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§2.3 函数迭代


§2.3
知识提要

函数迭代

先看一个有趣的问题:李政道博士 1979 年 4 月到中国科技大学,给少年班的同学面试 这样一道题: 五只猴子,分一堆桃子,怎么也平分不了,于是大家同意先去睡觉,明天再说.夜里一 只猴子偷偷起来, 把一个桃子吃掉后正好可以分成 5 份, 收藏起自己的一份后又去睡觉了. 第 二只猴子起来后,像第一只猴子一样,先吃掉一个,剩下的又刚好分成 5 份,也把自己的一 份收藏起来睡觉去了.第三、第四、第五只猴子也都是这样:先吃掉一个,剩下的刚好分成 5 份.问这堆桃子最少是多少个? 设桃子的总数为 x 个.第 i 只猴子吃掉一个并拿走一份后,剩下的桃子数目为 x i 个,则
xi ? 4 5 4 5 ( x i ? 1 ? 1) , i ? 1, 2, 3, 4, 5 ( x ? 4 ) ? 4 .于是

且 x 0 ? x .设 f ( x ) ?
x1 ? f ( x ) ? 4 5

4 5

( x ? 1) ?

( x ? 4) ? 4

4 2 x 2 ? f ( f ( x )) ? ( ) ( x ? 4 ) ? 4 5 4 3 x 3 ? f ( f ( f ( x ))) ? ( ) ( x ? 4 ) ? 4 5 4 4 x 4 ? f ( f ( f ( f ( x )))) ? ( ) ( x ? 4 ) ? 4 5 4 5 x 5 ? f ( f ( f ( f ( f ( x ))))) ? ( ) ( x ? 4 ) ? 4 5
5 由于剩下的桃子数都是整数,所以,5 | x ? 4 .因此,最小的 x 为:x ? 5 ? 4 ? 3121 .
5

上面的解法,我们利用了一个函数自身复合多次,这就叫迭代.一般地,设 f : D ? D 是一个函数,对 ? x ? D ,记 f
f
( n ? 1) (0)

(x) ? x , f
(n)

(1)

( x) ? f ( x) , f

(2)

( x ) ? f ( f ( x )) ,…,
(n)

( x) ? f ( f

(n)

( x )) ,n ? N , 则称函数 f
(? n)

?

( x ) 为 f ( x ) 的 n 次迭代, 并称 n 为 f

( x)

的迭代指数.反函数记为 f

( x) .

一些简单函数的 n 次迭代如下:

(1)若 f ( x ) ? x ? c ,则 f (3)若 f ( x ) ? x ,则 f
a

(n)

( x) ? x ? nc ;
a
n

(2)若 f ( x ) ? ax ,则 f (4)若 f ( x ) ?
1? a
n

(n)

(x) ? a x ;
n
(n)

(n)

(x) ? x



x 1 ? ax

,则 f

( x) ?

x 1 ? nax



(5)若 f ( x ) ? ax ? b ( a ? 1 ) ,则 f

(n)

(x) ? a x ?
n

1? a

b;

f

(n)

( x ) 的一般解法是先猜后证法:先迭代几次,观察规律并猜测表达式,证明时常用

数学归纳法.

例题讲解
1.求迭代后的函数值 例 1:已知 f ( x ) 是一次函数,且 f
(1 0 )

( x ) ? 1 0 2 4 x ? 1 0 2 3 ,求 f ( x ) 的解析式.

例 2:自然数 k 的各位数字和的平方记为 f 1 ( k ) ,且 f n ( k ) ? f 1 [ f n ?1 ( k )] ,则 f n (1 1) ( n ? N )的值域为( (A) N
?
?

) (B) 5 (C) {4,1 6, 4 9,1 6 9, 2 5 6} (D )

{2, 4, 7 ,1 3,1 6}

(第 14 届希望杯) 例 3 : 设 f1 ( x ) ?
a 99 ?
2 x ?1

, 而 f n ? 1 ( x ) ? f 1 [ f n ( x )] , n ? N . 记 a n ?

?

fn (2) ? 1 fn (2) ? 2

,则

. (第 14 届希望杯)

7.函数 f 定义在整数集上. 满足: f ? n ? = ? 值.解 先考虑 n=999(近 1000 时) 情况:

? n ? 3若 n ? 1 0 0 0 ? ? ? f ? n ? 5 ?? 若 n< 1000 ? ??

, 求 f ? 84 ? 的

ffff ? 9 9 9 ? ? ffff ? f ? 1 0 0 4 ? ? = ffff ? 1 0 0 1 ? ? fff ? 9 9 8 ? ? fff ? f ? 1 0 0 3 ? ? ? ? ? ?

