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高中数学必修4同步练习(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)(B卷)


高中数学必修 4 同步练习(2.1-2.2 平面 向量的概念及线性运算)(B 卷)
姓名______班级______学号______ 一.选择题(每题 5 分) 1.如右图四边形 ABCD 是平行四边形,则 A P

B

BC ? CD ? BA等于( ) ??? ? ??? ? A. BD B. AD C. AB D. AC<

br />D A C B

第 7 题图

C

第 13 题图

8.若 a 与 b 不共线,且 λa ? μb ? 0 (λ 、μ ? R ),则( A. a ? 0,b ? 0

?

?

?

? ?

?

??

?

)

C. λ ? 0,b ? 0 D. a ? 0,μ ? 0 9.下列命题中,错误的命题是 (A)在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则 ABCD 为 ? )

? ?

B.λ ? 0,μ ? 0

? ?

2.下列说法不正确的是(

A,在 a ? b ? a ? b 中,等号成立的充要条件是 a,b 反 向或 a,b 中至少有一个为 0 ;

?

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? ?

? ?

ba (B)已知 a, , ? b 为不共线向量,且 a ? b 平分 a 与 b
的夹角,则 | a |?|b|

???
?

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B,在 a ? b ? a ? b 中,等号成立的充要条件是 a,b 同向 或 a,b 中至少有一个为 0 ;

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? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? (D) AB ? BC ? AE ? DE ? CD ? 0

(C)已知 a 与 b 不共线,则 a ? b 与 a -b 不共线 10.若 M 为 ?ABC 的重心,则下列各向量中与 AB 共线 的是( ) A. AB ? BC ? AC B. AM ? MB ? BC C. AM ? BM ? CM D. AM ? AM ? AM ? AC 二.填空题(每题 5 分) 11.在平行四边形 ABCD 中, | AB ? AD |?| AB ? AD | , 则必有( ) A. AD ? 0 B. AB ? 0 或 AD ? 0 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形 12.若 AB ? 3e , CD ? ?5e ,且 | AD |?| BC | ,则四边 形 ABCD 是______. 13.(如图)在平行四边形 ABCD 中,

? ?

?

C,在 a ? b ? a ? b 中,等号成立的充要条件是 a,b 中

?

?

?

? ?

? 至少有一个为 0 ; ? ? ? ? ? ? ? D,已知向量 a,b 不共线,向量 c 满足 a ? b ? c ? 0 ,则向 ???
量 a,b,c 不一定能构成三角形. 3.已知点 E 在 ?ABC 所在的平面且满足

AB ? AC ? ? AE(? ? 0) ,则点 E 一定落在 A. BC 边的垂直平分线上 B. BC 边的中线所在的直线上 C. BC 边的高线所在的直线上 D. BC 边所在的直线上 4.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若

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??? ?

???? ??? ??? 1 ??? ? ? ? ??? ? AD ? 2 DB, ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( ) CD 3 2 1 1 2 A B C ? D ? 3 3 3 3
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uuu r ? ??? ? ???? ???? ? ? ? AB ? a, AD ? b,AN ? 3NC ,则 BN ? ______(用 a,b 表
?

示) ? ? 14.设向量 a 与 b 都不是零向量

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新疆奎屯
·2007·

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(1)若向量 a 与 b 同向,则 a ? b 与 a 的方向______, 且 a ? b ______ a ? b . (2)若 a 与 b 反向,且 a ? b ,则 a ? b 与 a 的方向_____ _, 且 a ? b ______ a ? b .

?

? ?
?

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?

?

5.已知 P,A,B,C 是平面内四点,且

PA ? PB ? PC ? AC ,那么一定有( ) A. PB ? 2 AP B. CP ? 2PB
C. AP ? 2 PB D. PB ? 2 AB 6.已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且

?

?

?

? ?

?

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?

?

?

? ? AD ? a , BE ? b ,则 AC 是 4? 2? 2? 4? (A) a ? b (B) a ? b 3 3 3 3 4? 2? 2? 4? (C) a ? b (D) a ? b 3 3 3 3

15.已知向量 OA , OB 不共线, OA ? a , OB ? b ,且

??? ??? ? ?

??? ?

? ??? ? ?
uuu r

??? ? ??? ??? ? ? AP ? t AB(t ? R) ,则 OP ? ______.

7.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP , 则( )

??? ??? ? ?

??? ?

16.在 VABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2DB , uuu 1 uur r uur 且 CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( ) 3

uuu r

17.已知四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2c,CD ? 5a ? 6b ? 8c , 对角线 AC、BD 的中点为 E、F,则向量 EF ? ______ . . ? ? ? ? ? a b ? 18.已知向量 p ? ? ? ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 a b
1

??? ? ?

