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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第八章8.7


数学

北(理)

§8.7 立体几何中的向量方法 (Ⅰ)——证明平行与垂直
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A和一个向量a,再任 → 给一个实数t,以A为起点作向量 AP = ta,则此向量方程叫作直线l的参数方

程.向量a称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点O,点P在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t,满 → → → 足等式 OP =(1-t) OA +tOB ,叫作空间 直线的向量参数方程.
利用空间向量解决立体几 何中的平行问题 (1)证明两条直线平行,只 需证明这两条直线的方向 向量是共线向量,但要注 意说明这两条直线不共 线.

难点正本 疑点清源

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1 和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)? v1∥v2 . (2)设直线l的方向向量为v,与平面α 共面的两个不共线向量v1和v2,则 l∥α或l α? 存在两个实数x,y,
使v=xv1+yv2 .
利用空间向量解决立体几 何中的平行问题 (1)证明两条直线平行,只 需证明这两条直线的方向 向量是共线向量,但要注 意说明这两条直线不共 线.

难点正本 疑点清源

(3)设直线l的方向向量为v,平面α的 法向量为u,则l∥α或l α? v⊥u .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
(4)设平面α和β的法向量分别为u1, u2,则α∥β?
难点正本 疑点清源
(2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与 平面的法向量垂直,但要 说明直线不在平面内. ②证明能够在平面内找到 一个向量与已知直线的方 向向量共线,也要说明直 线不在平面内. ③利用共面向量定理,即 证明直线的方向向量与平 面内的两个不共线向量是 共面向量.同时要注意强 调直线不在平面内.
练出高分

u1∥u2 .

3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1 v2=0 . 和v2,则l1⊥l2? v1⊥v2 ? v1· (2)设直线l的方向向量为v,平面α的 法向量为u,则l⊥α? v∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u1和 u2=0 . u2,则α⊥β? u1⊥u2 ? u1·

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4
5

答案
平行
40 15 ,- 7 7 ,4

解析

C
A C

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

证明线面平行,可以利用判定 定理先证线线平行;也可以寻 找平面的法向量.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

证明

方法一

如图所示,以 D 为 原 点 , DA 、 DC、 DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,设正方体的棱长 为 1,

? ?1 ? 1? M ?0,1,2? , N ?2,1,1? , ? ? ? ?

D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),

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基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪
?

【例 1】 如图所示,在正方体

解析
?

探究提高

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

设平面 A1BD 的法向量是 n=(x, y,z). → → 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,得 ? ?x+z=0, ? ? ?x+y=0. 取 x=1,得 y=-1,z=-1. ∴n=(1,-1,-1).
?1 1? → 又 MN · n = ?2,0,2? · (1 ,- 1 , ? ?

?1 1? → 于是MN=?2,0,2?,

-1)=0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

→ ∴MN⊥n, 又 MN 平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. → → → 方法二 MN=C1N-C1M= 1 → 1→ CB- CC 2 1 1 2 1 1 → 1→ → = (D1A1-D1D)= DA1, 2 2 → → ∴MN∥DA1 ,又∵MN 与 DA1

不共线,∴MN∥DA1, 又∵MN 平面 A1BD,A1D 平 面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示,在正方体

ABCD—A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求 证:MN∥平面 A1BD.

用向量证明线面平行的方法有 (1)证明该直线的方向向量与平 面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平 面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以 用平面内的两个不共线的向量 线性表示; (4) 本 题 易 错 点 : 只 证 明 MN∥A1D,而忽视 MN 平面 A1BD.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图所示,

平 面

PAD⊥ 平 面

证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为 正方形,
∴AB、 AP、 AD 两两垂直, 以 A 为坐标原点,

ABCD,ABCD 为正方

形, △PAD 是直角三角 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 形, 且 PA=AD=2, E、 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、 F、G 分别是线段 PA、 D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、 PD、CD 的中点. F(0,1,1)、G(1,2,0). 求证:PB∥平面 EFG.
-1),

→ → → ∴PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=(1,1,

→ =sFE → +tFG →, 设PB
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 如图所示,

即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),

平 面

?t=2, ? ABCD,ABCD 为正方 ∴?t-s=0, 解得 s=t=2. ?-t=-2, 形, △PAD 是直角三角 ? → =2FE → +2FG →, 形, 且 PA=AD=2, E、 ∴PB

PAD⊥ 平 面

F、G 分别是线段 PA、 PD、CD 的中点. 求证:PB∥平面 EFG.

