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高中数学直线方程公式


直线方程公式
1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α (00≤α <1800), ②若直线过点 P ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x2 , y2 ) 两点. 1 则 k=tanα (α ? 则k ?
y2 ? y1 x2 ? x1

? ) 2

解题时,要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点 P1(x1,y1)

2(x2,y2)的中点 ,P P0(x0,y0) ,则 x0=(x1+ x2)/2,y0=(y1+ y2)/2。 2.方向向量坐标 :
1 x2 ? x1

pp
1

2

?

1 x2 ? x1

?x ? x , y ? y ? ? ?1, k ?
2 1 2 1

3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则 l1∥l2 充要条件是 k1=k2,且 b1≠b2。 (2)若 l1:x=x1, l2:x=x2,则 l1∥l2 充要条件是 x1≠x2。 (3)不重合的两条直线 l1、l2 倾斜角分别为α 1、α 2,则 l1∥l2 充要条件是α 1=α 2。 (4)l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,则 l1∥l2 充要条件是 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0) l1 || l2 ? 。 【2】两直线垂直的判断 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则 l1⊥l2 充要条件是 k1·k2=-1。 (2)若 l1 的斜率不存在,则 l1⊥l2 充要条件是 l2 的斜率为零。 (3)两条直线 l1、l2 倾斜角分别为α 1、α 2,则 l1⊥l2 充要条件是 a 1 - a 2 =900。 (4)l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,则 l1⊥l2 充要条件是 A1A2+B1B2=0。 【3】两直线相交的判断 (1)两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 (2)两直线斜率存在时,斜率不等是两直线相交的充要条件。 (3)两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。 (4)直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,则 A1B2-A2B1≠0 是两直线相交的 充要条件。
A1 B 1 C 。 ? 1 ? A2 B2 C2

【4】两直线重合的判断 当两直线斜率与截距都相等时,它们必定重合;当 A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0(或 A1C2-A2C1=0)时,两直线重合。 4..直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 5.“到角”及“夹角”公式 : (1)夹角公式( l1 与 l 2 的角) (1) tan ? ?|
k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) (2) tan ? ?|
A1 B2 ? A2 B1 |. A1 A2 ? B1 B2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 (2) l1 到 l 2 的角公式 (1) tan ? ?
k2 ? k1 . 1 ? k2 k1

? . 2

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) (2) tan ? ?
A1 B2 ? A2 B1 . A1 A2 ? B1 B2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

? . 2

6.对称问题 【1】关于点对称问题 (1)求已知点关于点的对称点 P(x1,y1)关于点 Q(x0,y0)的对称点为(2 x0- x1,2 y0- y1) 。 (2)直线关于点的对称直线 设 l 的方程为:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点 P(x0,y0) ,求 l 关于 P 点的对称直线方 程。设 P1(x1,y1)是对称直线 l1 任意一点,它关于 P(x0,y0)的对称点(2 x0- x1,2 y0- y1) 在直线 l 上,代入得 A(2 x0- x1)+B(2 y0- y1)+C=0,即 Ax1+By1+C1=0 为所求对称直线的 方程。与已知方程平行。 常见和对称结论有:设直线 l:Ax+By+C=0: ※l 关于 x 轴的对称直线是 Ax+B(-y)+C=0 ※l 关于 y 轴的对称直线是 A(- x)x+By+C=0 ※l 关于原点的对称直线是 A(- x)x+B(-y)+C=0 ※l 关于 y=x 的对称直线是 Bx+Ay+C=0 ※l 关于 y=-x 的对称直线是 A(-y)+B(- x)+C=0 【2】关于直线对称问题 (1)点关于直线的对称点 ※设 P(x0,y0) ,l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0) ,若 P 关于 l 的对称点的坐标 Q 为(x,y) ,
? y ? y0 ? A ? ? x ? x ? ? ? B ? ? ?1 ? ? ? 0 则 l 是 PQ 的垂直平分线, PQ⊥l, 的中点在 l 上, 即 PQ 解方程组 ? ? A ? x ? x0 ? B ? y ? y 0 ? C ? 0 ? 2 2 ?

可得 Q 点坐标。 ※点 A(x,y)关于直线 x+y+c=0 的对称点 A1 的坐标为(-y-c, -x-c) ,关于直线 x-y+c=0 的对称点 A2 的坐标为 (y-c, x+c) 曲线 (x,y) 关于直线 x+y+c=0 的对称曲线为 (-y-c, -x-c) , f =0 f =0,关于直线 x-y+c=0 的对称曲线为 f(y-c, x+c)=0。 ※一般地,点 A(a,b)关于 x 轴的对称点的坐标为 A1(a,-b) ,关于 y 轴的对称点的坐 标为 A2(-a,b) ,关于 y=x 轴的对称点的坐标为 A3(b,a) ,关于 y=-x 轴的对称点的坐标为 A4 (-b,a)关于 x=m 轴的对称点的坐标为 A(2m-a,b)关于 y=n 轴的对称点的坐标为 A(a,2n-b) , , 。 5 6 (2)直线关于直线的对称直线 若直线 a、b 关于直线 l 对称,它们具有下列几何性质:

※若 a、b 相交,则 l 是 a、b 夹角的平分线; ※若点 A 在直线 a 上,那么点 A 关于直线 l 的对称点 B 一定在直线 b 上,这时,AB⊥l 且 AB 中点 D 在 l 上; ※a 以 l 为轴旋转 1800 一定与 b 重合。 7、两点间的距离公式 若点 A x1 , y

?

2

?

, B
2

?x , y ?
2 2
1 2 1

则 AB ?

?x ? x , y ? y ?
2



终点坐标-始点坐标
2

AB ?

?x2? x1? ? ?y2? y1?
x ?y
2 2

若 a ? ?x, y ? ? a ? 8.点到直线间的距离公式

点p

?x , y ?到
0 0

l : Ax+By+C=0 的距离为
A x0 ? B y ? C
0

d?

A ?B
2

2

点到几种特殊直线的距离: ※点 P(x0,y0)到 x 轴的距离 d= y 0 , ※点 P(x0,y0)到 y 轴的距离 d= x0 , ※点 P(x0,y0)与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d= y 0 ? a , ※点 P(x0,y0)与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d= x0 ? b 。 9.平行线间的距离公式

l : Ax ? By ? C
1

1

?0



l

2

: Ax ? By ? C 2 ? 0

?c ? c ?
1 2

的距离为 d ?

c ?c A ?B
1 2 2

2

10.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程: 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ), 其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数.

(2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直 线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.

11、求最大值与最小值 在直线 l 上求一点 P 使 PA ? PB 取得最小值时, “同侧对称异侧连”,即两点位于直线 的同侧时,作其中一个点的对称点;两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可。 在直线 l 上求一点 P 使 PA ? PB 取得最大值时, “异侧对称同侧连”。


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