= fff ? 1 0 0 0 ? ? ff ? 9 9 7 ? ? ff ? f ? 1 0 0 2 ? ? ? ? = ff ? 9 9 9 ? . (有规律 ffff ? 9 9 9 ? ? ff ? 9 9 9 ? ).

∴ f ? 84 ? = f ? f ? 8 4 ? 5 ? ? = ff ? f ? 8 4 ? 2 ? 5 ? ? = fff ? f ? 8 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?

= ff ? f ? 8 4 ? 1 8 3 ? 5 ? = ff ? f ? 9 9 9 ? = ff ? f ? 9 9 9 ? =…… ??? ??? ???
184 184 182

= ff ? 9 9 9 ? = fff ? 1 0 0 4 ? = ff ? 1 0 0 1 ? = f ? 9 9 8 ? = ff ? 1 0 0 3 ? = f ? 1 0 0 0 ? =997.

2.不动点法 一般地,若 f ( x ) ? ax ? b ,则把它写成
f (x) ? a(x ? b 1? a )? b 1? a

因而
f f
(2)

(x) ? a (x ?
2

b 1? a b 1? a

)? )?

b 1? a b 1? a

(3)

(x) ? a (x ?
3

……
f
(n)

(x) ? a (x ?
n

b 1? a

)?

b 1? a

这里的 不动点.

b 1? a

就是方程 a x ? b ? x 的根.一般地,方程 f ( x ) ? x 的根称为函数 f ( x ) 的

如果 x 0 是函数 f ( x ) 的不动点,则 x 0 也是 f

(n)

( x ) 的不动点.可用数学归纳法证明.利

用不动点能较快地求得函数 f ( x ) 的 n 次迭代式. 例 4:若 f ( x ) ? 19 x ? 93 ,求 f
2

(n)

( x) .

3.相似法 若存在一个函数 ? ( x ) 以及它的反函数 ? ( x ) ,使得 f ( x ) ? ? ( g (? ( x ))) ,我们称
?1 ?1

f ( x ) 通过 ? ( x ) 和 g ( x ) 相似,简称 f ( x ) 和 g ( x ) 相似,其中 ? ( x ) 称为桥函数.

如果 f ( x ) 和 g ( x ) 相似,即 f ( x ) ? ? ( g ( ?( x))) ,则有: f 例 6:若 f ( x ) ? 2 x ? 1 ,求 f
2 (n)

?1

(n)

( x) ? ?

?1

(g

(n)

(? ( x ))) .

( x) .

例 7:若 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ,求 f

(n)

( x) .

课后练习
1.若 f ( x ) ?
x ?1 x ?1

的定义域为 A , f [ f ( x )] 的定义域为 B ,则( (B) A ? B (C) A ? B

) (D)A ? B (第

(A) A ? B ? R 5 届希望杯)

? 2.在正整数集 N 上定义的函数 f ( n ) ? ?

?n ? 3 ? f [ f ( n ? 7 )]

(n ? 1000) (n ? 1000)

,则 f ( 9 0 ) 的值是



) (A) 997 (B) 9 9 8 (C) 9 9 9
1000 (D)

(第

2 届希望杯) 3.已知 f ( x ) 是一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,则 f ( x ) 的解析式为 4.已知函数 f ( x ? a ) ? | x ? 2 | ? | x ? 2 | ,且 f [ f (a )] ?3 ,则 a ? 6 届希望杯) 5 . 设 y ? f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 对 于 任 意 实 数 a , b , 有 f [ a f ( b) ]? a b, 则
| f (1 9 9 9 ) | ?

. . (第



6.设函数 f ( n ) ? k , k 是无理数 ? ? 3.1415926535 ? 的小数点后第 n 位数字,并且规定
f (0 ) ? 3





F ( n ) ? f ( f ( f (? f ( n )) ? )) ? ? ??? ? ? ? ?
10 重 f









F [ f (1990) ? f (5) ? f (3)] ? F [ f (1990) f (3) f (25)] .

(第 1 届希望杯) 7.给定 n 个数: a1 ? 0 .5
0 .5

, a k ? 0 .5

a k ?1

( k ? 2, 3, ? , n )将这 n 个数由大到小地排成一

列 , 定 义 : 第 k 位 上 恰 是 a k 的 数 k ( k ? 2 ) 叫 做 希 望 数 , 试 求 n ? 2999 时 的 希 望 数.
2

(第 11 届希望杯)
1 n n ?1

8.设 f ( x ) ? x ? a .记 f ( x ) ? f ( x ) , f ( x ) ? f ( f
n

( x )) ( n ? 2, 3, ? ) ,

M ? { a ? R | 对 任 意 正 整 数 n , | f (0) |? 2} .证明: M ? [ ? 2 ,

1 4

].

(2006

年全国联赛)


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