→ 与FG → 不共线,∴PB → 、FE → 与FG → 共面. 又∵FE

∵PB 平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 点.求证:AB1⊥平面 A1BD.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 点.求证:AB1⊥平面 A1BD.
证明

方法一

设平面 A1BD 内的

任意一条直线 m 的方向向量为 m. 由共面向量定理, 则存在实数 λ, μ, → +μBD →. 使 m=λBA
1

→ =a,BC → =b,BA → =c,显然它 令BB 1

们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a· b =a· c=0,b· c=2,以它们为空间的 一个基底, → → 1 → 则BA1=a+c,BD=2a+b,AB1=a

-c,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 点.求证:AB1⊥平面 A1BD.

1 ? → → ? m = λ BA1 + μ BD = ?λ+2μ? a + μb +
? ?

λc, ?? ? 1 ? → ??λ+ μ?a+μb+λc? AB1· m=(a-c)· 2 ? ?? ? ? 1 ? =4?λ+2μ?-2μ-4λ=0. ? ? → ⊥m,结论得证. 故AB
1

方法二 如图所示, 取 BC 的中点 O,连 接 AO.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱 ABC—A1B1C1

因 为 △ABC 为 正 三 角 形 , 所 以

AO⊥BC. 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 BCC1B1, 点.求证:AB1⊥平面 A1BD. 所以 AO⊥平面 BCC1B1.
取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点, → ,OO → ,OA → 为 x 轴,y 轴, 以OB
1

z 轴建立空间直角坐标系,

则 B(1,0,0), D(-1,1,0), A1(0,2, 3), A(0,0, 3),B1(1,2,0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱

设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y, → → z), BA1=(-1,2, 3), BD=(-2,1,0). ABC—A1B1C1 → ,n⊥BD →, 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 因为 n⊥BA 1

点.求证:AB1⊥平面 A1BD.

→ ? ? ?n· BA1=0, ?-x+2y+ 3z=0, 故? ?? ? → ?-2x+y=0, ? BD=0 ?n· 令 x=1,则 y=2,z=- 3, 故 n=(1,2,- 3)为平面 A1BD 的一个 → =(1,2,- 3), 法向量,而AB 1 → → 所以AB1=n,所以AB1∥n, 故 AB1⊥平面 A1BD.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 利用空间向量证明垂直问题
解析 探究提高

【例 2 】 如图所 示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中 点.求证:AB1⊥平面 A1BD.

证明线面平行和垂直问题,可以用 几何法,也可以用向量法.用向量 法的关键在于构造向量,再用共线 向量定理或共面向量定理及两向量 垂直的判定定理.若能建立空间直 角坐标系,其证法较为灵活方便.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 如 图 所 示,已知 直三棱柱

证明 (1)如图建立空间直角坐标系 A—xyz,
令 AB=AA1=4, 则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),

B(4,0,0),B1(4,0,4).

ABC—A1B1C1 中,△ABC 取 AB 中点为 N,连接 CN, 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),

→ =(-2,4,0),NC → =(-2,4,0), ∴ DE ∠BAC = 90°, 且 AB = → =NC → ,∴DE∥NC, ∴DE
AA1, D、 E、 F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点.

又∵NC 平面 ABC,DE 平面 ABC.

求证:(1)DE∥平面 ABC; 故 DE∥平面 ABC. (2)B1F⊥平面 AEF.

→ → (2)B 1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2), → =(2,2,0). AF
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 2 如 图 所 示,已知 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形, ∠BAC = 90°, 且 AB = AA1, D、 E、 F 分别为 B1A、 C1C、BC 的中点. 求证:(1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

→ → B1F · EF = ( - 2)×2 + 2×( - 2) + ( - 4)×( - 2) =0,

→ → =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. B AF 1F· → →, → →, ∴B F⊥EF B F⊥AF 即 B F⊥EF, B F⊥AF,
1 1 1 1

又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面 AEF.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

利用向量法建立空间直角坐标系, 将几何问题进行转化;对于存在性 问题可通过计算下结论.

