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河南省郑州四十七中2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷(文科) Word版含解析


河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学试 卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一个符合要求) 1. (5 分)在等比数列{an}中,a1=2,q=3,则 a3=() A.6 B. 8 C.12 2. (5 分)在△ ABC 中,a=2,A=30°,C=135°,则边 c=() A.1 B. C. 2
2 2 2

D.18

D.2

3. (5 分)若在三角形 ABC 中,已知 a =b +c +bc,则角 A 为() A.60° B.120° C.30° D.60°或 120° 4. (5 分)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 5. (5 分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=() A.5 B. 8 C.10
2 2 2

D.14

6. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a3=5,a5=9,则 S7 等于() A.13 B.35 C.49 D.63 7. (5 分)已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144, 则 S5 的值是() A. B.69 C.93 D.189

8. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.

9. (5 分)在△ ABC 中,已知 a= ,b=2,B=45°,则角 A=() A.30°或 150° B.60°或 120° C.60°

D.30°

10. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=() A. B. C. D.

11. (5 分)△ ABC 中,BC=2,角 B= A. B.

,当△ ABC 的面积等于 C.

时,sinC=() D.

12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A.O B . ﹣9 C. 9

*

若函数 ( f x) =sin2x+2cos

2



D.1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)△ ABC 中三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 a=8,B=60°,C=75°,则边 b 的长为. 14. (5 分)若{an}是等比数列,a4?a5=﹣27,a3+a6=26,且公比 q 为整数,则 q=. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2 ,等差数列{an}的公差为 2,a1=1,则 log2=. 16. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最 大值,则 d 的取值范围为.
x

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N . (1)求 a2,a3 (2)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn. 18. (12 分)设锐角△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2asinB= (1)求角 A 的大小; (2)若 b=3,c=2,求边 a. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足 a1=1,前 5 项和 S5=15 (1)求数列{an}的通项公式 (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn. b
*

20. (12 分)已知数列{an}中,a1=1 且 an+1=2an+3. (1)求证:数列{an+3}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn.

21. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos2A﹣3cos(B+C) =1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 22. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 sn,点(n,sn) (n∈N )在函数 y= x + x 的图象上 (1)求{an}的通项公式 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,不等式 Tn> loga(1﹣a)对任意的正整数恒成立,
* 2

求实数 a 的取值范围.

河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一个符合要求) 1. (5 分)在等比数列{an}中,a1=2,q=3,则 a3=() A.6 B. 8 C.12 D.18 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的性质求解. 解答: 解:∵在等比数列{an}中,a1=2,q=3, 2 a3=2×3 =18. 故选:D. 点评: 本题考查等比数列的第 18 项的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的通项公式 的合理运用. 2. (5 分)在△ ABC 中,a=2,A=30°,C=135°,则边 c=() A.1 B. C. 2 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用正弦定理建立等式,把已知条件代入求得答案. 解答: 解:由正弦定理知 ∴ = , = ,

D.2

∴c=2 , 故选:C. 点评: 本题主要考查了正弦定理的运用.考查了学生基础知识的掌握. 3. (5 分)若在三角形 ABC 中,已知 a =b +c +bc,则角 A 为() A.60° B.120° C.30° D.60°或 120° 考点: 余弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosA,将已知等式代入计算求出 cosA 的值,即可确定出 A 的 度数. 解答: 解:∵在△ ABC 中,a =b +c +bc,即 b +c ﹣a =﹣bc, ∴cosA= = =﹣ ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

则 A=120°. 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 4. (5 分)在△ ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ ABC 的形状是() A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用正弦定理将 sin A+sin B<sin C,转化为 a +b <c ,再结合余弦定理作出判断即 可. 解答: 解:∵在△ ABC 中,sin A+sin B<sin C, 由正弦定理 a +b <c , 又由余弦定理得:cosC= ∴ <C<π. <0,0<C<π,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=

=

=2R 得,

故△ ABC 为钝角三角形. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用,属于基础题. 5. (5 分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=() A.5 B. 8 C.10 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式.

D.14

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列{an}中,a1=2,且有 a3+a5=10,利用等差数列的通项公式先求出公差 d, 再求 a7. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10, ∴a1+a7=a3+a5=10, ∴a7=10﹣a1=8. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等差数列通 项公式的合理运用. 6. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a3=5,a5=9,则 S7 等于() A.13 B.35 C.49 D.63 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a3+a5=14,进而可得 a1+a7=a3+a5=14,而 S7= 得答案. 解答: 解:由题意可得 a3+a5=14, 由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=14, 故 S7= = = =49, ,代入即可

故选 C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 7. (5 分)已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144, 则 S5 的值是() A. B.69 C.93 D.189

