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湖北省黄冈市2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题 1.总体编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( ) 7816 6572 0802 6314 0702 436

9 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01 2.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 3.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是(



A.7 B.8 C.9 D.15 4.下列说法错误的是( ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 2 2 C.命题“若 a>b,则 ac >bc ”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 5.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 6 7 8 9 身高 y 118 126 136 144 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( ) A.154 B.153 C.152 D.151 6.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的( )

1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 7.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z A.24 B.18 C.16 D.12 8.已知双曲线 ﹣ =1 的一个焦点与抛物线 y =﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
2

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

9.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,

,则 AA1 与平面 AB1C1

所成的角为(



A.

B.

C.

D.

10. 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面是边长为 1 的正方形, 若∠A1AB=∠A1AD=60°, 且 A1A=3,则 A1C 的长为( )

A. B. C. D. 11.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( )

2

A.

B.

C.

D.

12.过原点的直线与双曲线

(a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异于

M,N 的一点,若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 ,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.2



13.椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆周长为 4,A、 )

B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则|y2﹣y1|的值为( A. B. C. D.

二、填空题 14.三进制数 121(3)化为十进制数为 . 2 15. 若命题“? x∈R, 使x+ (a﹣1) x+1<0”是假命题, 则实数 a 的取值范围为 16. 在区间[﹣2, 4]上随机地取一个数 x, 若 x 满足|x|≤m 的概率为 , 则 m= 17.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点;

. .

②以抛物线的焦点弦 (过焦点的直线截抛物线所得的线段) 为直径的圆与抛物线的准线是相 切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有两条.

3

⑤过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 为椭圆 其中真命题的序号为

,则动点 P 的轨迹

(写出所有真命题的序号)

三、解答题 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表: 酒精含量 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (mg/100ml) 人数 3 4 1 4 2 3 2 1 (1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

19.p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长分别为 的三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ) 第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外) ,则此次射击的 着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) 21.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值; (2)是否存在实数 p,使得以线段 AB 为直径的圆过 Q 点?若存在,求出 p 的值;若不存在, 说明理由.

2

2

4

22. 在直角梯形 PBCD 中, 沿 AB 折到△SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的正切值.

, A 为 PD 的中点, 如图. 将△PAB ,如图.

23.已知点 P 是圆 C: (x+ )2+y2=16 上任意一点,A( ,0)是圆 C 内一点,线段 AP 的 垂直平分线 l 和半径 CP 交于点 Q,O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的动直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积最大时,求此时直 线的方程.

5

2015-2016 学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1.总体编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选 出来的第 5 个个体的编号是( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481. A.08 B.07 C.02 D.01 【分析】根据随机数表,依次进行选择即可得到结论. 【解答】 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字中小 于 20 的编号依次为 08,02,14,07,02,01, .其中第二个和第四个都是 02,重复. 可知对应的数值为 08,02,14,07,01, 则第 5 个个体的编号为 01. 故选:D. 2.甲乙两名学生,六次数学测验成绩(百分制)如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( )

A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 【分析】由茎叶图数据,求出甲、乙同学成绩的中位数,平均数,估计方差,从而解决问题. 【解答】解:根据茎叶图数据知, ①甲同学成绩的中位数是 81,乙同学成绩的中位数是 87.5, ∴甲的中位数小于乙的中位数; ②甲同学的平均分是 乙同学的平均分是 ∴乙的平均分高; ③甲同学的平均分是 =81 乙同学的平均分是 =85, = = =81, =85,

∴甲比乙同学低; ④甲同学成绩数据比较集中,方差小,乙同学成绩数据比较分散,方差大.

