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错位相减方法在高考数列求和中的重要应用


虿1一』。=i1十,孕2十--可3十--矛4十,可5十.…+参.



错幔租臻锣蒲一摩

式①一②得,i1』。一l十i1十F1十旁1+…+
1 2”一1

3\7//高考数列求和
印∞重要应用
所以
◇福建郑一平(特级教师)

,2[卜‘专’1]押。2以
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2“

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2”

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L一4一嘉一番=4一面n+彳2.
台2“

争上:4一—n+—2 2“。


数列求和是数列知识中的重要内容,特别是教材 中等比数列求和公式的推导涉及到的数列求和的重 要方法——错位相减.在学习中我们往往只重视求和 公式的掌握及应用,而忽略公式推导过程中所涉及的 错位相减的重要方法,因此在遇到此类数列求和时无 法解决,结果半途而废.2009年全国高考许多省的试 卷都涉及考查用错位相减方法解决数列求和问题,充 分说明这一方法的重要性,很有必要引起我们的重 视.下面以2009年高考部分试题为例进行分析说明. 1打破常规立意求新 例1(2009年全国卷I)在数列{口。)中,口l=1,

易得∑(2愚)一佗("+1),故s。=挖(以+1)+笨罾~4.
点 ’开

本题考查利用构造新数列和错位相减方法 求数列前n项和,一改往年的将数列结合不

等武放缩法问题作为压轴题的命题模式.具有让考生 和一线教师重视教材和基础知识、基本方法、基本技 能;重视教材中涉及的重要方法的导向作用.也可看 出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.解题 的关键是熟练掌握解决数列问题的一些常用而又重 要的方法,如迭加法、错位相减法等. 2挖掘特性深入浅出 例2(2009年山东卷)等比数列{n。}的前n项 和为S。,已知对任意的,z∈N+,点(行,S。)均在函数 y=/f+r(6>o且6≠1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值;

口州-(1+枷。+字.
(1)设b。一生,求数列{b。)的通项公式; (2)求数列{%)的前,2项和s。. 分析本题主要考查一些特殊数列通项公式的 求法,特殊数列求和问题,尤其解决数列问题的一些 常用而又重要的方法,如迭加法、错位相减法等.

(2)当6—2时,记巩5岽(订EN+),求数列
{b。}的前”项和T。. 分析本题主要考查了等比数列的定义,通项公 式,以及已知S。求口。的基本题型,通过把数列与简 单函数相结合,让同学们进一步了解数列是特殊的函 数,考查数列通项的求法和利用错位相减方法求数列 前咒项和,考查内容与例1相似.

霹析(1)由条件变形整理得:鲁苒一警+刍.
设6。一鲁,所以bn+l--“=歹1.
利用累差迭加方法即可求出数列{b。}的通项公

n j●一

因为对任意的卵∈N+,点(行,S。)均在函数

式:b。一2--嘉(nEN。). (2)由(1)知口。=2n一击,则
S.一∑(2k一嘉)一∑(2矗)一∑嘉.

/解析y一矿+r(6>o且b:/:l,b,r均为常数)的图 象上.所以S。一扩+r,当"一1时,Ⅱ。=S,一6+r,当 n≥2时,口。=S。--S。一l一扩+,_一(扩-1+,.)一
b“--b”一1=(6——1)6”一1.

又因为{n。}为等比数列,所以6+r=6—1,即r= 一1,公比为b,所以口。一(6—1)b一1. ① (2)当6—2时,n。一(b--1)6,|.1=2”1,

T=l+2—3—4i+-..+寿,

1898年9月2日,英、德在伦敦签订瓜分中国铁路协定,互相承认在华利益范围

触化

万方数据

阮2百2—4X2—--1一万。
JI':丝二丝:丝±!一丝二丝

式④两边同乘以q,得 q(S2。+T2。)一2(nlq+口393+…+az。一1q2”1),⑤ ③一⑤得,
(1一口)S2。一(1+q)T2。一2d(q+q3+…+q2“一1)=

设L=吾+嘉+砉+…+笨舁,
一 一 _ 一

虿1』。=矛2十,矛3十,F4十,…+寿+参罂.

2dq(1一q2”)

1一q2



相减得丢L一参+刍+砉+砉+...+六一券一
1.三23×(1一手与)n+1
2 3 1

点 评

本题(I)、(II)都比较简单,主要考查数列 通项、前行项求和等基础知识.(Ⅲ)则要通

力+1

过观察、分析问题的特征,通过加、减、乘等运算才能 得到结果. 4抓住关键熟练通法 例4(2009年湖北卷)已知数列{口。}的前竹项

1j一否一百万一伊

所以L一百3一万1一参鲁一号一参舁.
3重视基础常考常新 例3(2009年天津卷)已知等差数列{口。}的公 差d不为0,设S。一口1+丑2q+…+口。q”1,L—n1一
口zq+…+(--1)”一1a.q”一1,q≠O,nEN’.

和S。=--O.。一(音)”1+2(n为正整数).
(I)令b。一2"a。,求证数列(b。}是等差数列,并 求数列{口。}的通项公式;

(I)若q一1,口l一1,S。一15,求数列{口。)的通 项公式; (Ⅱ)若口,一d,且S-,S2,s。成等比数列,求g 的值. (Ⅲ)若q≠±1,证明(1--q)S2。一(1+q)n。一

(Ⅱ)令c。一生≯n。,L—cl+c2+…+c。试比较 T。与矗备的大小,并予以证明.
分析本题(I)涉及已知S。求丑。问题,关键抓

—2dqF(1—--—rq2一.),行fin*.
分析本小题主要考查等差数列、等比数列等基 础知识,考查数列通项的求法和利用错位相减方法求 数列前行项和,考查基本运算求解能力、化归与转化 思想和推理论证能力及综合分析解决问题的能力.
1解析

住口。一{≥一s。一。锄三兰;,求通项;
(II)考查利用错位相减方法求数列前行项和以 及代数式大小的比较,考查通过特殊归纳一般再用数 学归纳法证明的推理证明问题方法或利用二项展开 式组合数性质处理不等式问题的方法.