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的性质化简 a2a4=144,得到 a3 的值,又 a1 的值,利用等比数列的性质 即可求出 q 的值,由 a1 和 q 的值,利用等比数列的性质即可求出 S5 的值. 2 解答: 解:由 a2a4=a3 =144,又 a3>0, 得到 a3=12,由 a1=3,得到 q = 由 q>0,得到 q=2, 则 S5= = =93.
2

=4,

故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的前 n 项和公式化简求值,掌握等比数列的性质, 是一道基础题. 8. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (d>0) ;则由五个人的面包 和为 100,得 a 的值;由较大的三份之和的 是较小的两份之和,得 d 的值;从而得最小的 1 分 a﹣2d 的值. 解答: 解:设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (其中 d>0) ; 则, (a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20; 由 (a+a+d+a+2d)=a﹣2d+a﹣d,得 3a+3d=7(2a﹣3d) ;∴24d=11a,∴d=55/6; 所以,最小的 1 分为 a﹣2d=20﹣ = .

故选 A. 点评: 本题考查了等差数列模型的实际应用,解题时应巧设数列的中间项,从而容易得出 结果. 9. (5 分)在△ ABC 中,已知 a= ,b=2,B=45°,则角 A=() A.30°或 150° B.60°或 120° C.60° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理 因此算出 A=30°. 解答: 解:∵a= ∴由正弦定理 可得 sinA= = 的式子,结合题中数据算出 sinA= ,根据 a<b 可得 A<B,

D.30°

,b=2,B=45°, ,得

∴A=30°或 150° ∵a<b,可得 A<B,∴A=30° 故选:D

点评: 本题给出三角形两边和其中一边的对角,求另一角的大小.着重考查了运用正弦定 理解三角形的知识,属于基础题. 10. (5 分)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB=() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答: 则 b=

余弦定理;等比数列. 计算题. 根据等比数列的性质,可得 b= a,将 c、 b 与 a 的关系结合余弦定理分析可得答案. 解:△ ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c=2a, a, = ,

故选 B. 点评: 本题考查余弦定理的运用,要牢记余弦定理的两种形式,并能熟练应用. 11. (5 分)△ ABC 中,BC=2,角 B= A. B. ,当△ ABC 的面积等于 C.

时,sinC=() D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形面积公式求得 AB,进而利用余弦定理求得 AC 的值,最后利用正弦定 理求得 sinC. 解答: 解:三角形面积为: sinB?BC?BA= × ∴AB=1 由余弦定理可知:AC= ∴由正弦定理可知 ∴sinC= ?AB= = ×2×AB=

故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.在解三角形问题中,正弦定理和余弦 定理是常用的方法,应强化训练和记忆. 12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A.O B . ﹣9 C. 9
* 2

若函数 ( f x) =sin2x+2cos



D.1

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 确定数列{an}是等差数列,利用等差数列的性质,可得 f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8) =f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,由此可得结论. * 解答: 解:∵数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N , ∴数列{an}是等差数列, ∵a5= ,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π
2

∵f(x)=sin2x+2cos



∴f(x)=sin2x+cosx+1, ∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2 同理 f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2 ∵f(a5)=1 ∴数列{yn}的前 9 项和为 9 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列与函数的联系,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)△ ABC 中三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 a=8,B=60°,C=75°,则边 b 的长为 4 . 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由三角形内角和定理算出 A=45°,然后在△ ABC 中利用正弦定理,列出关于 A、B、 a、b 的等式,解之即可得到边 b 的长度. 解答: 解:∵△ABC 中,B=60°,C=75°, ∴A=180°﹣(B+C)=45° 由正弦定理,得 = ,

即 b=

=

=4

故答案为:4 点评: 本题给出三角形的两个角和一条边的长,求另外的边长,着重考查了三角形内角和 定理和利用正余弦定理解三角形的知识,属于基础题. 14. (5 分)若{an}是等比数列,a4?a5=﹣27,a3+a6=26,且公比 q 为整数,则 q=﹣3. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 可得 a3?a6=a4?a5=﹣27,进而可得 a3,a6 是方程 x ﹣26x﹣27=0 的实根,解之讨论, 满足公比 q 为整数的即可. 解答: 解:由等比数列的性质可得 a3?a6=a4?a5=﹣27, 2 又因为 a3+a6=26,所以 a3,a6 是方程 x ﹣26x﹣27=0 的实根, 解之可得两实根为﹣1,27, 当 时,q =
3

2

=﹣27,解之可得 q=﹣3,为整数,满足题意,



时,q =

3

=

,解之可得 q=

,不合题意.

故答案为:﹣3 点评: 本题考查等比数列的通项公式,涉及一元二次方程根的求解,属基础题. 15. (5 分)已知函数 f(x)=2 ,等差数列{an}的公差为 2,a1=1,则 log2=100. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的性质. 等差数列与等比数列. 利用等差数列的前 n 项和公式、指数函数和对数函数的运算性质即可得出. 解:∵等差数列{an}的公差为 2,a1=1, =100, … = = =2
100 x

∴S10=10×1+

∴f(a1)?f(a2)…f(a10)= ∴log2= =100.