6

∴正确的说法是③④. 故选:A. 3.当输入 x=﹣4 时,如图的程序运行的结果是( )

A.7

B.8

C.9

D.15

【分析】 由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,将 x=﹣4,代入可得答案. 【解答】解:由已知中的程序语句可得: 该程序的功能是计算并输出分段函数 y= ∵x=﹣4<3, 故 y=(﹣4)2﹣1=15, 故选:D 4.下列说法错误的是( ) A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 【分析】通过对选项判断命题的真假,找出错误命题即可. 【解答】解:若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题,满足命题的真假的判断,是 正确的. 命题“若 m>0,则方程 x2+x﹣m=0 有实根”的逆命题为:“若方程 x2+x﹣m=0 有实数根,则 m>0”,方程 x2+x﹣m=0 有实数根只要△=1+4m≥0,所以不一定得到 m>0,所以 B 错. 命题“若 a>b,则 ac2>bc2”的否命题为:若 a≤b,则 ac2≤bc2,显然是真命题. 若命题“¬p∨q”为假命题,则 p 是真命题,¬q 是真命题,则“p∧¬q”为真命题,正确. 故选:B. 5.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 6 7 8 9 身高 y 118 126 136 144 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( ) A.154 B.153 C.152 D.151 的值,

7

【分析】先计算样本中心点,进而可求线性回归方程,由此可预测该学生 10 岁时的身高. 【解答】解:由题意, =7.5, =131 代入线性回归直线方程为 ∴ ∴x=10 时, 故选 B. 6.“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义,分别证明其充分性和必要性,从而得到答案. 【解答】解:a≠5 且 b≠﹣5 推不出 a+b≠0,例如:a=2,b=﹣2 时 a+b=0, a+b≠0 推不出 a≠5 且 b≠﹣5,例如:a=5,b=﹣6, 故“a≠5 且 b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件, 故选:D. 7.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z A.24 B.18 C.16 D.12 【分析】根据题意先计算二年级女生的人数,则可算出三年级的学生人数,根据抽取比例再 计算在三年级抽取的学生人数. 【解答】 解: 依题意我们知道二年级的女生有 380 人, 那么三年级的学生的人数应该是 500, 即总体中各个年级的人数比例为 3:3:2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 . 故选 C. =153 ,131=8.8×7.5+ ,可得 =65,

8.已知双曲线



=1 的一个焦点与抛物线 y2=﹣4x 的焦点重合,且双曲线的离心率为 ) =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则此双曲线的方程为( A.5x2﹣ =1 B.5x2﹣

【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为(﹣1,0) ,从而得出左焦点为 F(﹣1,0) ,再设 出双曲线的方程,利用离心率的公式和 a、b、c 的平方关系建立方程组,解出 a、b 的值即 可得到该双曲线的方程.

8

【解答】解:∵抛物线方程为 y2=﹣4x,∴2p=4,得抛物线的焦点为(﹣1,0) . 2 ∵双曲线的一个焦点与抛物 y =﹣4x 的焦点重合, ∴双曲线的左焦点为 F(﹣1,0) , 设双曲线的方程为 (a>0,b>0) ,可得 a +b =1?①
2 2

∵双曲线的离心率等

,∴

=

,即

?②

由①②联解,得 a2= ,b2= ,

∴该双曲线的方程为 5x ﹣ 故选 B.

2

=1.

9.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,

,则 AA1 与平面 AB1C1

所成的角为(



A.

B.

C.

D.

【分析】建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】解:∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, ,

∴建立以 A 为坐标原点,AC,AB,AA1 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: 则 A1(0,0, ) ,A(0,0,0) ,B1(0,2, ) ,C1(2,0, ) , 则 =(0,2, ) , =(2,0, ) , =(0,0, ) ,

设平面 AB1C1 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ? =2y+ z=0, ? , =2x+

z=0,

令 z=1,则 x=﹣ 即 =(﹣ ,﹣

,y=﹣ ,1) ,

9

则 AA1 与平面 AB1C1 所成的角 θ 满足 sinθ =|cos<

, >

|=

= ,

则θ =



故选:A.

