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(教师版)函数与导数第2讲


第2讲
考情解读

函数的应用

1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以选

择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数 的最值问题.

1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x),我们把使 f(x

)=0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=g(x)的 图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点, 即存在 c∈(a, b)使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤 是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学 建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法 得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

热点一 函数的零点 例1 2 (1)函数 f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的区间是( x )

1 A.( ,1) B.(1,e-1) 2 C.(e-1,2) D.(2,e)

?cos πx,x∈[0,2], (2)(2014· 辽宁)已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=? 1 ?2x-1,x∈?2,+∞?,

1

则不等式 f(x

1 -1)≤ 的解集为( ) 2 1 2 4 7 A.[ , ]∪[ , ] 4 3 3 4 3 1 1 2 B.[- ,- ]∪[ , ] 4 3 4 3 1 3 4 7 C.[ , ]∪[ , ] 3 4 3 4 3 1 1 3 D.[- ,- ]∪[ , ] 4 3 3 4 思维启迪 (1)根据二分法原理,逐个判断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 (1)C (2)A 1 3 2 解析 (1)因为 f( )=ln -4<0,f(1)=ln 2-2<0,f(e-1)=1- <0,f(2)=ln 3-1>0,故零 2 2 e-1 点在区间(e-1,2)内. (2)先画出 y 轴右边的图象,如图所示.

1 ∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称,∴可画出 y 轴左边的图象,再画直线 y= .设与曲线 2 交于点 A,B,C,D,先分别求出 A,B 两点的横坐标. 1 1 令 cos πx= ,∵x∈[0, ], 2 2 π 1 ∴πx= ,∴x= . 3 3 1 3 1 3 令 2x-1= ,∴x= ,∴xA= ,xB= . 2 4 3 4 1 3 1 根据对称性可知直线 y= 与曲线另外两个交点的横坐标为 xC=- ,xD=- . 2 4 3 1 1 ∵f(x-1)≤ ,则在直线 y= 上及其下方的图象满足, 2 2 1 3 3 1 ∴ ≤x-1≤ 或- ≤x-1≤- , 3 4 4 3 4 7 1 2 ∴ ≤x≤ 或 ≤x≤ . 3 4 4 3 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定; ②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用 方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同 的方程多以数形结合求解. 1 (1)已知函数 f(x)=( )x-cos x,则 f(x)在[0,2π]上的零点个数是( 4 A.1 B.2 C.3 D.4 )

1 (2)(2014· 绵阳模拟)已知 a 是函数 f(x)=2x-log x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( 2 A.f(x0)=0 B.f(x0)>0 C.f(x0)<0 D.f(x0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C

)

1 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数 y=( )x 和 y=cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数, 4 1x 而函数 y=( ) 和 y=cos x 的图象在[0,2π]上的交点有 3 个,故选 C. 4 (2)∵f(x)=2x- log 1 x 在(0,+∞)上是增函数,又 a 是函数 f(x)=2x- log 1 x 的零点,即 f(a)
2 2

=0,∴当 0<x0<a 时,f(x0)<0. 热点二 函数的零点与参数的范围 例2
? ?b,a-b≥1, 对任意实数 a,b 定义运算“?”:a?b=? 设 f(x)=(x2-1)?(4+x),若 ?a,a-b<1. ?

函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是( A.(-2,1) B.[0,1] C.[-2,0) D.[-2,1) 思维启迪 先确定函数 f(x)的解析式,再利用数形结合思想求 k 的范围. 答案 D

)

解析 解 不 等 式 : x2 - 1 - (4 + x)≥1 , 得 : x≤ - 2 或 x≥3 , 所 以 , f(x) = ?x+4,x∈?-∞,-2]∪[3,+∞?, ?
? 2 ?x -1,x∈?-2,3?. ?

函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点转化为函数 y=f(x)的图象和直线 y=-k 恰有 三个不同交点. 如图,所以-1<-k≤2,故-2≤k<1.

