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2015年-高考试卷及答案解析-数学-文科-新课标1(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标 1) 文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A ( A. 5 ) B. 4 C. 3 D. 2 )

B

中的元素个数为

2.已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( A. (?7, ?4) B. (7, 4) C. (?1, 4)

D. (1, 4)

3.已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) A. ?2 ? i B. ?2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i

4.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从

1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
A.

3 10

B.

1 5

C.

1 10

D.

1 20

5.已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8x 的焦点重 2
) D. 12

合, A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? ( A. 3 B. 6 C. 9

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何? ”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆 的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算 出堆放的米有( )

A. 14 斛

B. 22 斛

C. 36 斛

D. 66 斛 )

7.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( A.

17 2

B.

19 2

C. 10

D. 12

8.函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( A. ( k? ?



1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 , 2k? ? ), k ? Z 4 4

B. (2k? ?

C. (k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 , 2k ? ), k ? Z 4 4

D. (2k ?

9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 10.已知函数 f ( x ) ? ? ,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? ( ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
A. ?

)

7 4

B. ?

5 4

C. ?

3 4

D. ?

1 4

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示,若 该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) A. 1 C. 4 B. 2 D. 8

2

r

r
正视图

r

2

r
俯视图
x?a

12.设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2 则 a ?( A. ?1 ) B. 1

的图像关于直线 y ? ? x 对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,

C. 2

D. 4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ?
3

.

14. 已 知 函 数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的 图 像 在 点 1, f ?1? 的 处 的 切 线 过 点 ? 2, 7 ? , 则

?

?

a?

.

? x? y?2?0 ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16. 已知 F 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点, P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8


?

?

,当

?APF 周长最小时,该三角形的面积为

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ;

( II )若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为 面积.

6 ,求该三棱锥的侧 3

19.(本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的 宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2, 量的值.

,8? 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计

x

y

w

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1, , w =

1 8

?w
i ?1

n

i

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II) 根据(I)的判断结果及表中数 据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答 下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,…… , (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为:

?=

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

, ? =v ? ? u

2

20.(本小题满分 12 分) 已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N 两点.
2 2

(I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清 题号 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是

O 直径,AC 是

O 切线,BC 交

O 与点 E.

(I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是

O 切线;

(II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的 大小. 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程.

(II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积.

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 4

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(新课标 1 理)
1.答案:D 解析:由条件知,当 n=2 时,3n+2=8,当 n=4 时,3n+2=14,故 A∩B={8,14},故选 D. 2.答案:A 解析:

AB ? OB ? OA ? (3,1),? BC ? AC ? AB ? (?7, ?4) .

3.答案:C 解析:∴ ( z ? 1)i ? 1 ? i ,∴z=

1 ? 2i (1 ? 2i )(?i ) ? ? 2 ? i ,故选 C. i ?i 2

4.答案:C 解析:从 1,2,3,4,5 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数 只有 3,4,5,故 3 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种,故所求概率为

1 . 10

5.答案:B

解析:因为抛物线 C: y 2 ? 8x 的焦点坐标为(2,0),准线 l 的方程为 x ? ?2 ①,设椭

圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ),所以椭圆 E 的半焦距 c ? 2 ,又椭圆 E 的离 a 2 b2

心率为

x2 y 2 1 ? ? 1 ②,联系①②解得 ,所以 a ? 4 , b ? 2 3 ,椭圆 E 的方程为 2 16 12

,或 A(?2, ?3), B(?2,3) ,所以 AB ? 6 ,选 B A(? 2, 3), B? ( 2, ? 3)
6.答案:B

解析:设圆锥底面半径为 r,则

1 16 ? 2 ? 3r ? 8 = r ? ,所以米堆的体积为 4 3

1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9
7.答案:B 解析:∵公差 d ? 1 , S8 ? 4S4 ,∴ 8a1 ?