(I)由题设,可得
S3一口1+(nl+d)g+(口l+2d)q2,

肆析(I)在s。一Dan--(专)一1+2中,令行一1,
可得S1一--a1—1+2=al,即口1一{. 当力≥2时,S。一l一--a。一l一(告)”2+2,口。一s。一 s。一1一一口。+口。一l+(吉)一1,所以2a。一口。一l+ (告)”1,即2”口。一2—1口。一l+1.因为b。一2”口。,所以
b。一6。一l+l,即当行≥2时,b。--b。一1—1. ① ②’ ③ ④ 又b,=2al一1,所以数列{b。)是首项和公差均为 1的等差数列.于是b.一1+(咒一1)?1一行=2n口。,所以
口一一而? ●

将g一1,口l一1,S3=15代人解得d=4,所以
口。一4行一3(竹∈N’).

(II)当口l—d,Sl=d,S2=d+2dq,S3一d+ 2dq+3dq2,因为S1,Sz,S3成等比数列,所以S;= S1S3,即(d+2dq)2一d(d+2dq+3dq2),注意到d≠ 0,整理得q一一2. (II)证明:由题设,可得
S2。一日1+n2q+a3q2+…+a2。q2—1, T2。一口l—n2q+口3口2一…一口2。q 2”~,

①一②得,
S2.一T2。一2(n2口+口4q3+…+口2。q2—1),

①+②得,
S2。+T2。一2(口l+口3 92+…+口2。一lq2”2),

(Ⅱ)由(I)得厶一生#n。一(刀+1)(丢)”,所以

啡舭
万方数据

声.12

1945年9月2日,朝鲜三八线划分

L=2×吉+3×(丢)2+ 4בi1)3+…+(咒+1)(丢)”, 丢L=2×(丢)2+3ב虿I)3+ 4×(丢)4+…+(咒+1)(丢)抖l, 由①一@得IT.-----1+(1)2+(丢)3+…+




优化数学锯题的



。种孛识
◇河北丁继春

。丢,。一。咒+,,。{,。+,一,+互I半..1-.-i一


一道题目的难易,往往不在于题目本身,而在于 解题对象的思维意识,不同的解题意识产生的难易反 差非常大,有的难若攀山,有的易如反掌.笔者归纳了 优化解题的5种意识,望同学们熟练掌握、灵活运用. 1整体意识避繁求简

(咒+1)(丢)”+l—i3一万n+可3.
所以

L一3一尝,

L一鼎一3一字一鼎一
(行+3)(2”一2n一1) 2”(2以+1)


例1椭圆内鲁+告=1有一点P(1,1),一直线
经过点P与椭圆交于P。、P:2点,弦P,P:被点P平 分,求直线P。P。的方程. 分析遵循常规思路,只需求出直线P。P。的斜 率忌,用待定系数法写出直线P.Pz的点斜式与椭圆 方程联立消元后得一元二次方程,其2根为P。、P:2 点横坐标,利用中点坐标公式及韦达定理可得关于k 的方程,但运算量较大,可采用整体意识.解法如下: 解设P J(zl,yJ),P2(zz,y2),则等q-等=l,

于是确定L与蠹备的大小关系等价于比较2”
与2以+1的大小. 由2<2×l+1;22<2×2+1;23>2×3+1; 24>2×4+1;25>2×5+1;…可猜想当卵≥3时, 2”>2行+1.证明如下: 证法l(1)当n=3时,由上验算显示成立. (2)假设当n=k时,2k>2?志+1成立. 则当咒一k+l时,2外1=2?2‘>2(2k+1)一4k+2= 2(k+1)+1+(2是一1)>2(k+1)+1.所以当n=k+1 时猜想也成立.综合(1)和(2)可知,对一切规≥3的正 整数,都有2”>2"+1. 证法2当n≥3时, 2”一(1+1)”=C00+a1+暖+…+Q叫+q≥ Co+C:+e-1+C:一2n+2>2行+1. 综上所述,当竹2

警+警一1,两式相减得:
!兰!±丝!!兰!二丝2一_!羔!±丝2 1羔l二丝2一n “
3 2

又P为P1 P2中点,z1+z2—2,Y1+Y2—2,所以

‘垒鱼;型一一(y。一y:).南题意知z。≠z2,则志=

碧三芝=一号,故所求的直线为:了一1一一号(z一1),
即2z+3y一5—0.

’干

个\且

1,2时L<丢备,当竹≥3时

在观察与思考问题时,着眼结构的整体性, 可简化解题思路,有利于确定解题的突破

“一一2,z+1。

以上可以看出,同一年全国高考试题就有多道大 题考到同一知识点、同一解题重要方法,充分说明此 知识的重要性.因此这一知识与方法在学习中要给予 足够的重视,熟练掌握. (作者单位:福建省宁德市民族中学)

口,在学习中,我们应全面考虑问题,养成整体分析的 思维习惯,培养良好的思维品质,以优化其数学素质. 2联想意识化生为熟 例2

设口>o,且口≠1,Jf(z)一躺,求证
新怒化


1985年9月1日,“泰坦尼克”号残敢被发现.

万方数据

错位相减方法在高考数列求和中的重要应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 郑一平 福建省宁德市民族中学 高中数理化 GAOZHONG SHU-LI-HUA 2009,""(9) 0次

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gzslh200909009.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:bda0a71d-f523-4876-9545-9dcd00a364e7 下载时间:2010年8月9日


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