(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

→ ,AD →, (1)证明 以 A 为原点,AB → 的方向分别 AA
1

为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立 空间直角坐标系 (如图). 设 AB=a,则 A(0,0,0),D(0,1,0),

(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类

D1(0,1,1), ?a ? E?2,1,0?,B1(a,0,1), ? ?
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
探究提高 思维启迪 解析 → =(0,1,1),B → 故AD 1 1E= ? a ? → →= ?- ,1,-1?, AB = ( a, 0,1) , AE 1 ? 2 ? ?a ? ? ,1,0?. ?2 ? a → → ∵AD1· B1E=-2×0+1×1+

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

(-1)×1=0, (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, ∴B1E⊥AD1. (2)解 假设在棱 AA1 上存在一点 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, P(0,0,z0). 求 AP 的长;若不存在,说明 →= 使得 DP∥平面 B1AE,此时DP 理由. (0,-1,z0).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(1)求证:B1E⊥AD1;

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

又设平面 B1AE 的法向量 n=(x, y,
→, ∵n⊥平面 B1AE,∴n⊥AB 1 ax+z=0, ? ? → ,得? n⊥AE ax +y=0. ? ?2

z).

(1)求证:B1E⊥AD1;

(2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向 ? ? a 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 量 n=?1,-2,-a?. 求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类

→, 要使 DP∥平面 B1AE, 只要 n⊥DP a 有2-az0=0,
思想方法 练出高分

?

?

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

1 解得 z0= . 2
又 DP 平面 B1AE,

(1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类

∴存在点 P, 满足 DP∥平面 B1AE, 1 此时 AP=2.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 利用空间向量解决探索性问题
思维启迪 解析

【例 3】(2012· 福建)如图,在长方

探究提高

体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1 =AD=1,E 为 CD 的中点.

对于“是否存在”型问题的探索方 式有两种:一种是根据条件作出判 断,再进一步论证.另一种是利用 空间向量,先设出假设存在点的坐 标,再根据条件求该点的坐标,即

(1)求证:B1E⊥AD1;

,若该点坐标不能求 (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P, 找到“存在点” 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 出,或有矛盾,则判定“不存在”.

求 AP 的长;若不存在,说明 理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正 方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平 面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

(1)证明 连接 BD,设 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD.

由题意知 SO⊥平面 ABCD. → ,OC → ,OS → 分别为 x 轴、y 轴、z 以 O 为坐标原点,OB

轴正方向,建立空间直角坐标系如图.
6 设底面边长为 a,则高 SO= 2 a,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正 方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平 面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.
? ? ? 6 ? 2 ? ? ? 于是 S?0,0, a?,D?- a,0,0? ?, 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 → ? ? ? ? B? a,0,0?,C?0, a,0?,OC=? ?0, 2 ? 2 ? ? ? ?

? 2 ? a , 0 ?, 2 ?

2 6 ? → ? → → ? SD=?- a,0,- a? ,则 OC · SD=0. ? 2 2 ? ?

故 OC⊥SD.从而 AC⊥SD.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正 方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平 面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

(2)解 棱 SC 上存在一点 E 使 BE∥平面 PAC. → 理由如下:由已知条件知DS是平面 PAC 的一个法向量, ? 6 ? 2 6 ? → ? ? 2 ? → ? 且DS=? a,0, a?,CS=?0,- a, a? ?, 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 → ? BC=?- a, a,0? ?. 2 2 ? ? → =tCS → ,则BE → =BC → +CE → =BC → +tCS → 设CE
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正 方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平 面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.
? =? ?- ?

1 2 2 6 ? → → ? DS=0?t= . a, a?1-t?, at?,而BE· 3 2 2 2 ? → → 即当 SE∶EC=2∶1 时,BE⊥DS.

