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选修1-2:第三章复数测试题(2)


选修 1-2:第三章复数测试题(2)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.方程 2z+|z|=2+6i 的解的情况是 A.没有解 B.只有一解 ( C.

有两解 D.多于两解 ( ) )

2.已知 z=x+yi(x,y∈ R),且 2x? y ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,则 z= A.2+i B.1+2i 3.下列命题中正确的是 A.任意两复数均不能比较大小; 4.设 f (n) ? ( C.2+i 或 1+2i D.无解

( B.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;



C.复数 z 是纯虚数的充要条件是 z+ z =0; D.i+1 的共轭复数是 i-1;

1? i n 1? i n ) ?( ) (n ? N ) ,则集合 ?x x ? f (n)?中元素的个数是 1? i 1? i
D.无穷多个





A.1 B.2 C.3 2 2 2 5.使不等式 m -(m -3m)i<(m -4m+3)i+10 成立的实数 m A.1 B.0 C.3

( ) D.复数无法比较大小 )

6.设复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? ,则满足等式 z ? 2 ? x ? 0 的复数 z 对应的点的轨迹是 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 (

7.若非零复数 x, y 满足 x2 ? xy ? y 2 ? 0 ,则 (

x 2005 y 2005 ) ?( ) 的值是 x? y x? y
C. 2
2004



A.1

B. ? 1

D. ?2

2004

8. 如图所示, 复平面内有 RtΔ ABC, 其中∠BAC=90°, 点 A、 B、 C 分别对应复数 z、z 、z , 且 z =2,则 z=( A. ? 3 ? i ) A B. 3 ? i y

2

3

z
z2 O z3
x

C. ? 1 ? 3i

D. 1 ? 3i

B

C ( )

9.复数 z 1 =a+2i,z 2 =-2+i,如果|z 1 |< |z 2 |,则实数 a 的取值范围是

A.-1<a<1 B.a>1 C.a>0 D.a<-1 或 a>1 10.如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值为______. A.1 B. 2 C.2 D. 5

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 2 2 11.已知关于 x 的实系数方程 x -2ax+a -4a+4=0 的两虚根为 x1、x2,且|x1|+|x2|=3,则 a 的值为 .
1

12.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈ R,求 x= 2 3 2005 13.i+i +i +……+i = . 14.已知 x、y、t∈ R,t≠-1 且 t≠0,求满足 x+yi=

, y=



t 1? t ?( )i 时,点(x, y)的轨迹方程 1? t t

. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)设|z 1 |=5,|z 2 |=2, |z 1 - z2 |= 13 ,求

z1 的值. z2

16. (12 分)当 m 为何实数时,复数 z= 是虚数; (3)是纯虚数.

2m2 ? 3m ? 2 +(m2+3m-10)i; (1)是实数; (2) 2 m ? 25

17. (12 分) 求同时满足下列条件的所有复数 z:(1) z ? 的实部和虚部都是整数.

10 10 ? 6. 是实数, 且1 ? z ? (2)z z z

18. (12 分)设复数|z-i|=1, 且 z?0, z?2i. 又复数 w 使

w z ? 2i ? 为实数,问复数 w 在 w ? 2i z

复平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形,并说明理由.

19. (14 分)设虚数 z1,z2,满足 z1 ? z2 . (1)若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根,求 z1, z2. (2)若 z1=1+mi(i 为虚数单位,m∈R), | z1 |?

2

2 ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围.

20. (14 分)已知:A、B 是 ? ABC 的两个内角, m ? cos
?

?

A? B ? 5 A? B ? i? sin j 2 2 2

其中 i 、 j 为相互垂直的单位矢量.若 | m | =
2

?

?

3 2 ,试求 tanA· tanB 的值. 4

参考答案
一、1.B; 2.C;解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法. ∵ 2
x? y

? 2x? y ? 8 ? 0 ?x ? y ? 3 ,∴? , ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,∴? ? xy ? 2 ?log 2 x ? 1 ? log 2 y

解得 ?

