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红对勾文科数学4-4


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必考部分·第四章

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第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第四节 数系的扩充与复数的引入

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第四章·第四节

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考纲解读 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法和几何意义, 会进行复数代数形式的四则 运算. 3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

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第四章·第四节

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考情剖析 1.以选择题的形式考查复数的概念及其几何意义. 2.以选择题或填空题的形式考查复数的代数运算,特别是除法运 算.

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第四章·第四节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0 ,则 a+bi 为实数,若

b≠0 ,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0 ,则 a+bi 为纯虚
数. (2)复数相等:a+bi=c+di? a=c,b=d (a ,b,c,d ∈R).

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第四章·第四节

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(3)共轭复数:a+bi且c+di共轭? a=c,b=-d (a, b,c,d∈R). → (4)复数的模:向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi的模,即
2 2 |z|=|a+bi|= a +b .

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1.复数a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0 吗? 提示:不是,a=0是a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要条 件,只有当a=0,且b≠0时,a+bi才为纯虚数. 2.任意两个复数能比较大小吗? 提示:不一定,只有这两个复数全是实数时才能比较 大小.

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2.复数的几何意义 → 复数z=a+bi与复平面内的点 Z(a,b) 与平面向量 OZ =(a,b)是一一对应的关系.

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3.复数的运算 (1)运算法则:设 z1=a+bi,z2=c+di,a、b、c、d∈ R.

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(2)几何意义: 复数加减法可按向量的平行四边形或三角 形法则进行.如下图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地

→ → → → 反映出复数加减法的几何意义,即 OZ= OZ1+OZ2 , Z1Z 2 → → OZ - OZ 2 1 . =

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3.z1、z2是复数,z1-z2>0,那么z1>z2,这个命题是真 命题吗? 提示:假命题.例如:z1=1+i,z2=-2+i,z1-z2= 3>0,但z1>z2无意义,因为虚数无大小概念.
2 4.若z1,z2∈R,z 2 1 +z 2 =0,则z1=z2=0,此命题对

z1,z2∈C还成立吗?
2 提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足z 2 1 +z 2 =0.但

z1≠0,z2≠0.
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i-2 1.复数 =( 1+2i A.i 4 3 C.-5-5i

) B.-i 4 3 D.-5+5i

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i-2 ?i-2??1-2i? 5i 解析: = = =i. 1+2i ?1+2i??1-2i? 5
答案:A

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10i 2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为( 3+i A.(1,3) C.(-1,3) B.(3,1) D.(3,-1)

)

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10i?3-i? 10?1+3i? 10i 解析:由 = = =1+3i得,该 10 3+i ?3+i??3-i? 复数对应的点为(1,3),选A.
答案:A

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第四章·第四节

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2+mi 3.复数z= (m∈R)是纯虚数,则m=( 1+i A.-2 C.1 B.-1 D.2

)

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2+mi ?2+mi??1-i? ?2+m?+?m-2?i 解析:由于z= = = 2 1+i ?1+i??1-i? 是纯虚数,因此2+m=0,m=-2,选A.
答案:A

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3+i 4. +(3+i)(1-i)=________. 1-i
?3+i??1+i? 2+4i 2 解析:原式= +(3-3i+i-i )= 2 +(4 ?1-i??1+i? -2i)=(1+2i)+(4-2i)=5.

答案:5

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5.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的 模为________.
6+4i 解析:∵z(2-3i)=6+4i,∴z= , 2-3i 2|3+2i| ∴|z|= =2. |2-3i|

答案:2

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复数的有关概念

【例1】 +yi=( )

(1)若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x

A.-2+i C.1-2i

B.2+i D.1+2i

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1+ai (2)设i是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数a为 2-i ( ) A.2 1 C.-2 B.-2 1 D.2 1+ai (1)由复数相等定义,求x+yi;(2)将 化为 2-i m+ni(m,n∈R)的形式,用纯虚数定义求a的值.

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【解析】

(1)因为(x-i)i=y+2i,所以xi+1=y+2i,

又x,y∈R,由复数相等的定义, ∴x=2,y=1;因此x+yi=2+i. 1+ai 1+ai 2+i 2-a+?2a+1?i (2) = · = , 5 2-i 2-i 2+i 1+ai ∵ 是纯虚数,且a∈R, 2-i
? ?2-a=0, ∴? ? ?2a+1≠0,

∴a=2.

【答案】 (1)B (2)A
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?1?复数的分类与对应点的位置都可以从复数z的实部、虚部 两个方面施加影响,因此只需把复数化为代数形式,进而 列出实部、虚部满足的方程?不等式?组. ?2?利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化,解题 时要把等号两边的复数化为标准的代数形式.

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(1)已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取 值范围是( A.(1,5) C.(1, 5) ) B.(1,3) D.(1, 3)

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- (2)设复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 z =a-bi, - 则z- z 为( A.实数 C.0 ) B.纯虚数 D.零或纯虚数

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解析:(1)由题意,z=a+i,故|z|= a2+1, ∵0<a<2,∴1<a2+1<5, 从而1< a2+1< 5, 即1<|z|< 5. - (2)∵z- z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, - - 当b=0时,z- z 为0;当b≠0时,z- z 为纯虚数.
答案:(1)C (2)D

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复数的几何意义

【例2】

(1)(2013· 四川卷)如图所示,在复平面

内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是 ( )

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A.A C.C

B.B D.D

2i (2)(2013· 湖北卷)在复平面内,复数z= (i为虚数单 1+i 位)的共轭复数对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

(1)A与共轭复数对应的点关于实轴对称;(2)先 化简z,再结合几何意义去解.