10. 如图, 在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面是边长为 1 的正方形, 若∠A1AB=∠A1AD=60°, 且 A1A=3,则 A1C 的长为( )

A. B. C. D. 【分析】用空间向量解答. 【解答】解:∵ ∴ 即 ?
2

= ﹣

+





=( = ? )

+ +

)2; ﹣ ? + ? + ? ﹣ ? ﹣( ? + ? ﹣

2

?

=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣(3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9) ; =1﹣ +1 ∴A1C= . 故选 A. 11.已知:a,b,c 为集合 A={1,2,3,4,5}中三个不同的数,通过如框图给出的一个算 法输出一个整数 a,则输出的数 a=4 的概率是( ) ﹣ ﹣ +9=5,

10

A.

B.

C.

D.

【分析】由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数,由于输出的数为 4,故问 题为从集合 A 中任取三个数, 求最大数为 4 的概率, 计算出从 5 个数中取三个的取法总数和 所取的数最大为 4 的取法个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解:由程序框图知,输入 a、b、c 三数,输出其中的最大数, 由于输出的数为 4, 故问题为从集合 A 中任取三个数,求最大数为 4 的概率, 从集合 A 中任取三个数有 =10 种取法, =3 种取法,

其中最大数为 4 时,表示从 1,2,3 中任取 2 两个数,有 故概率 P= 故选:C. .

12.过原点的直线与双曲线

(a>0,b>0)交于 M,N 两点,P 是双曲线上异于

M,N 的一点,若直线 MP 与直线 NP 的斜率都存在且乘积为 ,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.2



【分析】设 P(x0,y0) ,M(x1,y1) ,则 N(x2,y2) .利用 kPMkPN= ,化简,结合平方差法求 解双曲线 C 的离心率. 【解答】解:由双曲线的对称性知,可设 P(x0,y0) ,M(x1,y1) ,则 N(x2,y2) .

11

由 kPMkPN= ,可得:

,即

,即

, 又因为 P(x0,y0) ,M(x1,y1)均在双曲线上, 所以 , ,所以 ,

所以 c2=a2+b2= ,所以双曲线 C 的离心率为 e= =

= .

故选:A.

13.椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的内切圆周长为 4,A、 )

B 两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2) ,则|y2﹣y1|的值为( A. B. C. D.

【分析】求出椭圆的焦点坐标,结合椭圆的定义,通过三角形的面积转化求解即可. 【解答】解:椭圆: ,a=5,b=4,∴c=3,左、右焦点 F1(﹣3,0) 、F2( 3,0) ,

△ABF2 的内切圆面积为 π ,则内切圆的半径为 r= , 而△ABF2 的面积=△A F1F2 的面积+△BF1F2 的面积= ×|y1|×|F1F2|+ ×|y2|×|F1F2|= × (|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2﹣y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧) 又△ABF2 的面积= ×r(|AB|+|BF2|+|F2A|)= 所以 3|y2﹣y1|=5,|y2﹣y1|= . 故选:D. 二、填空题 14.三进制数 121(3)化为十进制数为 16 . 【分析】利用累加权重法,即可将三进制数转化为十进制,从而得解. 2 1 0 【解答】解:由题意,121(3)=1×3 +2×3 +1×3 =16 故答案为:16 15.若命题“? x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为 ﹣ 1≤a≤3 . (2a+2a)=a=5.

12

【分析】先求出命题的否定,再用恒成立来求解 【解答】解:命题“? x∈R,使 x2+(a﹣1)x+1<0”的否定是:““? x∈R,使 x2+(a﹣1) x+1≥0” 2 即:△=(a﹣1) ﹣4≤0, ∴﹣1≤a≤3 故答案是﹣1≤a≤3

16.在区间[﹣2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,则 m= 3 . 【分析】画出数轴,利用 x 满足|x|≤m 的概率为 ,直接求出 m 的值即可. 【解答】解:如图区间长度是 6,区间[﹣2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概 率为 ,所以 m=3. 故答案为:3.