?x ? 2 ? x ? 1 或? , ∴z=2+i 或 z=1+2i. ? y ?1 ?y ? 2

诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程) 3.B;
n n 4. C; 解析: ∵ f (n) ? i ? (?i) ∴ f (1) ? 0, f (2) ? ?2, f (3) ? 0 , f (4) ? 2,? , ∴ 集

合 x x ? f (n) 中的元素为 ? 2,0,2 ,选 C. ; 5.C;解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法. ∵m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10, 且虚数不能比较大小,

?

?

? m2 ? 10 ? | m |? 10 ? 2 ? ∴?m ? 3m ? 0 ,解得 ?m ? 0或 m ? 3 ,∴m=3. ? 2 ?m ? 3或 m ? 1 ? ? m ? 4m ? 3 ? 0
当 m=3 时,原不等式成立. 诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件. 6.D;7.A;8.C; 9.A;利用复数模的定义得 a 2 ? 22 < 5 ,选 A; ; 10.A;由复数模几何意义利用数形结合法求解,选 A;

1 5 ;12.x= , y=4; 2 2 13.i;解:此题主要考查 in 的周期性. i+i2+i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003+i2004)+i2005
二、11.
3

=(i-1-i+1)+ (i-1-i+1)+……+(i-1-i+1)+i=0+0+……+0+i=i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住 in 的周期及合理分组. 14.xy=1;解:此题主要考查复数相等的充要条件,轨迹方程的求法.

t ? x? ? t 1? t ? 1? t ?( )i ,∴ ? ∵x+yi= , ∴ xy=1, 1? t t ? y ? 1? t ? t ?
∴ 点(x,y)的轨迹方程为 xy=1,它是以 x 轴、y 轴为对称轴,中心在(0,0)的等轴双曲线. 三、 15. 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义,将复数问题用几何图形帮助求解. 【解】 如图,设 z 1 = OA 、z 2 = OB 后,则 z1 = OC 、 z2 = OD 如图所示.

5 z1 由图可知,| |= ,∠AOD=∠BOC,由余弦定理 2 z2
得:

y O

A
D B C x

4 52 ? 22 ? ( 13 )2 cos∠AOD= = 5 2×5× 2


3 z1 5 4 3 = ( ± i)=2± i 2 z2 2 5 5

【另解】设 z 1 = OA 、 z2 = OD 如图所示.则| 且

z1 z2

|=

5 , 2

y O

A
D x

4 3 52 ? 22 ? ( 13 )2 cos∠AOD= = ,sin∠AOD=± , 5 5 2×5× 2
所以

z1 z2



5 4 3 3 3 z1 ( ± i)=2± i,即 =2± i. 2 5 5 2 2 z2

【注】本题运用“数形结合法” ,把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几 何意义等都表达得淋漓尽致,体现了数形结合的生动活泼. 一般地,复数问题可以利用复 数的几何意义而将问题变成几何问题, 16.解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法. (1)z 为实数,则虚部 m2+3m-10=0,即 ?

? m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ? m 2 ? 25 ? 0



解得 m=2,∴m=2 时,z 为实数. (2)z 为虚数,则虚部 m2+3m-10≠0,即 ?

? m 2 ? 3m ? 10 ? 0 ?
4

m 2 ? 25 ? 0



?2m2 ? 3m ? 2 ? 0 ? 解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时,z 为虚数. ?m 2 ? 3m ? 10 ? 0 , ? 2 ? m ? 25 ? 0
解得 m=-

1 1 ,∴ 当 m=- 时,z 为纯虚数. 2 2

诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注 意分母不为零这一要求. 17.分析与解答: 设 z=a+bi (a,b∈R,且 a2+b2≠0).