思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围,可以利用数形结合思想转为函数图象交点个 数;也可以利用函数方程思想,构造关于参数的方程或不等式进行求解. (2014· 郑州第一次预测试题)定义在 R 上的函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调 增区间为(-1,1),若方程 3a(f(x))2+2bf(x)+c=0 恰有 6 个不同的实根,则实数 a 的取值范围 是________. 1 答案 a<- 2 解析 ∵函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1), ∴-1 和 1 是 f′(x)=0 的根,

∵f′(x)=3ax2+2bx+c, 2b ?-1?+1=- 3a ∴ ,∴b=0,c=-3a, c ?-1?×1= 3a

? ? ?

∴f(x)=ax3-3ax, ∵3a(f(x))2+2bf(x)+c=0, ∴3a(f(x))2-3a=0,∴f2(x)=1,∴f(x)=± 1, ? ?f?1?>1 ? ?a-3a>1 1 ∴? ,即? ,∴a<- . 2 ?f?-1?<-1 ?-a+3a<-1 ? ? 热点三 函数的实际应用问题 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综 x 2 合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=| 2 -a|+2a+ ,x∈[0,24],其中 a 是与 3 x +1 1 气象有关的参数,且 a∈[0, ],若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记 2 作 M(a). x (1)令 t= 2 ,x∈[0,24],求 t 的取值范围; x +1 (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射性污染 指数是否超标? 思维启迪 (1)分 x=0 和 x≠0 两种情况,当 x≠0 时变形使用基本不等式求解. 2 (2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t)=|t-a|+2a+ ,再把函数 g(t)写成分段函数后求 M(a). 3 解 (1)当 x=0 时,t=0; 1 当 0<x≤24 时,x+ ≥2(当 x=1 时取等号), x x 1 1 ∴t= 2 = ∈(0, ], 1 2 x +1 x+ x 1 即 t 的取值范围是[0, ]. 2 1 2 (2)当 a∈[0, ]时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 2 3 2 -t+3a+ ,0≤t≤a, 3 则 g(t)= 2 1 t+a+ ,a<t≤ . 3 2 1 ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在(a, ]上单调递增, 2 2 1 7 且 g(0)=3a+ ,g( )=a+ , 3 2 6 1 1 g(0)-g( )=2(a- ). 2 4 例3

? ? ?

?g?2?,0≤a≤4, 故 M(a)=? 1 1 ?g?0?,4<a≤2. ?a+6,0≤a≤4, 即 M(a)=? 2 1 1 ?3a+3,4<a≤2.
1 7 当 0≤a≤ 时,M(a)=a+ <2 显然成立; 4 6 2 3a+ ≤2, 3 1 4 由 得 <a≤ , 4 9 1 1 <a≤ , 4 2 4 ∴当且仅当 0≤a≤ 时,M(a)≤2. 9 4 4 1 故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 2 7 1

1

1

? ? ?

思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间 的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法:单调性法、基本不等式法及导数法. 某工厂有 214 名工人,现要生产 1 500 件产品,每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型零件配套组成,每名工人加工 5 个 A 型零件与 3 个 B 型零件所需时间相同.现将全部 工人分为两组, 分别加工 A 型和 B 型零件, 且同时开始加工. 设加工 A 型零件的工人有 x 名, 单位时间内每名工人加工 A 型零件 5k(k∈N*)个,加工完 A 型零件所需时间为 g(x),加工完 B 型零件所需时间为 h(x). (1)试比较 g(x)与 h(x)的大小,并写出完成总任务所需时间 f(x)的表达式; (2)怎样分组才能使完成总任务所需时间最少? 解 (1)由题意,知 A 型零件共需要生产 4 500 个,B 型零件共需要生产 1 500 个,加工 B 型 零件的工人有(214-x)名, 单位时间内每名工人加工 B 型零件 3k 个, 4 500 900 所以 g(x)= = , 5kx kx 1 500 500 h(x)= = . 3k?214-x? k?214-x? 900 500 100 2?963-7x? 则 g(x)-h(x)= - = · . kx k?214-x? k x?214-x? 因为 0<x<214,且 x∈N*, 所以当 1≤x≤137 时,g(x)>h(x); 当 138≤x≤213 时,g(x)<h(x).

? kx ,1≤x≤137, 所以 f(x)=? 500 ?k?214-x?,138≤x≤213,
f(x)最小. 900 因为 f(x)= (1≤x≤137)为减函数, kx 500 f(x)= (138≤x≤213)为增函数, k?214-x? f?137? 900 76k 而 = · <1, f?138? 137k 500 所以当 x=137 时,f(x)最小.

