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2013高中数学总复习课件:椭圆


(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆 锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用. (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准 方程及简单几何性质(范围、对称性、顶 点、离心率).

(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准 方程,知道它们的简单几何性质(范围、对称 性、顶点、离心率、渐近线). (4)了解抛物线的定义、几何图形和标准 方程,知道它们的简单几何性

质(范围、对称 性、顶点、准线、离心率). (5)理解直线与圆锥曲线的位置关系;了 解圆锥曲线的简单应用. (6)理解数形结合的思想.

圆锥曲线是高中数学主干知识——平面 解析几何的又一核心内容,考查题型广泛, 形式多样,难易题均有涉及.小题主要以椭 圆、双曲线、抛物线的定义,标准方程和几 何性质为主;大题主要考查直线与椭圆的位 置关系,抛物线的几何性质及焦点弦问题, 内容涉及交点个数问题,有关弦的中点问题 及弦长问题,相交围成三角形的面积问题等.

在解题过程中计算占了很大的比重,对运 算求解能力有较高的要求,计算要根据题目中 曲线的特点和相互之间的关系进行,合理利用 曲线的定义和性质将计算简化,讲求运算的合 理性,如“设而不求”,“整体代换”等.试题 淡化对图形性质的技巧处理,关注解题方向的 选择及计算方法的合理性,适当关注与向量, 解三角形,函数等知识的交汇,关注对数形结 合,函数与方程,化归与转化,特殊与一般思 想的考查,关注对整体处理问题的策略,以及 待定系数法,换元法等的考查.

预计2011年高考在本章的小题考查重 点是椭圆,双曲线,抛物线的定义,标准 方程和几何性质,特别是椭圆的离心率问 题,大题综合考查直线与椭圆的位置关系, 抛物线的几何性质及焦点弦问题,以及与 其他知识点的综合交汇.

1.已知两定点A(-1,0),B(1,0),点M 满足 MA ? MB ? 2, 则点M的轨迹是( C ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线 因为AB=2,所以点M在线段AB上 ,故选C. 易错点:平面上到两个定点F1,F2的距 离之和为定值,且大于 F1 F2 的动点轨迹才是 椭圆.

别为F1、F2,b=4,离心率为

x2 y2 2.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦点分 a b 3

椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为( D )

5

.过F1的直线交

A.10
C.16

B.12
D.20
c 3 因为b=4,e ? ? ,又b 2 =a 2 -c 2 , a 5

得a=5,c=3,由椭圆定义可知△ABF2的周长为 4a=20,选D.

3.椭圆x2+2y2=2的右焦点到直线y=3x的距 离是( B )
x2 将椭圆方程化为 ? y 2 ? 1, 所以其右 2 焦点坐标为(1,0),它到直线y= 3 x的距离为 3 3 d? ? , 选B. 2 1? 3

1 A. 2

3 B. 2

C.1

D. 3

易错点:研究椭圆的几何性质,须将
椭圆方程化为标准方程.

4.已知椭圆G的中心在原点,长轴在x轴

上,离心率为 3 ,且椭圆G上一点到G的两个
x2 y2 焦点之和为12,则椭圆G的方程为 ? ?1 36 9 3 . 2 x2 y2 e= ,2a=12,a=6,b=3, ? ? 1. 36 9
2

则所求椭圆方程为

x2 y2 ? 1的两个焦点F1,F2,点P在 5.椭圆: ? 12 3

椭圆上,如果线段PF1的中点恰在y轴上,则
PF1 = 7 . PF2

由已知椭圆方程得a=2 3,b= 3 ,

c=3,F1(-3,0),F2(3,0).

因为焦点F1和F2关于y轴对称,所以,则P
3 3 , (3, ),PF2 ? 2 2 3 7 3 PF 1 ? 2a ? PF2 ? 4 3 ? ? , 2 2

所 PF1 ? 7 PF2 , 故填7.

1.椭圆的定义及其标准方程

(1)平面内与两个定点F1,F2 的距离 之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

x y (2)椭圆的标准方程是 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b 2 2 x y 或 2 ? 2 ? 1 (a>b>0). b a

2

2

(3)椭圆的标准方程中a,b,c之间的关系是

a2=b2+c2.
(4)形如Ax2+By2=C的方程,只要A、B、 C为正数,且A≠B就是椭圆方程,可化为标
x2 y2 准形式: ? C ? 1. C A B

2.椭圆的简单几何性质
x y (1)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上的点中,横 a b
2 2

坐标x的取值范围是[-a,a],纵坐标y的取值范
PF 围是[-b,b],F1 F2 =2c, 1 ? PF2 若<2a,则点

P的轨迹不存在,若 PF1 ? PF2 =2a,则点P的
轨迹是线段F1F2.

