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平面向量的坐标运算


平面向量的坐标运算
一、知识精讲 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示: 在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基 底,对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x, y 使得 a=xi+yj,则把有序数对(x,y)叫做

向量 a 的坐标.记作 a=(x,y),此式 叫做向量的坐标表示. (2)在直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 3.平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2), a-b=(x1-x2,y1-y2).即两个向量和(差)的坐标分别等于 这两个向量相应坐标的和(差)

实 数 与 向 量 若 a=(x,y),λ∈ R,则 λa=(λx,λy),即实数与向量的积的 的积 坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 已知向量 向量的 坐标

??? ?

??? ?

AB 的 起 点

A(x1 , y1) , 终 点 B(x2 , y2) , 则

AB =(x2-x1,y2-y1),即向量的坐标等于表示此向量的有

向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4.两个向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.则 a∥ b? a=λb? x1y2-x2y1=0. [小问题· 大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0,即 a=(x,0);与 y 轴平行的向 量的横坐标为 0,即 b=(0,y). 2.已知向量 OM =(-1,-2),M 点的坐标与 OM 的坐标有什么关系? 提示:坐标相同但写法不同; OM =(-1,-2),而 M(-1,-2).

????

????

????

3.在基底确定的条件下,给定一个向量.它的坐标是唯一的一对实数,给定一 对实数,它表示的向量是否唯一? 提示:不唯一,以这对实数为坐标的向量有无穷多个,这些向量都是 相等向量. 4.向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化吗? 提示:不发生变化。向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向 量在平移前后,其坐标不变. x1 y1 5.已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a∥ b,是否有 = 成立? x2 y2 x1 y1 提示:不一定.由于 = 的意义与 x1y2-x2y1=0 的意义不同,前者不 x2 y2 允许 x2 和 y2 为零, 而后者允许, 当 x1=x2=0, 或 y1=y2=0 或 x2=y2=0 时, a∥ b x1 y1 但 = 不成立. x2 y2 二、典例精析 例 1、如图所示,已知△ ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D 分别是 AB, AC,BC 的中点,且 MN 与 AD 交于点 F,求 DF 的 坐标.

??? ?

变式练习: 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 ( 1 3 A.- a+ b 2 2 答案:B 例 2、已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 OP =OA +t AB . (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能,求出 t 值;若不能,说明理由. 1 3 B. a- b 2 2 3 1 C. a- b 2 2 ) 3 1 D.- a+ b 2 2

??? ?

???

??? ?

保持例题条件不变,问 t 为何值时,B 为线段 AP 的中点?

变式练习: 已知向量 u=(x,y)和向量 v=(y,2y-x)的对应关系用 v=f(u)表示. (1)若 a=(1,1),b=(1,0),试求向量 f(a)及 f(b)的坐标. (2)求使 f(c)=(4,5)的向量 c 的坐标.

例 3、已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时 它们是同向还是反向?

保持例题条件不变,是否存在实数 k,使 a+kb 与 3a-b 平行?

变式练习

已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断 AB 与 CD 是否共线?如果共线, 它们的方向相同还是相反?

? ??? ? ???

例 4、

??? ??? ? ??? ? (1)已知 OA =(3,4), OB =(7,12), OC =(9,16),
???

(1)求证:A,B,C 三点共线;

(2)设向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),当 k 为何值时,A,B, C 三点共线?

??? ?

??? ?

变式练习 设 A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当 x 为何值时, AB 与 CD 共线且方向相 同,此时,A,B,C,D 能否在同一条直线上?

??? ?

??? ?

例 5、如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 和 OB 交点 P 的坐标.

变式练习:

? 1 ??? ??? ? 1 ??? ??? ? 在△ AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC = OA ,OD = OB ,AD 与 4 2
BC 交于点 M,求点 M 的坐标.

三、课后检测
一、选择题 1.已知向量 i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量 a,给出下列四个结论 ① 存在唯一的一对实数 x,y,使得 a=(x,y); ② a=(x1,y1)≠(x2,y2),则 x1≠x2,且 y1≠y2; ③ 若 a=(x,y),且 a≠0,则 a 的始点是原点 O; ④ 若 a≠0,且 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x,y). 其中,正确结论的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:由平面向量基本定理可知,① 正确;② 不正确.例如,a=(1,0)≠(1,3),但 1=1; 因为向量可以平移,所以 a=(x,y)与 a 的始点是不是原点无关,故③ 错误;a 的坐标与终点 坐标是以 a 的始点是原点为前提的,故④ 错误. 答案:B 2.已知 a=(3,-1),b=(-1,2),若 ma+nb=(10,0)(m,n∈ R),则( A.m=2,n=4 C.m=4,n=2 B.m=3,n=-2 D.m=-4,n=-2 )

解析:∵ ma+nb=m(3,-1)+n(-1,2) =(3m-n,-m+2n)=(10,0),
? ?3m-n=10, ? ∴ ∴ m=4,n=2. ?-m+2n=0, ?