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE∥平面 PAC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 解 题 策 略 规 范 解 答 解 后 反 思

基础知识

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练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

本题以四棱锥为载体,考查多面体的结构特征,线面垂直的判定以 及直线与平面所成角的计算.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

本题有两种解题思路: ①利用常规方法, 从线线垂直证明线面垂直, 作出所求线面角;②利用空间向量,将线面垂直转化为两个向量的 关系,利用平面的法向量求线面角.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)证明

以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,射线 CB 为 y

轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.设 D(1,0,0), 则 A(2,2,0),B(0,2,0). 又设 S(x,y,z),则 x>0,y>0,z>0. → =(x-2,y-2,z), AS → =(x,y-2,z), BS
基础知识 题型分类 思想方法
2分

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
→ =(x-1,y,z), DS → |=|BS → |得 ?x-2?2+?y-2?2+z2= x2+?y-2?2+z2, 由|AS 故 x=1. → |=1 得 y2+z2=1. 由|DS → |=2 得 x2+(y-2)2+z2=4, 又由|BS
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒



即 y2+z2-4y+1=0.
基础知识 题型分类 思想方法


练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒
1 ? ?y=2, 联立①②得? ?z= 3. 2 ?

6分

1 3 → 3 3 于是 S(1,2, 2 ),AS=(-1,-2, 2 ), 3 3 → 1 3 → BS=(1,-2, 2 ),DS=(0,2, 2 ).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

→· → =0,DS →· → =0, 因为DS AS BS 故 DS⊥AS,DS⊥BS. 又 AS∩BS=S,所以 SD⊥平面 SAB. (2)解 设平面 SBC 的法向量 a=(m,n,p), → ,a⊥CB → ,a· → =0,a· → =0. 则 a⊥BS BS CB
3 3 → → 又BS=(1,-2, 2 ),CB=(0,2,0),
基础知识 题型分类 思想方法

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

? ?m-3n+ 3p=0, 2 2 故? ? ?2n=0. 取 p=2 得 a=(- 3,0,2).

→ |AB· a| 21 → → 又AB=(-2,0,0),cos〈AB,a〉= = , 7 → |AB||a| 21 所以 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 . 7 思想方法 题型分类 基础知识

10分

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

直线和平面的位置关系可以利用直线的方向向量和平面的法向量之 间的关系来判断.证明的主要思路:(1)证明线线平行:可证两条直 线的方向向量共线;(2)证明线面平行:①证明直线的方向向量和平 面的法向量垂直,②证明直线的方向向量可用平面内的两个不共线 向量线性表示;(3)证明面面平行:可证两个平面的法向量共线;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高考圈题 6.利用空间向量解决立体几何问题
典例:(12 分)(2011· 大纲全国)如图,四棱锥 S- ABCD 中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面 SAB 为等 边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (1)证明:SD⊥平面 SAB; (2)求 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值.
考 点 分 析
审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(4)证明线线垂直: 可证两条直线的方向向量垂直; (5)证明线面垂直: ①证明直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直,②证明直 线的方向向量与平面的法向量共线;(6)证明面面垂直:可证两个平 面的法向量互相垂直.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用 向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用 向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与 空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及 的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通 过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据 运算结果的几何意义来解释相关问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何

失 误 与 防 范

中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的 一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线 线平行,用向量方法证明直线 a∥b,只需证明向量 a =λb(λ∈R)即可. 若用直线的方向向量与平面的法向量 垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n =(6,-3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内的是 A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n =(6,-3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内的是 A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) ( A )

解 析
→ =(1,4,1), 逐一验证法,对于选项 A,MP →· → ⊥n,∴点 P 在平面 α 内,同理可 ∴MP n=6-12+6=0,∴MP

验证其他三个点不在平面 α 内.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3, → ,AC → 垂直,则向量 a 为 且 a 分别与AB ( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3, → ,AC → 垂直,则向量 a 为 且 a 分别与AB ( C ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)

解 析
→ =(-2,-1,3),AC → =(1,-3,2), 由条件知AB 可观察出 a=± (1,1,1).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7), 平面 α 的一个法向量为 u =(1,1,-1),则 A.l∥α 或 l α C.l α B.l⊥α D.l 与 α 斜交 ( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3. 若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7), 平面 α 的一个法向量为 u =(1,1,-1),则 A.l∥α 或 l α C.l α B.l⊥α D.l 与 α 斜交 ( A )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为( A.平行 B.异面 C.垂直 ) D.以上都不对

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为( A.平行 B.异面 C.垂直 ) D.以上都不对

解 析
以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直 线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系,

依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1, 3),C(0,2,0), A(2 2,0,0),M( 2,2,0).

→ ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2, AA1= 3,AD=2 2,P 为 C1D1 的中点,M 为 BC 的中点.则 AM 与 PM 的位置关系为( C A.平行 B.异面 C.垂直 ) D.以上都不对

解 析
→ AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0)=(- 2,2,0), →· → =( 2,1,- 3)· ∴PM AM (- 2,2,0)=0,

→ → 即PM⊥AM,∴AM⊥PM.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.设 l1 的方向向量为 a=(1,2,-2),l2 的方向向量为 b=(-2,3, m),若 l1⊥l2,则 m=________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.设 l1 的方向向量为 a=(1,2,-2),l2 的方向向量为 b=(-2,3, m),若 l1⊥l2,则 m=________. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1, 4)确定的平面上,则 a=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6.设点 C(2a+1,a+1,2)在点 P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1, 16 4)确定的平面上,则 a=________.

→ =(-1,-3,2),PB → =(6,-1,4). PA → → → 根据共面向量定理,设PC=xPA+yPB (x、y∈R),

解 析

则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)

=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),

?2a-1=-x+6y, ? ∴?a+1=-3x-y, ?2=2x+4y, ?

解得 x=-7,y=4,a=16.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练
8 9

1 2 3 4 6 7 5 7. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a, 2a M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1M=AN= , 3
则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

A组

专项基础训练
8 9

1 2 3 4 6 7 5 7. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a, 2a M、 N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1M=AN= , 3
则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是________ 平行 .

2a ∵正方体棱长为 a,A1M=AN= , 解 析 3 2 → → 2→ → ∴MB= A1B,CN= CA, 3 3 2 → → 2→ → → → → ∴MN=MB+BC+CN=3A1B+BC+3CA 2 → 2 → → 2→ 1 → → → =3(A1B1+B1B)+BC+3(CD+DA)=3B1B+3B1C1. → 是平面 B BCC 的法向量, 又∵CD
1 1

?2 → 1 → ? → → → ∴MN· CD=?3B1B+3B1C1?· CD=0, ? ? → → ∴MN⊥CD.又∵MN 平面 B1BCC1, ∴MN∥平面 B1BCC1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面 CA1D.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面 CA1D.

解 析
证明 如图,以 C1 点为原点,C1A1,C1B1,C1C 所在直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 AC=BC=BB1 =2,则 A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0), B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2). → (1)由于BC =(0,-2,-2),
1

→ AB1=(-2,2,-2),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC⊥BC,D 为 AB 的中点,AC=BC=BB1. (1)求证:BC1⊥AB1; (2)求证:BC1∥平面 CA1D.

解 析

→· → =0-4+4=0, 所以BC AB 1 1

(2)连接 A1C,取 A1C 的中点 E,连接 DE,由于 E(1,0,1), → 所以ED=(0,1,1), → 又BC1=(0,-2,-2), 1→ → 所以ED=-2BC1,又 ED 和 BC1 不共线, 所以 ED∥BC1,又 DE 平面 CA1D,
BC1 平面 CA1D,故 BC1∥平面 CA1D.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA =AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB;(2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA =AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB;(2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
证明 (1)以 A 为原点,AB 所在

解 析

直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), ?1 ? 1? 1? E=?2,1,2?,F=?0,1,2? ? ? ? ? ? ? 1 → → → EF=?-2,0,0?,PB=(1,0,-1),PD=(0,2,-1), ? ? → → → =(1,0,0),AB → =(1,0,0). AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA =AB=1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB;(2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.
1→ → → ∥AB → ,即 EF∥AB, ∵EF=-2AB,∴EF

解 析

又 AB 平面 PAB, EF 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. → → → → (2)∵AP· DC=(0,0,1)· (1,0,0)=0, AD· DC=(0,2,0)· (1,0,0)=0,

→ → → → ∴AP⊥DC,AD⊥DC,即 AP⊥DC,AD⊥DC.
又 AP∩AD=A,∴DC⊥平面 PAD.