(2)椭圆的对称轴为x轴和y轴,椭圆的 对称中心为原点,对称中心叫椭圆的中心.
x y (3)椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的四个顶点 a b
2 2

是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),它们是椭圆与其
对称轴的交点.
c (4)离心率 e ? , 范围是(0,1). a

重点突破:椭圆的定义及其标准方程
例1 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称

轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦点与长轴上较近的端点距离为22 -2, 求此椭圆的方程. 2 2 2 2

x y x y 设所求椭圆 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 a b b a

(a>b>0),根据题意列出关于a,b,c的方程组,从 而求出a,b,c的值.

(a>b>0), b=c a=2 2 a=6 2 -8 则 a-c=2 2 -2 ,解得 b=2 ,或 b=4 2 -6 a2=b2+c2 c=2 c=4 2 -6 (舍去). 2 2 2 2 x y x y 则所求椭圆 8 ? 4 ? 1或 4 ? 8 ? 1. 求椭圆的方程,借助于数形结合, 先定位分析焦点所在的位置,再用待定系数 法,将已知条件代入求解.

x2 y2 x2 y2 设所求椭圆 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 a b b a

已知P点在以坐标轴为对称 轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为5和 3,过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦 点,求此椭圆方程.
变式练习1

x y x y 设所求椭圆 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1 a b b a

2

2

2

2

(a>b>0),两个焦点分别为F1,F2.
2 则由题意得: a ? PF1 ? PF2 ? 8, 所以a=4.

x2 y2 b2 在方程 2 ? 2 ? 1 中令x=±c,得 y ? ; a b a 2 2 2 x y b 在方程 2 ? 2 ? 1 中令y=±c,得 x ? ; b a a b2 依题意知 =3,所以b=2 3 . a 2 2 2 2 x y x y ? ? 1或 ? ?1 . 则椭圆方程为 16 12 12 16

重点突破:椭圆的几何性质
x2 2 例2 已 知 P 点 为 椭 圆 +y =1 上 的 点 , 4

F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,求
△F1PF2的面积.

求解圆锥曲线上的点与其焦点围 成的三角形问题,常用正,余弦定理进行求解.

依题意得,PF1 ? PF2 ? 2a ? 4, 在△F1PF2中,由余弦定理得
(2 3 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos60? )
2 2 2

? PF1 ? PF2 ) ? 2 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? (
2

PF2 cos60?,

4 解得 PF1 · 2 ? . PF 3

1 则△F1PF2的面积为 PF 1 · 2 sin60? ? 3 3. PF 2

圆锥曲线定义与三角形的 有关性质相结合是解本题的关键,常 用的解题技巧要熟记于心.

点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=θ,

x2 +y2=1上的动 变式练习2已知P为椭圆 4

求当θ取最大值时,点P的位置.
设 PF1 ? m , PF2 ? n, 则m+n=4, 1F2 ? 2 3. F

在△F1PF2中,由余弦定理得
PF1 ? PF2 ? F1 F2 cos? ? 2 PF1 ? PF2
2 2

2

2

2

(m ? n ? 2mn ? F1 F2 ) 2 ? ? ? 1. 2mn mn m?n 2 因为m+n=4,m>0,n>0,所以mn≤( ) ? 4. 2 1 当且仅当m=n时“=”取得,所以cosθ≥- . 2

所以当θ取得最大值时,点P在短轴的两个 顶点处.

重点突破:直线与椭圆的位置关系
x2 y2 例3 已知直线l:y=x+m与椭圆 ? ?1 3 2

相交于P,Q两点. (Ⅰ)求实数m的取值范围. (Ⅱ)是否存在实数m,使得 PQ 等于椭圆 的短轴长;若存在求出m的值,若不存在,请 说明理由.

(Ⅰ)联立直线与椭圆的方程,由 Δ>0解得. (Ⅱ)假设存在,由弦长公式 PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 , 可解得m的值,检验m是否满足Δ> 0的条件. y=x+m
x2 y2 (Ⅰ)联立 ? ? 1, 3 2

整理得5x2+6mx+3m2-6=0. 由已知得,Δ=36m2-20(3m2-6)>0,解得5<m< 5 .

(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则由(Ⅰ)
6m x1+x2= ? 5 知 3m 2 - 6 x1x2= . 5

所以 PQ ?
? 1?1

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2 2

2

? x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2
2

6m 2 3m ? 6 ? 2 (? )? 4? , 5 5

36m ? 60m ? 120 , 由 PQ ? 2 2,得 4 ? 25 30 解得 m ? ? . 6 2= 5 <5 所 以 存 在 实 数 因 为 0<m 6 m=± 30 ,使得PQ等于椭圆的短轴长. 6
2 2

直线方程与椭圆方程联立,消 元后得到一元二次方程,然后通过判别式Δ 来判断直线与椭圆相交,相切,相离.第(Ⅱ) 题求出m值要检验是否满足Δ>0.