900

其中 x∈N*.

(2)求完成总任务所需时间最少,即求当 x 为何值时,

即当有 137 名工人加工 A 型零件,77 名工人加工 B 型零件时,完成总任务所需时间最少.

1.函数与方程 (1)函数 f(x)有零点?方程 f(x)=0 有根?函数 f(x)的图象与 x 轴有交点. (2)函数 f(x)的零点存在性定理 如果函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使 f(c)=0. ①如果函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且函数 f(x)在区间[a,b]上是一 个单调函数, 那么当 f(a)· f(b)<0 时, 函数 f(x)在区间(a, b)内有唯一的零点, 即存在唯一的 c∈(a, b),使 f(c)=0. ②如果函数 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f(a)· f(b)>0,那么,函数 f(x) 在区间(a,b)内不一定没有零点. 2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此,必须全面掌握有关的函数知识,并且 严谨审题,弄清题目的已知条件,尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析,处理好各种 关系,把握问题的主线,运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决. 3.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题 建模 求解 反馈 ? ? ? ?文字语言? ?数学语言? ?数学应用? ?检验作答? 与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面 积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应 用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

真题感悟

1 ? ?x+1-3, x∈?-1,0], 1.(2014· 重庆)已知函数 f(x)=? 且 g(x)=f(x)-mx-m 在(-1,1] ? x , x ∈ ? 0 , 1] , ? 内有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( 9 ? ? 1? A.? ?-4,-2?∪?0,2? 11 1 - ,-2?∪?0, ? B.? ? 4 ? ? 2? 9 ? ? 2? C.? ?-4,-2?∪?0,3? 11 ? ? 2? D.? ?- 4 ,-2?∪?0,3? 答案 A 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示,其中 A(1,1),B(0,-2). )

1 因为直线 y=mx+m=m(x+1)恒过定点 C(-1,0),故当直线 y=m(x+1)在 AC 位置时,m= , 2 可知当直线 y=m(x+1)在 x 轴和 AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 y=m(x+1)可 1 与 AC 重合但不能与 x 轴重合),此时 0<m≤ ,g(x)有两个不同的零点.当直线 y=m(x+1) 2 1 ? ?y=x+1-3, 过点 B 时, m=-2; 当直线 y=m(x+1)与曲线 f(x)相切时, 联立? 得 mx2+(2m

? ?y=m?x+1?,

9 +3)x+m+2=0,由 Δ=(2m+3)2-4m(m+2)=0,解得 m=- ,可知当 y=m(x+1)在切线 4 和 BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 y=m(x+1)可与 BC 重合但不能与切线重 9 9 1 合),此时- <m≤-2,g(x)有两个不同的零点.综上,m 的取值范围为(- ,-2]∪(0, ], 4 4 2 故选 A. 2. (2014· 北京)加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”. 在 特定条件下,可食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at2+bt+c(a、b、c 是常 数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( )

A.3.50 分钟 B.3.75 分钟 C.4.00 分钟 D.4.25 分钟 答案 B 解析 根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程 0.7=9a+3b+c, ? ? 组得?0.8=16a+4b+c, ? ?0.5=25a+5b+c,

? ? ?7a+b=0.1, 消去 c 化简得? 解得?b=1.5, ?9a+b=-0.3, ? ?

?a=-0.2,
所以 p=-

?c=-2.0.

1 15 225 45 1 15 13 0.2t2+1.5t-2.0=- (t2- t+ )+ -2=- (t- )2+ , 5 2 16 16 5 4 16 15 所以当 t= =3.75 时,p 取得最大值, 4 即最佳加工时间为 3.75 分钟. 押题精练
? ?x+1,x≤0, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 y=f[f(x)+1]的零点有________个. ?log2x,x>0, ?