? ??? ?

?

?

?

??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? A. PA ? PB ? 0 B. PB ? PC ? 0 ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? C. PC ? PA ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0
1

? ? p 的取值范围是

19.如图,已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC,CD 中点,AF 与 DE 相交于点 G,若 AB ? a , AD ? b ,则 GC 用 a, b 表示为______.
D G A B F E C

?? ?? 20. e1 、 e2 是两个不共线的向量,且
??? ? ?? ?? ??? ?? ? ? ?? ??? ? ?

AB ? 2e1 ? ke2 ,CB ? e1 ? 3e2 ,CD ? 2e1 ? e2 . 若 A、B、D 三点共线,则 k 的值为______.
三.解答题(每题 10 分)

?? ?? ?

24.如图所示,已知在矩形 ABCD 中, AD ? 4 3 ,设

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ?

? ? ? AB ? a,BC ? b,BD ? c .试求 a ? b ? c .

21.用平行四边形法则作不共线向量 a 、 b 的和,若要使

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b 平分 a 、 b 间的夹角,则 a 、 b 应满足什么条件?

22.在无风时,飞机的航速为 320km/h,现在飞机朝东飞 行,而风以 80km/h 的速度向北吹.求飞机的实际航速和 航向.

25.点 O 是梯形 ABCD 对角线的交点,

| AD | ? 4, | BC | ? 6, | AB | ? 2 .设与 BC 同向的单位向 ?? ? ? ? ? 量为 a0 ,与 BA 同向的单位向量为 b0 . ?? ?? ? ? (1)用 a0 和 b0 表示 AC, CD 和 OA ;
(2)若点 P 在梯形 ABCD 所在平面上运动,且| CP | ? 2 , 求 | BP | 的最大值和最小值.

23.如图所示,在

? b 表示向量 AD 、 AC .

ABCD 中,已知 AB ? a,DB ? b ,用 a 、

??? ? ??? ? ? ?

?

2

2

高一数学必修 4 同步练习(平面向量的 概念及线性运算)(B 卷)参考答案 一.选择题(每题 5 分)
1.B 2.D 3.B 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 二.填空题(每题 5 分) 11.C 12.等腰梯形 13.

∴ AD ? a-b . 由于四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AC ? AB ? AD ? a ? a ? b . 24.【解答】? a+b+c ? AB ? BC ? BD ? AC ? BD . 延长 BC 至 E,使 CE ? BC ,连 DE. 由于 CE ? BC ? AD , ∴四边形 ACED 是平行四边形, ∴ AC ? DE , ∴ AC ? BD ? DE ? BD ? BE , ∴ a+b+c ? BE ? 2 ? BC ? 2 ? AD ? 8 3 . 25.【解答】(1)由题意知 BC ? 6 a0 , BA ? 2 b0 , ∴ AC ? BC ? BA ? 6 a0 - 2 b0 ; ∵ AD// BC ,∴ AD ? 4 a0 ,

??? ?
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? ? ? ??? ??? ??? ? ? ?

??? ??? ? ?

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3 1 b? a 4 4

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14.(1)相同; a ? b ? a ? b 15. (1 ? t )a ? tb 16.
2 3

? ?

?

?

?

?

(2)相同, a ? b ? a ? b

? ?

?

?

则 CD ? CA ? AD ? 2 b0 -6 a0 +4 a0 = 2 b0 - 2 a0 ; ∵ AD // BC ,∴ | OA | : | OC | ? | AD | : | BC | ? 2 : 3 ,
2 2 则 OA ? ? 5 AC ? ? 5 (6 a0 - 2 b0 )= ? 12 a0 ? 5

?? ?

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?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

4 5

?? ? b0

(2)知点 P 是在以点 C 为圆心,3 为半径的圆周上运动, ∴由几何意义即得| BP | 的最大值和最小值分别应该为 8 和4

17. 3a ? 3b ? 5c 18.[0,2] 19.

?

?

?

3? 1? a? b 5 5

20.-8 三.解答题(每题 10 分) 21.【解答】在平行四边形 ACBO 中,

??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? b ∵ a ? b 平分 a 、 间的夹角等价于 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ,
令 OA ? a , OB ? b ,则 OC ? a ? b , 故 ?OAC 为等腰三角形, 即 OA ? AC ,又 AC ? OB ,

??? ?

??? ?

b ∴ a ? b 为 a、 应满足的条件.
22.【解答】 飞机的实际速度是飞机速度与风速的向量和, 飞机的实际航速是 330km/h,航向是北偏东 75°58′. 23.【解答】由于 AD ? AB ? BD ,而 BD ? ?b ,
3 3

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??? ?

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