变式练习3 在椭圆x2+4y2=16中,求通过

点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程 和弦长. 当直线斜率不存在时,M不可能为 弦的中点,所以可设直线方程为y=k(x-2)+1, 代入椭圆方程,整理得: (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0, 显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0.

16k 2 ? 8k 由于x1 ? x2 ? ? 4, 2 1 ? 4k 1 解得k=- . 2

故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0. x+2y-4=0 由 得y2-2y=0,

x2+4y2=16
所以y1=0,y2=2.
1 所以弦长? 1 ? 2 y1 ? y2 ? 1 ? 4 0 ? 2 ? 2 5. k

(a>b>0)上的三点,其中A 3 点的坐标为(2 ,0), BC过椭圆的中心O,且 BC ? 2 AC . AC⊥BC, (Ⅰ)求点C的坐标及椭圆E的方程; (Ⅱ)若椭圆E上存在两点P,Q,使得∠PCQ的 平分线总是垂直于x轴,试判断向量PQ与AB是 否共线,并给出证明.

例4 如图所示,已知 x2 y2 A,B,C是椭圆E: 2 ? 2 ? 1 a b

(Ⅰ)利用Rt△AOC,可求出C 点坐标. (Ⅱ)判断向量PQ与AB是否共线,可从 PQ与AB的斜率入手. (Ⅰ)因为 BC ? 2 AC , 且BC经过原 点,所以 OC ? AC , 又 A ( 2 3, 0 ) , ∠ A C B = 9 0 ° , 所 以 3 C( 3 , 3),且a=2 3代入椭圆方程得: ? 3 ? 1 解得b2=4. x2 y2 ? 1. 则椭圆E的方程为 ?
12 4

12

b2

(Ⅱ)对于椭圆上的两点P、Q,若∠PCQ的 平分线总垂直于x轴,则PC与CQ所在直线关于 直线x=3对称,设直线PC的斜率为k,则直线 CQ的斜率为-k,所以直线PC的方程为y- 3 =k(x- 3 ), 即y=k(x- 3 )+ 3 . ① 直线CQ的方程为y=-k(x- 3 )+ 3 . ②
x2 y2 将①代入 得: ? ?1 12 4 (1+3k2)x2+6 3 k(1-k)x+9k2-18k-3=0,



因为C( 3 , 3)在椭圆上,所以x= 3 是 方程③的一个根.
9k ? 18k ? 3 , 所以 x P ? 3 ? 2 1 ? 3k 9k 2 ? 18k ? 3 所以 xP ? , 2 3 1 ? 3k ) ( 2 同理可得:Q ? 9k ? 18k ? 3 . x 3 1 ? 3k 2 ( ) yQ ? y P ? k xQ ? x P) 2 3k 1 ( ? 所以k PQ ? ? ? . xQ ? x P xQ ? x P 3
2

因为C( 3 , 3 ),所以B(- 3 ,- 3 ), 又A(2 3 ,0), 所以 k AB
3 1 ? ? , 3 3 3

所以kAB=kPQ,所以向量PQ与向量AB共线. 平面向量作为数学解题工具,常与 平面解析几何综合考查,在向量与解析几何的 综合性问题中,写出向量的坐标是关键.过在椭 圆上的点作直线时,切记此点的横坐标是直线 与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根.

1.求椭圆的标准方程常用的方法是轨迹 方程法和待定系数法,(1)由椭圆的几何性

质直接求出参数a,b;(2)先设出椭圆的标准
方程,根据已知条件列出方程,用待定系数

法求出参数a,b.

2.解决直线与圆锥曲线的位置问题时常利 用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与 系数的关系去解决.设直线l与曲线C交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
1 则 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? 2 y1 ? y2 . k
2

3.椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称 为焦点三角形,解决焦点三角形的相关问题常 利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.

(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P. ??? ? ??? ? 若AP ? 2 PB, 则椭圆的离心率是( D ) A.
1 C. 3
3 2 2 B. 2 1 D. 2

x y 1.(2009· 浙江卷)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 a b

2

2

??? ? ??? ? 对于椭圆,因为 AP ? 2 PB, 则 1 OA=2OF,所以a=2c,所以e= ,选D. 2

对于对解析几何中与平面向量 结合的考查,既体现了几何与向量的交 汇,也体现了数形结合的巧妙应用.