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【解析】

(1)A与其共轭复数关于实轴对称,故选B.

2i?1-i? 2i (2)z= = =1+i,从而 z =1-i对应点为 1+i ?1+i??1-i? (1,-1)位于第四象限.
【答案】 (1)B (2)D

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复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向 量、解析几何有机地结合在一起,能够更加灵活地解决问 题.高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的 位置、加减法的几何意义、模的意义等.

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1+i 2 012 (1)复数 +i 对应的点位于复平面内的第________ 1-i 象限. (2)(2013· 广东卷)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面 内,z对应的点的坐标是( A.(2,4) C.(4,-2) )

B.(2,-4) D.(4,2)

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1+i 2 解析:(1) +i 1- i 面内第一象限.

012

=i+1,故对应的点(1,1)位于复平

2+4i ?2+4i?i (2)由iz=2+4i得:z= i = =4-2i,对应点 -1 为(4,-2),故选C.
答案:(1)一 (2)C

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复数的运算

【例3】

2 (1)已知复数z=1+i,则 z -z=________.

3+i (2)已知复数z= , z 是z的共轭复数,则z· z ?1- 3i?2 等于( 1 A.4 ) 1 B.2 C.1 D.2

首先复数的分母实数化,然后进行代数运 算
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【解析】

2 2 (1)∵z=1+i,∴ z -z= -(1+i) 1+i

=(1-i)-(1+i)=-2i. 3+ i 3+i -1 (2)z= 2= 2 2= ?1- 3i? ?-i? ? 3+i? 3+i - ? 3- i ? - 3+i - 3-i = = ,因此 z = , 4 4 ? 3+i?? 3-i? - 3+i - 3-i 4 1 ∴z· z = 4 · 4 =16=4. 【答案】 (1)-2i (2)A

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2 2 (1)设z=1+i(i是虚数单位),则 z +z = ( A.-1-i C.1-i B.-1+i D.1+i

)

(2)已知z0=3+2i,复数z满足z· z0=3z+z0,则复数z= ________.

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2?1-i? 2 2 2 2 解析:(1)∵z=1+i,∴ z +z = +(1+i) = 2 1 +i +2i=1+i. (2)由z· z0=3z+z0,且z0=3+2i, ∴3z+2i· z=3z+3+2i, 3+2i 3 3 故z= 2i =1+2i=1-2i.
3 答案:(1)D (2)1-2i

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1.复数的分类 对复数z=a+bi(a,b∈R),当b=0时,z为实数;当 b≠0时,z为虚数;当a=0,b≠0时,z为纯虚数.

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2.复数的运算技巧 (1)设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和相关性质将 复数问题实数化是解决复数问题的常用方法. (2)在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按 多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.

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3.复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计 算速度. 1+ i 1-i (1)(1± i) =± 2i; =i ; =-i; 1- i 1+i
2

(2)-b+ai=i(a+bi); (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+
+ + + +

i4n+2+i4n+3=0,n∈N*.

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提升素养·破难点
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思想方法指津(八) 用待定系数法解决复数问题 【典例】 -6i,求x,y. 已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4

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审题视角 (1)x,y为共轭复数,可用复数的基本形式表示出来; (2)利用复数相等,将复数问题转化为实数问题.

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规范解答 设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+ b2 , 代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得
2 ? ?4a =4, ? 2 2 ? - 3 ? a + b ?=-6, ?

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规范解答
? ?a=1 解得? ? ?b=1 ? ?a=1 或? ? ?b=-1 ? ?x=1+i ? ? ?y=1-i ? ?a=-1 或? ? ?b=1 ? ?a=-1 或? ? ?b=-1

.

故所求复数为
? ?x=-1-i ? ? ?y=-1+i



? ?x=1-i ? ? ?y=1+i



? ?x=-1+i ? ? ?y=-1-i



.

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(1)复数问题要把握一点,即复数问题实数化,这是 点 解决复数问题最基本的思想方法. 拨 (2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出 提 来,再用待定系数法求解.这是常用的数学方法. 升 (3)本题易错原因为想不到利用待定系数法,或不能 将复数问题转化为实数方程求解.

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1.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z =a+bi(a,b∈R),则复数z等于( A.2+2i C.2-2i B.-2+2i D.-2-2i )

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解析:根据题意b2+(4+i)b+4+ai=0,则b2+4b+4 +(a+b)i=0,所以b2+4b+4=0且a+b=0,所以a=2,b =-2.故选C.
答案:C

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2.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位), 复数z2的虚部为2,z1· z2是实数,求z2.
1-i ?1-i?2 解:(z1-2)(1+i)=1-i?z1-2= = =- 1+i ?1+i??1-i? i?z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R,则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a +2)+(4-a)i,∵z1z2∈R,∴4-a=0,∴a=4,故z2=4+ 2i.

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