答案 4 解析 当 f(x)=0 时,x=-1 或 x=1,故 f[f(x)+1]=0 时,f(x)+1=-1 或 1.当 f(x)+1=-1, 1 即 f(x)=-2 时,解得 x=-3 或 x= ;当 f(x)+1=1,即 f(x)=0 时,解得 x=-1 或 x=1.故 4 函数 y=f[f(x)+1]有四个不同的零点. 2.函数 f(x)=xex-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 (- ,0) e 解析 令 f′(x)=(x+1)ex=0,得 x=-1, 则当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0, 当 x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0, f(x)在(-∞, -1)上单调递减, 在(-1, +∞)上单调递增, 要使 f(x)有两个零点, 则极小值 f(- 1 -1 1)<0,即-e -a<0,∴a>- ,又 x→-∞时,f(x)>0,则 a<0, e 1 ∴a∈(- ,0). e 3.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位: 万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转

________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 答案 5 8 y 25 y 解析 由题意知每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-(x+ ), 而 x>0, 故 ≤18-2 25= x x x 8,当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元.

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1 1.函数 f(x)=log2x- 的零点所在的区间为( x 1 1 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 C.(1,2) D.(2,3) 答案 C 解析 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 1 1 1 f( )=log2 - =-1-2=-3<0, 2 2 1 2 1 f(1)=log21- =0-1<0, 1 1 1 1 f(2)=log22- =1- = >0, 2 2 2 1 1 2 f(3)=log23- >1- = >0, 3 3 3 即 f(1)· f(2)<0, 1 ∴函数 f(x)=log2x- 的零点在区间(1,2)内. x 2 1 2.函数 f(x)= +ln ,下列区间中,可能存在零点的是( x x-1 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,2)与(2,3) 答案 B 2 1 2 解析 f(x)= +ln = -ln(x-1),函数 f(x)的定义域为(1,+∞),且为递减函数, x x-1 x 2 当 1<x<2 时,ln(x-1)<0, >0,所以 f(x)>0,故函数在(1,2)上没有零点; x 2-3ln 2 2-ln 8 2 2 f(2)= -ln 1=1>0,f(3)= -ln 2= = , 2 3 3 3 因为 8=2 2≈2.828,所以 8>e,故 ln e<ln 8, 1 2 1 即 1< ln 8,所以 2<ln 8,即 f(3)<0,f(4)= -ln 3= -ln 3<0.故 f(x)在(2,3)存在零点. 2 4 2 3.f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为( A.4 B.5 ) )

)

C.6 D.7 答案 B 解析 ∵2sin πx-x+1=0,∴2sin πx=x-1,图象如图所示,由图象看出 y=2sin πx 与 y=x -1 有 5 个交点, ∴f(x)=2sin πx-x+1 的零点个数为 5.

? ?x,x≤0, 4.设函数 f(x)=? 2 若方程 f(x)=m 有三个不同的实根,则实数 m 的取值范围为 ?x -x,x>0, ?

(

)

1 1 A.[- ,1] B.[- ,1] 2 2 1 1 C.(- ,0) D.(- ,0] 4 4 答案 C 解析 作出函数 y=f(x)的图象,如图所示.

1 1 1 1 当 x>0 时,f(x)=x2-x=(x- )2- ≥- ,所以要使函数 f(x)=m 有三个不同的零点,则- 2 4 4 4 1 <m<0,即 m 的取值范围为(- ,0). 4 5.(2013· 江西)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1, l 与半圆相交于 F、 G 两点, 与三角形 ABC 两边相交于 E、 D 两点. 设弧 FG 的长为 x(0<x<π), y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是( )

答案 D 解析 如图所示,连接 OF,OG,过点 O 作 OM⊥FG,过点 A 作 AH⊥BC,交 DE 于点 N.

因为弧 FG 的长度为 x,所以∠FOG=x, x 则 AN=OM=cos , 2 AN AE x 所以 = =cos , AH AB 2 2 3 x 则 AE= cos , 3 2 2 3 2 3 x ∴EB= - cos . 3 3 2 4 3 4 3 x 2 3 ∴y=EB+BC+CD= - cos + 3 3 2 3 4 3 x =- cos +2 3(0<x<π). 3 2 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足: 2 ? ?x +2,x∈[0,1?, 2x+5 f(x)=? 且 f(x+2)=f(x),g(x)= ,则方程 f(x)=g(x)在区间[-5,1] 2 x+2 ?2-x ,x∈[-1,0?, ? 上的所有实根之和为( A.-5 B.-6 C.-7 D.-8 答案 C 2x+5 2?x+2?+1 1 解析 由题意知 g(x)= = =2+ ,函数 f(x)的周期为 2,则函数 f(x),g(x) x+2 x+2 x+2 在区间[-5,1]上的图象如图所示: )

