线段长度为 6-x- ?0<x<6 ? y,故全部试验结果所构成的区域为?0<y<6 , ? ?0<6-x-y<6
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将 线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构 成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构 成三角形的概率.
?0<x<6 ? 即?0<y<6 ? ?0<x+y<6 所表示的平面区域为△OAB.

解 析



若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将 线段 AB 分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构 成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构 成三角形的概率.
?x+y>6-x-y ?x+y>3 ? ? 则还要满足?x+6-x-y>y ,即为?y<3 ? ?y+6-x-y>x ?x<3 ? 所表示的平面区域为△DEF, S△DEF 1 由几何概型知,所求概率为 P= = . S△AOB 4

解 析



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