∵DC 平面 PDC,∴平面 PAD⊥平面 PDC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为 A.-1,2 C.1,2 B.1,-2 D.-1,-2 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的值分别为 A.-1,2 C.1,2 B.1,-2 D.-1,-2 ( A )

解 析
由已知得 c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故 a· c=3m+n+1=0,b· c=m+5n-9=0. ? ?m=-1, 解得? ? ?n=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于 62 63 A. B. 7 7 60 C. 7 ( 65 D. 7 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于 62 63 A. B. 7 7 60 C. 7 ( D ) 65 D. 7

解 析

由题意得 c=ta+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),

?7=2t-μ ? ∴?5=-t+4μ ?λ=3t-2μ ?

33 ? ?t= 7 ? ? 17 ? ,∴ μ= 7 ? ? 65 λ= ? 7 ?
题型分类

.

基础知识

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 NO、AM 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面垂直 ) D.异面不垂直

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 底面正方形 ABCD 的中心,M 是 D1D 的中点,N 是 A1B1 的中点,则直线 NO、AM 的位置关系是( C ) A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直

解 析
立坐标系如图,设正方体的棱长为 2,则 →= A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),NO → =(- 2,0,1),NO →· → = 0, (- 1,0,- 2),AM AM 则直线 NO、AM 的位置关系是异面垂直.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2, 3),且 α⊥β,则 x=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,

-4 3),且 α⊥β,则 x=________. 解 析
∵a· b=x-2+6=0,∴x=-4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形 的面积为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形
65 . 的面积为________

解 析

|a|= 22+?-1?2+22=3,

|b|= 22+22+12=3,

a· b=2×2+(-1)×2+2×1=4,
a· b 4 65 ∴cos〈a,b〉= = ,sin〈a,b〉= , |a||b| 9 9
S 平行四边形=|a||b|· sin〈a,b〉= 65.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为正 方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点, 点 Q 为平面 ABCD 内一点, 线段 D1Q 与 OP 互相 → → 平分,则满足MQ=λMN的实数 λ 的有________个.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 为正 方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点, 点 Q 为平面 ABCD 内一点, 线段 D1Q 与 OP 互相 → → 平分,则满足MQ=λMN的实数 λ 的有________ 个. 2

解 析

建立如图的坐标系,设正方体的

边长为2,则P(x,y,2),O(1,1,0),∴OP的中点坐 ?x+1 y+1 ? ? ? 标为? , , 1 ?, 2 ? 2 ? 又知D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,∴xQ+yQ=3,

∴x+y=1,即点P坐标满足x+y=1.

∴有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13分)在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正 方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13分)在四棱锥P—ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正 方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; (2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.

解 析
(1)证明 如图,以DA、DC、DP所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、 ? ? ?a a a? a C(0,a,0)、E?a,2,0?、P(0,0,a)、F?2,2,2?. ? ? ? ? ? a a? → → EF=?-2,0,2?,DC=(0,a,0). ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2

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3

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4 5 6 7

7.(13分)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D、E分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. →· → =0,∴EF → ⊥DC → ,即EF⊥CD. ∵EF DC

解 析

(2)解

? a a a? → 设 G(x,0,z),则FG=?x-2,-2,z-2?, ? ?

? a a a? → → 若使GF⊥平面PCB,则由FG· CB=?x-2,-2,z-2?· (a,0,0) ? ?
? a? a ? ? =a x-2 =0,得x= ; 2 ? ?
C

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1 2

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3

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4 5 6 7

7.(13分)如图,在直三棱柱ABC—A′B′C′ 中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D、E分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

解 析

a a a? → → ? 由FG· CP=?x-2,-2,z-2?· (0,-a,a)
? ?

? a? a2 = 2 +a?z-2?=0,得z=0. ? ?
?a ? ∴G点坐标为?2,0,0?,即G点为AD的中点. ? ?

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