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必修2红对勾4-2-35


红对勾系列丛书

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

红对勾系列丛书

4.2

直线、圆的位置关系 圆与圆的位置关系

第35课时

4.2 第35课时

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1.会用代数法研究两圆的各种位置关系.

2.通过对两圆位置关系的讨论,发现两圆
方程所组成的方程组解的个数对两圆的位置关

系的影响,从而发现判断两圆位置关系的方法.

4.2 第35课时

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一、选择题(每小题5分,共30分) 1.⊙C1:x2+y2+2x-6y-26=0与⊙C2:x2+y2 -4x+2y+4=0的位置关系是( )

A.内切
C.相交 答案:A

B.外切
D.相离

4.2 第35课时

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2 .两圆 x2 + y2 - 6x + 16y - 48 = 0 与 x2 + y2 + 4x - 8y-44=0的公切线的条数是( A.4 B.3 )

C.2
答案:C

D.1

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3 .圆 C1 : x2 + y2 = 1 与圆 C2 : (x - 3)2 + y2 = m2 外

离,则实数m的取值范围是(
A.[0,+∞) C.(0,2) 答案:C

)
B.(0,+∞) D.(0,2]

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4 .设 A 为圆 (x + 1)2 + y2 = 4 上的动点, PA 是圆的 切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( A.(x+1)2+y2=25 )

B.(x+1)2+y2=5

C.x2+(y+1)2=25

D.(x-1)2+y2=5

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解析: 圆心 C( - 1,0).半径 r= 2 ,则 |PC|= r2+|PA|2= 5, 所以动点 P 的轨迹是以 C 为圆心, 5为半径的圆,所以 P 点的轨迹方程为 (x+1)2+y2 =5.
答案:B

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5.已知圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=
1对称的圆的方程为x2+y2=1,则实数a的值为( A.0 C.±2 答案:D B.1 D.2 )

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6.已知两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 的距离分 别是 2, 5- 2,则满足条件的直线 l 共有( A.1 条 C.3 条 B. 2 条 D.4 条 )

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解析:由|AB|= 5,分别以 A、B 为圆心, 2、 5- 2为半径作两个圆, 则两圆外切, 有 3 条公切 线,又直线 l 与以 A、B 为圆心, 2、 5- 2为半 径的两个圆相切, 即是两圆的公切线, 所以有 3 条.
答案:C

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.与圆 x2+y2-2x=0 外切且与直线 x+ 3y =0 相切于点 M(3,- 3)的圆的方程为________.

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解析: 设所求圆的方程为 (x- a)2+(y-b)2= r2(r>0). 则 ? a- 1?2+b2 =r+1, b+ 3 = 3. a-3 |a+ 3b| =r. 2 ① ② ③

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解①②③得 a=4,b=0, r=2, 即所求圆的方程为 (x-4)2+y2= 4.
答案:(x-4)2+y2=4

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2 8.若原点到直线 ax+by+1=0 的距离为 , 2 则两圆 (x- a)2+y2=1、x2+(y-b)2=1 的位置关系 是________.

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解析: 因为原点到直线 ax+by+1=0 的距离 2 |1| 2 2 2 为 ,所以 2 = , a + b =2,两圆的圆心 2 2 2 a +b 距为 ? a-0?2+? 0-b?2= a2+ b2= 2,因为 0< 2 <2,所以两圆相交.
答案:相交

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9.(2009· 天津高考)若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2 + 2ay - 6 = 0(a>0) 的 公 共 弦 长 为 2 3 , 则 a = __________.

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解析: 两圆方程作差易知弦所在直线方程为: 1 y= , a 如图 1,由已知 |AC|= 3, |OA|= 2. 1 有 |OC|= = 1,∴ a=1. a

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答案:1

图1

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三、解答题(共45分) 10.(本小题15分)实数k为何值时,两圆C1:x2+

y2 + 4x - 6y + 12 = 0 , C2 : x2 + y2 - 2x - 14y + k = 0 相
交、相切、相离? 解: 将两圆的一般方程化为标准方程, C1 : (x + 2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;

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圆 C2 的圆心为 C2(1,7),半径 r2= 50-k(k< 50). 从而 |C1C2|= ?-2-1?2+? 3- 7?2=5. 当 1+ 50-k=5,k=34 时,两圆外切. 当 | 50-k -1|=5, 50- k=6,k=14 时,两圆内切.

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当 r2-r1<|C1C2|<r2+r1, 14<k<34 时,两圆相交. 当 1+ 50-k<5,k<14 或 34<k<50 时,两 圆外离.

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11.(本小题15分)求以圆C1:x2+y2-12x-2y-

13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为
直径的圆的方程.

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解:方法一:联立两圆方程
?x2+ y2- 12x- 2y- 13= 0 ? ? 2 2 ? x + y +12x+16y-25=0 ?

.

相减得公共弦所在直线方程为 4x+3y- 2=0.
?4x+ 3y- 2= 0 ? 再由? 2 2 ? ?x + y - 12x- 2y- 13= 0



联立得两圆交点坐标 A(- 1,2), B(5,- 6).

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∵所求圆以 AB 为直径, ∴圆心是 AB 的中点 M(2,-2), 1 圆的半径为 r= |AB|=5. 2 于是圆的方程为 (x-2)2+(y+2)2=25.

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方法二:设所求圆的方程为: x2 + y2- 12x - 2y- 13+ λ(x2+ y2 + 12x+ 16y- 25)=0(λ 为参数,且 λ≠- 1), 12λ-12 16λ-2 得圆心 C(- ,- ). 2? 1+λ? 2? 1+ λ? ∵圆心 C 应在公共弦 AB 所在直线上,由方法 一知

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-? 12λ- 12? -? 16λ- 2? 4· +3· -2= 0, 2? 1+λ? 2? 1+λ? 1 解得 λ= . 2 ∴所求圆的方程为 x2+y2-4x+ 4y-17=0.

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12 . ( 本小题 15 分 ) 已知⊙ O 的半径为 3 ,直线 l 与
⊙O相切,一动圆与l相切,并与⊙O相交的公共弦恰 为⊙O的直径,求动圆圆心的轨迹方程. 解:取过O点且与l平行的直线为x轴,过O点且垂 直于l的直线为y轴,建立直角坐标系.

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图2

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设动圆圆心为M(x,y), ⊙O与⊙M的公共弦为AB,⊙M与l切于点C, 则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径,
∴MO垂直平分AB于O.

由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=
x2+y2+9,

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而 |MC|=|y+3|, ∴ x2+y2+ 9=|y+3|. 化简得 x2=6y,这就是动圆圆心的轨迹方程.

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