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2.1.2指数函数及其性质


指数函数及其性质

学习目标:
1理解指数函数的概念并解简单的函数问题 2能画出指数函数的图象

重点:指数函数的性质及图象

难点:利用函数图象解决问题

课题导入

某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成 2个,第2次由2个分裂成4个,如此下 去,如果第x次分裂得到y个细胞,那么 细胞个数y与分裂次数x的函数关系是什 么?

分裂
次数 一 个 细 胞

x

第 一 次

第 二 次

第 三 次

第 四 次

第x次

表达式

y=2
细胞 总数

x

… .. .

y 2

1

2

2

2

3

2 …...
4

2

x

设问1:像 y ? 2 x这样的函数与我们学过的
y=x? ,y=x-1这样的函数一样吗?有 什么区别?
答:不一样。前一个函数的自变量在 指数位置上,而底数为常数;后三个 函数的自变量在底数位置上,指数为 常数。

指数函数的定义:
x y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 一般地,函数 叫做指数函数,其中 x 是自变量, 函数的 定义域是 R。

为什么要规定a>0,且a

?

1呢?

①若a=0,则当x<0时, a
当x

x

?

=0;

0时,a x 无意义.

②若a<0,则对于x的某些数值,可使
x

1 如 y ? (?2) 在x ? 时就没有意义 。 2

a

x

无意义.

③若a=1,则对于任何x ? R, x a =1,是一个常量,没有研究的必要性. 为了便于研究,规定:a>0 ,且a≠1

判断一个函数是否为指数函数的依据:

1是否是形如 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的函数。
x

2 其中系数是否为1,且在指数位置上是自 变量x。 3满足

a ? 0且a ? 1

识记与理解 ? 练习:
(口答)判断下列函数是不是指 数函数,为什么?

(1) y ? ax(a ? 0且a ? 1) ( 2) y ? x
1 3

1 x (3) y ? ( ) 3 x (4) y ? (?3) (5) y ? 1
x ?x



(6) y ? a (a ? 0且a ? 1) (7 ) y ? 2 ? 3 x



例6 已知指数函数f(x) ? a ?a ? 0, 且a ? 1?的 图象经过点(3, π), 求f(0), f(1), f(-3)。
x

解:因为 f ? x ? ? a x 的图像经过点(3,π),所以

即 a ? ? , 解得 a ? ? , 于是
3

1 3

f ? x? ? ?
f ? x? ? ?
1 3
x 3

所以,f ? 0 ? ? ? 0 ? 1, f ?1? ? ? ? 3 ? , f ? ?3? ? ? ?1 ?

1

?

.

待 定 系 数 法

10

*

设问2:得到函数的图象一般用什

么方法?
列表、描点、连线作图
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象:

y?2
y?2
x
x
x

x

列表如下:
… -2 … 0.25 -1 0.5

?1? y?? ? ?2?
0 1

x

1 2

2 4

… …

?1? y?? ? ?2?

… 4

2

1

0.5

0.25



8

7

f?x? =

x 2

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

练习:
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象:

y ? 3x

?1? y?? ? ?3?

x

列表如下:
x … … -2 0.1 -1 0.3 3 0 1 1 1 3 0.3 2 9 0.1 … … …

y ? 3x
x

?1? … 9 y?? ? ?3?

x

… -2 … 0.1
x

-1 0.3 3

0 1 1

1
16

2 9 0.1

… … …

y ? 3x

3 0.3
14 12

?1? … 9 y?? ? ?3?

10

1x g?x? = 3

()

8

6

f?x? =

x 3

4

2

-10

-5

5

10

通过作图,我们发现 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图象 大致分两种类型,即0<a<1和a>1,图象如 下: y ? ax
x

y

y ? ax

? a ? 1?

? 0 ? a ? 1?

y

y=1 (0,1) 0 x y=1 0

(0,1)

x

小结:
1.本节课学了哪些知识? 指数函数的定义

指数函数的图象
2.记住两个基本图形:
Y ? (0.5) x

y
Y ? 2x
1
y=1

o

x

1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是(

)

A. y ? (?4) B. y ? ? x C. y ? ?4 D. y ? a
2. 函数
x x?2

x

(a ? 0且a ? 1)
2 x

y ? (a ? 3a ? 1) ? a

是指数函数,则a=_____

1x x ( ) q?x? = h ? x ? = 3 3
6 5 4

1x g?x? =( ) 2

3

f?x? =

x 2

2

1

-4

-2

2

4


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