由图形可知函数 f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为 A,B,C, 易知点 B 的横坐标为-3,若设 C 的横坐标为 t(0<t<1),则点 A 的横坐标为-4-t,所以方程

f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为-3+(-4-t)+t=-7. 二、填空题
x ? ?2 -a,x≤0, 7.若函数 f(x)=? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是________. ?ln x,x>0 ?

答案 (0,1] 解析 当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1. 因为函数 f(x)有两个不同的零点, 则当 x≤0 时, 函数 f(x)=2x-a 有一个零点, 令 f(x)=0 得 a=2x, 因为 0<2x≤20=1,所以 0<a≤1, 所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1.

? e x ?1 , ? 1 8.(2014· 课标全国Ⅰ)设函数 f(x)= ? x3 ,
________. 答案 (-∞,8] 解析 当 x<1 时,x-1<0,ex 1<e0=1≤2,


x ?1, x≥1,
则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是

∴当 x<1 时满足 f(x)≤2.
1

当 x≥1 时, x 3 ≤2,x≤23=8,1≤x≤8. 综上可知 x∈(-∞,8]. 1 9.已知函数 f(x)= -m|x|有三个零点,则实数 m 的取值范围为________. x+2 答案 m>1 1 解析 函数 f(x)有三个零点等价于方程 =m|x|有且仅有三个实根. x+2 1 1 ∵ =m|x|? =|x|(x+2),作函数 y=|x|(x+2)的图象,如图所示,由图象可知 m 应满足: m x+2 1 0< <1, m 故 m>1.

10.我们把形如 y=

b (a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称 |x|-a

为“囧函数”,若当 a=1,b=1 时的“囧函数”与函数 y=lg|x|的交点个数为 n,则 n=

________. 答案 4

解析

?x-1?x≥0且x≠1?, 1 由题意知,当 a=1,b=1 时,y= = |x|-1 ? 1 - ? x+1?x<0且x≠-1?.

1

在同一坐标系中画出“囧函数”与函数 y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有 4 个交点.

三、解答题 11.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. ∴函数 f(x)的零点为 3 和-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根. ∴b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以 0<a<1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 12 .随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人 (140<2a<420,且 a 为偶数),每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下, 每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万 3 元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 ,为获得最大的经济效益, 4 该公司应裁员多少人? 解 设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则 b y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx=- [x2-2(a-70)x]+2ab. 100 3 依题意得 2a-x≥ · 2a, 4 a 所以 0<x≤ . 2 又 140<2a<420,即 70<a<210. a (1)当 0<a-70≤ ,即 70<a≤140 时,x=a-70,y 取到最大值; 2

a a (2)当 a-70> ,即 140<a<210 时,x= ,y 取到最大值. 2 2 故当 70<a<140 时,公司应裁员(a-70)人,经济效益取到最大, a 当 140<a<210 时,公司应裁员 人, 2 经济效益取到最大. 13. 是否存在这样的实数 a, 使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零点, 且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 解 令 f(x)=0,则 Δ=(3a-2)2-4(a-1) =9a2-16a+8 8 8 =9(a- )2+ >0, 9 9 即 f(x)=0 有两个不相等的实数根, ∴若实数 a 满足条件,则只需 f(-1)· f(3)≤0 即可. f(-1)· f(3)=(1-3a+2+a-1)· (9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, 1 ∴a≤- 或 a≥1. 5 检验:(1)当 f(-1)=0 时,a=1,所以 f(x)=x2+x. 令 f(x)=0,即 x2+x=0,得 x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠1. 1 13 6 (2)当 f(3)=0 时,a=- ,此时 f(x)=x2- x- . 5 5 5 13 6 令 f(x)=0,即 x2- x- =0, 5 5 2 解得 x=- 或 x=3. 5 1 方程在[-1,3]上有两个实数根,不合题意,故 a≠- . 5 1 综上所述,a<- 或 a>1. 5


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