17.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦 (过焦点的直线截抛物线所得的线段) 为直径的圆与抛物线的准线是相 切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y2=4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有两条. ⑤过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 为椭圆 其中真命题的序号为 ①②④ (写出所有真命题的序号) 【分析】①根据椭圆和双曲线的 c 是否相同即可判断. ②根据抛物线的性质和定义进行判断. ③根据双曲线的定义进行判断. ④根据抛物线的定义和性质进行判断. ⑤根据圆锥曲线的根据方程进行判断. 【解答】解:①由 得 a2=16,b2=9,则 c2=16+9=25,即 c=5, ,则动点 P 的轨迹

由椭圆

得 a =49,b =24,则 c =49﹣24=25,即 c=5,则双曲线和椭圆有相同的焦

2

2

2

点,故①正确, ②不妨设抛物线方程为 y2=2px(p>0) ,

13

取 AB 的中点 M,分别过 A、B、M 作准线的垂线 AP、BQ、MN,垂足分别为 P、Q、N,如图所 示: 由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|, 在直角梯形 APQB 中,|MN|= (|AP|+|BQ|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故圆心 M 到准线的距离等于半径, ∴以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,故②正确, ③平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 k(k<|F1F2|)的点的轨迹叫做双 曲线, 当 0<k<|AB|时是双曲线的一支,当 k=|AB|时,表示射线,∴故③不正确; ④过抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0)作直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点, 当直线 l 的斜率不存在时,横坐标之和等于 2,不合题意; 当直线 l 的斜率为 0 时,只有一个交点,不合题意; ∴设直线 l 的斜率为 k(k≠0) ,则直线 l 为 y=k(x﹣1) , 2 2 2 2 2 代入抛物线 y =4x 得,k x ﹣2(k +2)x+k =0; ∵A、B 两点的横坐标之和等于 5, ∴ =5,解得 k = ,
2

∴这样的直线有且仅有两条.故④正确, 2 2 2 ⑤设定圆 C 的方程为 (x﹣a)+ (x﹣b)=r , 其上定点 A (x0, y0) , 设B (a+rcosθ , b+rsinθ ) , P(x,y) ,



= (

+

)得

,消掉参数 θ ,得: (2x﹣x0﹣a)2+(2y﹣y0﹣b)

2

=r2,即动点 P 的轨迹为圆,故⑤错误; 故答案为:①②④

三、解答题 18. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80mg/100ml (不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上时,属于醉酒驾车.某市公 安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 300 辆机动车, 查处酒后驾车和 醉酒驾车的驾驶员共 20 人,检测结果如表:

14

酒精含量 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (mg/100ml) 人数 3 4 1 4 2 3 2 1 (1)绘制出检测数据的频率分布直方图(在图中用实线画出矩形框即可) ; (2)求检测数据中醉酒驾驶的频率,并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数.

【分析】 (1)计算酒精含量(mg/100ml)在各小组中的

,绘制出频率分布直方图即可;

(2)计算检测数据中酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上的频率, 根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数, 再计算数据的平均数值. 【解答】解: (1)酒精含量(mg/100ml)在[20,30)的 在[30,40)的 在[40,50)的 在[50,60)的 在[60,70)的 在[70,80)的 在[80,90)的 在[90,100]的 为 为 为 为 为 为 为 =0.020, =0.005, =0.20, =0.010, =0.015, =0.010, =0.005; 为 =0.015,

绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示:

?

(2)检测数据中醉酒驾驶(酒精含量在 80mg/100ml(含 80)以上时)的频率是

15

;? 根据频率分布直方图,小矩形图最高的是[30,40)和[50,60) , 估计检测数据中酒精含量的众数是 35 与 55;? 估计检测数据中酒精含量的平均数是 0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55 +0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55.?