10 10 10(a ? bi ) ? a ? bi ? ? a ? bi ? 2 z a ? bi a ? b2 10 10 ? a(1 ? 2 ) ? b(1 ? 2 )i 2 a ?b a ? b2 10 10 ? 6, 由(1)知 z ? 是实数,且 1 ? z ? z z 10 ) ? 0 即 b=0 或 a2+b2=10. ∴ b(1 ? 2 2 a ?b 10 )?6 * 又 1 ? a (1 ? 2 a ? b2 10 ? 6 无解. 当 b=0 时,*化为 1 ? a ? a 1 当 a2+b2=10 时,*化为 1<2a≤6, ∴ ? a ? 3 . 2 由(2)知 a=1,2,3.
则z? ∴ 相应的 b=±3, ± 6 (舍),±1, 因此,复数 z 为:1±3i 或 3±i. 此题不仅考查了复数的概念、运算等,同时也考查到了方程、不等式的解法. 18.分析与解答:设 z=a+bi, w=x+yi (a,b, x,y∈R). 由题 z≠0, z≠2i 且|z-i|=1, ∴ a≠0, b≠0 且 a2+b2-2b=0.

记u ?

w z ? 2i ? w ? 2i z x ? yi a ? bi ? 2i ? ? x ? yi ? 2i a ? bi ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ) ? 2 xi (a 2 ? b 2 ? 2b) ? 2ai ? x 2 ? ( y ? 2) 2 a2 ? b2 ( x 2 ? y 2 ? 2 y ) ? 2 xi ? 2ai ? 2 x 2 ? ( y ? 2) 2 a ? b2

已知 u 为实数,
5



x 2 ? y 2 ? 2 y ? 2a ? ? 0, x 2 ? ( y ? 2) 2 a 2 ? b 2

∵a≠0, ∴ x2+y2-2y=0 即 x2+(y-1)2=1. ∴w 在复平面上所对应的点 Z 的集合是以(0, 1)为圆心,1 为半径的圆. 又∵ w-2i≠0, ∴除去(0, 2)点. 此题中的量比较多,由于是求 w 对应点的集合,所以不妨设 w 为 x+yi(x,y∈R), z=a+bi(a,b∈R).关于 z 和 w 还有一些限制条件,这些都对解题起着很重要的作用,千万 不可大意. 19.分析与解答: (1)∵z1, z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根,因此必共轭, 可设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=a-bi, 由 z1 ? z2 得(a+bi)2=a-bi 即: a2-b2+2abi=a-bi 根据复数相等, ?
2

?a 2 ? b 2 ? a ?2 ab ? ?b

1 ? a?? ? 2 ? ∵b≠0 解得: ? ?b ? 3 ? 2 ?



1 ? a?? ? 2 ? , ? ?b ? ? 3 ? 2 ?

? 1 ? z1 ? ? ? ? 2 ∴ ? ?z ? ? 1 ? 2 ? 2 ?
2

3 i 2 或 3 i 2

? 1 ? z1 ? ? ? ? 2 ? ?z ? ? 1 ? 2 ? 2 ?

3 i 2 . 3 i 2

(2)由于 z 1 ? z 2 ,z1=1+mi, w=z2+3, ∴w=(1+mi)2+3=4-m2+2mi. ∴ | w |? 由于 | z 1 |?

(4 ? m 2 ) 2 ? 4m 2 ? (m 2 ? 2) 2 ? 12 ,

2 且 m≠0, 可解得 0<m2≤1,
(u ? 2) 2 ? 12 ,

令 m2=u, | w |?

在 u∈(0,1)上,(u-2)2+12 是减函数,∴ | w |?[ 13, 4) . 复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度,但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复 数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容,并且还可以与其它的数学知识相结合. 20.讲解:从化简变形| m |入手.
6
?

| m |2=( m )2=( cos = cos
2

?

?

A? B ? 5 A? B ? 2 i? sin j) 2 2 2

A? B 5 A? B ? ? sin 2 2 4 2 1 ? cos( A ? B) 5 1 ? cos( A ? B) ? ? = , 2 4 2 1 ? cos( A ? B) 5 1 ? cos( A ? B) 9 ? ? = , ? 2 4 2 8 5 ? cos(A-B)= cos(A+B). 4 4 cosA· cosB+4sinA· sinB=5cosA· cosB–5sinA· sinB, sinB= cosA· cosB. ? 9sinA· 又? A、B 是 ? ABC 的内角, 1 cosB ? 0 , tanB= . ? cosA· ? tanA· 9
说明:本题将复数、三角、向量溶为一体,综合性较强.

7


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