2.(2009· 福建卷)已知直线x-2y+2=0经
x2 y2 过椭圆C:2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左顶点A和上 a b

顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上
10 位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x= 3

分别交于M,N两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆 C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积 1 为 ?若存在,确定点T的个数,若不存在, 5 说明理由.

解法1:(Ⅰ)由已知得,椭圆C的左顶

点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),所以a=2,b=1.
x 2 +y2=1. 故椭圆C的方程为 4

(Ⅱ)直线AS的斜率k显然存在,且k>0, 故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M
10 16k ( , ) . 3 3

y=k(x+2) 由 x2 2 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. +y =1
4

16k 2 ? 4 设S(x1,y1),则(-2)·1= x , 2 1 ? 4k 2 2 ? 8k 得 x1 ? , 2 1 ? 4k 2 4k 从而 y1 ? , 即 S 2 ? 8k 2 , 4k 2 ) ( . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 又B(2,0),故直线BS的方程为y=- 1 (x-2). 4k 1 10 y=- (x-2) x= 4k 3 由 ,得 1 10 x= y?? . 3k 3

10 1 所以N ( , ? ) , 3 3k 故 MN ? 16k ? 1 . 3 3k 16k 1 16k 1 8 又k>0,所以 MN ? ? ?2 ? ? , 3 3k 3 3k 3 1 16k 1 当且仅当 ? , 即k= 时等号成立. 4 3 3k 1 8 所以k= 时,线段MN的长度取最小值 . 4 3

1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当MN取最小值时,k= . 4 6 4 此时BS的方程为x+y-2=0,S( , ), 5 5 所以 BS ? 4 2 . 5

要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积
1 2 等于 ,只须点T到直线BS的距离等于 ,所 5 4 上. 以T在平行于BS且与BS距离等于 2 的直线l′ 4

设直线l′:x+y+t=0,
t?2 2 解得t=- 3 或t=- 5 . 则由 ? , 2 2 4 2 x2 2 ? y ?1 ①当t=-32时,由 4 3 x+y- =0, 2

得5x2-12x+5=0.

由于Δ=44>0,故直线l′与椭圆C有两个不
同的交点;

x2 ? y2 ? 1 4 5 ②当t=- 时,由 5 x+y- =0, 2 2

得5x2-20x+21=0. 由于Δ=-20<0,故直线l′与椭圆C没有交 点. 综上所述,当线段MN的长度最小时, 椭圆上仅存在两个不同的点T,使得△TSB的
1 面积等于 . 5

解法2:(Ⅰ)同解法1.
2 2 x0 x0 2 2 (Ⅱ)设S(x0,y0),则 ? y0 ? 1, 所以 y0 ? 1 ? . 4 4 2 y0 y0 y0 1 故 k SA ·SB ? k · ? 2 ?? . x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4

10 10 设 M 则y ( , yM)N , ( , y N), M>0,yN<0. 3 3

yM yN 9 yM yN 1 k ? ?? , 则 k SA ·SB ? 10 · 10 64 4 ?2 ?2 3 3 16 所以 yM ·? y N ? ? . ? 9 8 故 MN ? yM ? ( ? y N ) ? 2 yM ? ? ? y N ? ? , 3 4 当且仅当yM=(-yN)= 时,等号成立. 3 8 即MN的长度的最小值为 . 3

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 可 知 , 当 MN 取 最 小 值 时 ,
10 4 ),因为B(2,0),所以k =k =-1. N( , ? BS BN 3 3 6 4 此时BS的方程为x+y-2=0,S( , 5 5 以 ? 4 2. BS 5

),所

设与直线BS平行的直线方程为x+y+t=0. ,得5x2+8tx+4t2-4=0. 由 x2 x+y+t=0
4
2

当直线与椭圆C有唯一公共点时,有 Δ=64t2-20(4t2-4)=0,解得t=± 5 . 当 t= 5 时 , 两 平 行 直 线 BS:x+y-2=0 与 l1:x+y+ 5 =0间的距离 d1 ?
5?2 ; 2 5?2 . 2

当t=- 5 时,两平行直线BS:x+y-2=0与 l2:x+y- 5 =0间的距离 d1 ?

1 4 2 因 为 S△TSD= , 且 |BS|= ,故 5 5 △TSB在BS边上的高 d ? 2 . 4

因为d2<d<d1 ,所以椭圆C上存在两个不
1 同的点T,使得△TSB的面积等于 . 5

即线段MN的长度最小时,椭圆C上仅存
1 在两个不同的点T,使得△TSB的面积等于 . 5

本小题主要考查直线,椭圆, 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力,运算求解能力,考查 数形结合思想,化归与转化思想.


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