19.p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)若 a=1,分别求出 p,q 成立的等价条件,利用且 p∧q 为真,求实数 x 的取值 范围; (2) 利用¬p 是¬q 的充分不必要条件, 即 q 是 p 的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围. 2 2 【解答】解: (1)由 x ﹣4ax+3a <0,得(x﹣3a) (x﹣a)<0.又 a>0, 所以 a<x<3a. 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由 得

得 2<x≤3, 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, 所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p? ¬q,且¬q 推不出¬p. 即 q 是 p 的充分不必要条件, 则 ,解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 20.某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点 A、B、C 刚好是边长分别为 的三角形的三个顶点. (Ⅰ) 该运动员前三次射击的成绩(环数)都在区间[7.5,8.5)内,调整一下后,又连打 三枪,其成绩(环数)都在区间[9.5,10.5)内.现从这 6 次射击成绩中随机抽取两次射击 的成绩(记为 a 和 b)进行技术分析.求事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ) 第四次射击时,该运动员瞄准△ABC 区域射击(不会打到△ABC 外) ,则此次射击的 着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率为多少?(弹孔大小忽略不计) 【分析】 (Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3,从这 6 次射击成绩中随机抽取两个,利用列举法求出基本事件个数,并找出可使|a﹣b|>1 发生 的基本事件个数.由此能求出事件“|a﹣b|>1”的概率. (Ⅱ)因为着弹点若与 x1、x2、x3 的距离都超过 y1、y2、y3cm,利用几何概型能求出此次射 击的着弹点距 A、B、C 的距离都超过 1cm 的概率.

16

【解答】解: (Ⅰ)前三次射击成绩依次记为 x1,x2,x3,后三次成绩依次记为 y1,y2,y3, 从这 6 次射击成绩中随机抽取两个, 基本事件是:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},{y1,y3},{y2,y3}, {x1,y1},{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1},{x2,y2},{x2,y3}, {x3,y1},{x3,y2},{x3,y3},共 15 个,? 其中可使|a﹣b|>1 发生的是后 9 个基本事件. 故 .?

(Ⅱ)因为着弹点若与 x1、x2、x3 的距离都超过 y1、y2、y3cm, 则着弹点就不能落在分别以 6 为中心, 半径为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3}cm 的三个扇形区域内,只能落在扇形外的部分? 因为 满足题意部分的面积为 故所求概率为 .? ,? ,?

21.已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,直线 2x﹣y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)若直线 AB 过焦点 F,求|AF|?|BF|的值; (2)是否存在实数 p,使得以线段 AB 为直径的圆过 Q 点?若存在,求出 p 的值;若不存在, 说明理由.

2

【分析】 (1)求出 p=4,可得抛物线方程,与直线 y=2x+2 联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) ,利用韦达定理,通过|AF||BF|=(y1+2) (y2+2)求解即可. 2 (2)假设存在,由抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立消去 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 通过△>0,以及韦达定理推出 P(2p,4p+2) ,Q(2p,2p) , 方法一利用弦长公式 ,求出 p.

方法二:通过 化简,结合韦达定理,求解 p 即可. 2 【解答】解: (1)∵F(0,2) ,p=4,∴抛物线方程为 x =8y,? 2 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x ﹣16x﹣16=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)? 则 x1+x2=16,x1x2=﹣16,? ∴|AF||BF|=(y1+2) (y2+2)=(2x1+4) (2x2+4)=80;? 2 (2)假设存在,由抛物线 x =2py 与直线 y=2x+2 联立消去 y 得:x2﹣4px﹣4p=0.

17

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,△>0,则 x1+x2=4p,x1x2=﹣4p,? P(2p,4p+2) ,Q(2p,2p) ,? 方法一∴|PQ|=2p+2,? ? , ∴4p2+3p﹣1=0, ? 故存在 p= 且满足△>0? 方法二:由 得: (x1﹣2p) (x2﹣2p)+(y1﹣2p) (y2﹣2p)=0? 即(x1﹣2p) (x2﹣2p)+(2x1+2﹣2p) (x2+2﹣2p)=0,? ∴ 代入得 4p2+3p﹣1=0, 故存在 p= 且满足△>0, ∴p= ? . ,?