答案:C 3.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为( A.(2,6) C.(2,-6) B.(-2,6) D.(-2,-6) )

解析:∵ 四条有向线段首尾相接构成四边形,则对应向量之和为零向量,即 4a+(4b- 2c)+2(a-c)+d=0, ∴ d=-6a-4b+4c=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2)=(-2,-6). 答案:D 4.若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2)满足(ka+b)∥ c,则 k=( A.3 1 C. 3 B.-3 D.- 1 3 )

解析:ka+b=(k-1,k+1), 由(ka+b)∥ c,得 2(k-1)-4(k+1)=0,解得 k=-3. 答案:B 5.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 BC =2 AD ,则 顶点 D 的坐标为( 7? A.? ?2,2? C.(3,2) ) 1? B.? ?2,-2? D.(1,3)

??? ?

??? ?

?2?x-0?=3-?-1?, ? 解析:令 D(x,y),由已知得? ? ?2?y-2?=1-?-2?.

x=2, ? ? 7 解得? 7 ∴ 顶点 D 的坐标为(2, ). 2 y = . ? ? 2 答案:A 6.若 A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则 y=( A.13 C.9 B.-13 D.-9 )

解析: AB =(-8,8), AC =(3,y+6). ∵ AB ∥ AC ,∴ -8(y+6)-24=0. ∴ y=-9. 答案:D 1 7.已知 a=(-2,1-cos θ),b=(1+cos θ,- ),且 a∥ b,则锐角 θ 等于( 4 A.45° C.60° B.30° D.30° 或 60° )

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

1 解析:由 a∥ b 得-2× (- )=1-cos2θ=sin2θ, 4 ∵ θ 为锐角,∴ sin θ= 答案:A 二、填空题 8.已知向量 a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2),且 a∥ b,则 tan θ=________. 解析:∵ a∥ b,∴ 2sin θ=cos θ-2sin θ. 1 即 4sin θ=cos θ,∴ tan θ= . 4 2 ,∴ θ=45° . 2

答案:

1 4

9.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥ c,则 m=________. 解析:a+b=(2-1,-1+m)=(1,m-1),由(a+b)∥ c, 得 1× 2-(m-1)× (-1)=0,即 m=-1. 答案:-1 10.已知点 A(-1,-1)、B(1,3)、C(x,5),若对于平面上任意一点 O,都有 OC =λ OA +(1-λ) OB ,λ∈ R,则 x=______. 解析:取点 O(0,0),由 OC = λ OA +(1-λ) OB ,得 (x,5)=λ(-1,-1)+(1-λ)(1,3),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ?λ=-2, ?x=-λ+?1-λ?, ? ∴ 解得? ?5=-λ+3?1-λ?. ? ? ?x=2.
答案:2 11.已知向量 a=(-2,3),b∥ a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标为________________. 解析:由 b∥ a,可设 b=λa=(-2λ,3λ). 设点 B 坐标为(x,y),则 AB―→=(x-1,y-2)=b.
?-2λ=x-1, ?x=1-2λ, ? ? 由? ?? ① ? ? ?3λ=y-2, ?y=3λ+2.

1

又 B 点在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0, 1 2 ∴ λ= 或 λ=- ,代入① 式得 2 3 7 7 B 点坐标为(0, )或( ,0). 2 3 7 7 答案:(0, )或( ,0) 2 3 三、解答题

? ??? ??? ? 1 ??? ? 12.已知 A、B、C 三点的坐标为(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且 AE = AC , BF = 3

? ??? ? ??? ? 1 ??? BC ,求证: EF ∥ AB . 3
证明:设 E、F 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 依题意有 AC =(2,2), BC =(-2,3), AB =(4,-1).

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? ∵ AE = AC , 3

1 ∴ (x1+1,y1)= (2,2). 3 1 2 ∴ 点 E 的坐标为(- , ). 3 3

??? ? 8 7 2 同理点 F 的坐标为( ,0), EF =( ,- ). 3 3 3

??? ? ??? ? 8 2 又 × (-1)-4× (- )=0,∴EF ∥ AB . 3 3
13.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (3)若(a+kc)∥ (2b-a),求实数 k. 解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1) =(9,6)+(-1,2)-(8,2) =(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵ a=mb+nc, ∴ (3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 5 8 ∴ -m+4n=3 且 2m+n=2,解得 m= ,n= . 9 9 (3)∵ (a+kc)∥ (2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴ 2× (3+4k)-(-5)× (2+k)=0. 16 ∴ k=- . 13


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