故答案为:100. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和公式、指数函数和对数函数的运算性质,属于中档 题. 16. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最 大值,则 d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) .

考点: 等差数列的性质. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据题意当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,得到 S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程 组,求解得 d 的取值范围. 解答: 解:∵Sn =7n+ ,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,



,即

,解得:



综上:d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) . 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) * 17. (10 分)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N . (1)求 a2,a3 (2)求{an}的通项公式及前 n 项和 Sn. 考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)直接由已知求得 a2,a3 的值; (2)直接利用等比数列的通项公式与前 n 项和公式的答案. * 解答: 解: (1)∵a1=1,an+1=3an,n∈N . ∴a2=3a1=3,a3=3a2=9; * (2)∵an+1=3an,n∈N . ∴{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ .

. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础题. 18. (12 分)设锐角△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2asinB= (1)求角 A 的大小; (2)若 b=3,c=2,求边 a. 考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)直接利用正弦定理,求出 A 的正弦函数值,即可求角 A 的大小; (2)利用(1)的结果,通过 b=3,c=2,结合余弦定理直接求解即可得到求边 a. 解答: 解: (1)由正弦定理知 又∵ ∴ , , b

因为 A 为锐角 则 A=60°, (2)由余弦定理得 a =b +c ﹣2bc?cosA=
2 2 2

=7,

故 . 点评: 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,考查计算能力. 19. (12 分)已知等差数列{an}满足 a1=1,前 5 项和 S5=15 (1)求数列{an}的通项公式

(2)求数列{

}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)直接由已知列式求出等差数列的公差,代入等差数列的通项公式得答案; (2)把(1)中求出的{an}的通项公式代入 ,然后由错位相减法求和.

解答: 解(1){an}为等差数列,设其公差为 d, 由 S5=15,得 =15,

又 a1=1,则 5+10d=15,解得 d=1, ∴an=a1+(n﹣1)d=n; (2) ①, ②, 两式相减得

=







点评: 本题考查了等差数列通项公式,考查了等差数列的前 n 项和,训练了错位相减法求 数列的和,是中档题. 20. (12 分)已知数列{an}中,a1=1 且 an+1=2an+3. (1)求证:数列{an+3}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知可得 an+1+3=2(an+3) ,可得数列{an+3}是等比数列; (2)由(1)可得 ,可得 Tn=2 +2 +2 +…+2
2 3 3 n+1

﹣3n,由等比数列的求和公式计

算可得. 解答: 解: (1)∵an+1=2an+3,∴an+1+3=2(an+3)…(2 分) 即 =2,又 a1+3=4≠0…(3 分)

∴数列{an+3}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)知数列{an+3}的通项公式为 ∴ …(6 分)

…(4 分) ,

∴Tn=a1+a2+a3+…+an 2 3 3 n+1 =2 +2 +2 +…+2 ﹣3n = ﹣3n=2
n+2

﹣3n﹣4…(11 分) …(12 分)

∴数列{an}的前 n 项和

点评: 本题考查等比数列关系的确定,涉及数列的求和,属中档题. 21. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos2A﹣3cos(B+C) =1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出; (II)由三角形的面积公式
2 2 2

即可得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4.由余弦定理得

a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出 a.又由正弦定理得即可得到 即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由 cos2A﹣3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cosA﹣2=0, 即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0,解得 因为 0<A<π,所以 (Ⅱ)由 S=
2 2 2

(舍去) .

. =
2

=

,得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4. . .

由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 又由正弦定理得

点评: 熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦 定理是解题的关键. 22. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 sn,点(n,sn) (n∈N )在函数 y= x + x 的图象上 (1)求{an}的通项公式
* 2

(2)设数列{

}的前 n 项和为 Tn,不等式 Tn> loga(1﹣a)对任意的正整数恒成立,

求实数 a 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1) ,再写一式,即可求{an}的通项公式; = ( ﹣ ) ,从而可求得 Tn═ ,由 Tn+1

(2)由(1)知 an=n,利用裂项法可求 ﹣Tn= 解答: 解: (1)∵ 当 ①﹣②得 an=n 当 ∴an=n; (2)由(1)知 an=n,则 ∴Tn═ = (1+ ﹣ = ﹣ ( ∵Tn+1﹣Tn= ∴数列{Tn}单调递增, ∴(Tn)min=T1= . + ﹣ ) ) . >0, = ( ﹣ ,

>0,可判断数列{Tn}单调递增,从而可求得 a 的取值范围. ,∴ ② ①

) .

要使不等式 Tn> loga(1﹣a)对任意正整数 n 恒成立,只要 > loga(1﹣a) . ∵1﹣a>0, ∴0<a<1. ∴1﹣a>a,即 0<a< . 点评: 本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列{Tn}的单调性的分析, 突出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于难题.


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