22. 在直角梯形 PBCD 中, 沿 AB 折到△SAB 的位置,使 SB⊥BC,点 E 在 SD 上,且 (Ⅰ)求证:SA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的正切值.

, A 为 PD 的中点, 如图. 将△PAB ,如图.

【分析】 (法一) (1)由题意可知,翻折后的图中 SA⊥AB①,易证 BC⊥SA②,由①②根据直 线与平面垂直的判定定理可得 SA⊥平面 ABCD; (2) (三垂线法)由 考虑在 AD 上取一点 O,使得 ,从而可得 EO∥SA,所

以 EO⊥平面 ABCD, 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H, 连接 EH, ∠EHO 为二面角 E﹣AC﹣D 的平面角, 在 Rt△AHO 中求解即可 (法二:空间向量法) (1)同法一

18

(2)以 A 为原点建立直角坐标系,易知平面 ACD 的法向为

,求平面 EAC

的法向量,代入公式求解即可 【解答】解法一: (1)证明:在题平面图形中,由题意可知,BA⊥PD,ABCD 为正方形, 所以在翻折后的图中,SA⊥AB,SA=2,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB⊥BC,AB⊥BC,SB∩AB=B 所以 BC⊥平面 SAB, 又 SA? 平面 SAB, 所以 BC⊥SA, 又 SA⊥AB,BC∩AB=B 所以 SA⊥平面 ABCD, (2)在 AD 上取一点 O,使 因为 ,所以 EO∥SA ,连接 EO

因为 SA⊥平面 ABCD, 所以 EO⊥平面 ABCD, 过 O 作 OH⊥AC 交 AC 于 H,连接 EH, 则 AC⊥平面 EOH, 所以 AC⊥EH. 所以∠EHO 为二面角 E﹣AC﹣D 的平面角, 在 Rt△AHO 中, ∴ , .

即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为 解法二: (1)同方法一 (2)解:如图,以 A 为原点建立直角坐标系,A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) , D(0,2,0) ,S(0,0,2) ,E(0, ∴平面 ACD 的法向为 设平面 EAC 的法向量为 =(x,y,z) , )





所以

,可取

所以 =(2,﹣2,1) .

19

所以

所以 即二面角 E﹣AC﹣D 的正切值为

23.已知点 P 是圆 C: (x+ )2+y2=16 上任意一点,A( ,0)是圆 C 内一点,线段 AP 的 垂直平分线 l 和半径 CP 交于点 Q,O 为坐标原点. (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 E 的方程. (2)设过点 B(0,﹣2)的动直线与 E 交于 M,N 两点,当△OMN 的面积最大时,求此时直 线的方程. 【分析】 (1)直接由题意可得|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2 ,符合椭圆定义,且得到长半轴和半 焦距,再由 b2=a2﹣c2 求得 b2,则点 Q 的轨迹方程可求; (2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由题意可设直 l 的方程为:y=kx﹣2,与椭圆的方程联立 可得根与系数的关系,再利用三角形的面积计算公式即可得出 S△OMN.通过换元再利用基本 不等式的性质即可得出. 【解答】解: (1)由题意知|PQ|=|AQ|, 又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4? ∴|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2 由椭圆定义知 Q 点的轨迹是椭圆,a=2,c= ? ∴b=1,

20

∴点 Q 的轨迹 E 的方程

=1.?

(2)由题意知所求的直线不可能垂直于 x 轴,所以可设直线为:y=kx﹣2,M(x1,y1) ,N (x2,y2) , 联立方程组,将 y=kx﹣2 代入 当△>0 时,即 k > 时,x1+x2=
2

=1 得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0? ,x1x2= ,?

则△OMN 的面积 S= |OB||x1﹣x2|=

?



=t>0,



,最大值为 1?



=2,k=±

,满足△>0? x﹣2?

∴直线的方程为 y=±

21


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