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 = ,∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?
8.答案:D

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

? ?1 ? + ? ? ? ? ? ?4 2 解析:由五点作图知, ? ,解得 ?=? , ? = ,所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ? 为( 2 k ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间 4 4

1 3 , 2 k ? ), k ? Z ,故选 D. 4 4

9.答案:C

解析:由程序框图知 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.01, 此时 n ? 7 . 2 4 8 16 32 64 128 128

10.答案:A

解析:∵ f (a) ? ?3 ,∴当 a ? 1 时, f (a) ? 2a?1 ? 2 ? ?3 ,则 2 成立, 当 a ? 1 时, ? log2 (a ? 1) ? ?3 ,解得 a ? 7 , ∴ f (6 ? a) ? f (?1) = 2
?1?1

a ?1

? ?1 ,此等式显然不

7 ? 2 ? ? ,故选 A. 4

11.答案:B 解析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半 径都为 r ,圆柱的高为 2r ,其表面积为 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 12.答案:C 解析: 设 ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点,它关于直线 y ? ? x 对称为( ? y , ? x ),由 已知知( ? y , ? x )在函数 y ? 2x?a 的图像上,∴ ? x ? 2? y ? a ,解得 y ? ? log2 (?x ) ? a , 即 f ( x) ? ? log2 (? x) ? a ,∴ f (?2) ? f (?4) ? ? log2 2 ? a ? log2 4 ? a ? 1 ,解得 a ? 2 , 故选 C. 13.答案:6 解析:∵ a1 ? 2, an?1 ? 2an ,∴数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 2

2(1 ? 2n ) ? 126 ,∴ 2n ? 64 ,∴n=6. ∴ Sn ? 1? 2
14.答案: 1
2 解析:∵ f ?( x) ? 3ax ? 1 ,∴ f ?(1) ? 3a ? 1 ,即切线斜率 k ? 3a ? 1 ,

又∵ f (1) ? a ? 2 ,∴切点为(1, a ? 2 ),∵切线过(2,7),∴ 得 a ? 1. 15.答案:4

a?2?7 ? 3a ? 1 ,解 1? 2

解析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 3x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,当直线

? x ? y ? 2=0 l :z=3x+y 过点 A 时,z 取 最大值,由 ? 解得 A(1,1),∴z=3x+y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 1=0
4.

16.答案: 12 6

解析:双曲线 C : x -

2

y2 = 1 的右焦点为 F (3, 0) ,实半轴长 a = 1 ,左焦点为 M (- 3,0), 因 8

APF 的周长为: 为 P 在 C 的左支上,所以 D

l = AP + PF + AF ? PF

AF + AM - PM = AF + AM + 2a = 32 , 当且仅当
x y + = 1, ,与 -3 6 6

A, P, M 三点共线且 P 在 A, M 中间时取等号,此时直线 AM 的方程为

APF 的面积为: 双曲线方程联立得 P 的坐标为 (- 2, 2 6) ,此时, D
1 1 创 6 6 6- 创 6 2 6 = 12 6. 2 2
17.答案:(I)

1 (II)1 4

2 解析 : 试题分析:( I )先由正弦定理将 sin B ? 2 sin A sinC 化为变得关系,结合条 件

a ? b ,用其中一边把另外两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值;(II)
2 由(I)知 b = 2ac ,根据勾股定理和即可求出 c,从而求出 ?ABC 的面积.

2 试题解析:(I)由题设及正弦定理可得 b = 2ac .

又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c ,

由余弦定理可得 cos B =

a 2 + c 2 - b2 1 = . 2ac 4

(II)由(1)知 b 2 = 2ac . 因为 B = 90°,由勾股定理得 a 2 + c 2 = b2 . 故 a 2 + c 2 = 2ac ,得 c = a = 2 . 所以 D ABC 的面积为 1. 18.答案:(I)见解析(II) 3+2 5 试题解析:(I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED

(II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 RtDAEC 中,可得 EG=

3 x. 2
2 x. 2 6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

由 BE ^ 平面 ABCD,知 D EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ?BE

1 1 3 2

从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 D EAC 的面积为 3, D EAD 的面积与 D ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 .

19.答案:(Ⅰ) y ? c ? d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型(Ⅱ)

y ? 100.6 ? 68 x (Ⅲ)46.24

解析:(I)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型。 (II)令 w ?
n

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? 68 1.6

? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? ? y ? dw c
? ? 100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y

? ? 100.6 ? 68 x 。 y
(III)(i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 y
年利润 z 的预报值

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 z
(ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

20.答案:(I) 琪

骣 4- 7 4+ 7 (II)2 琪 3 , 3 桫

解析:(I)设出直线 l 的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于 k 的不等式,即 可求出 k 的取值范围;(II)设 M( x1 , y1 ), N( x2 , y2 ) ,将直线 l 方程代入圆的方程化为关 于 x 的一元二次方程,利用韦达定理将 x1 x2 , y1 y2 用 k 表示出来,利用平面向量数量积的坐 标公式及 OM ? ON ? 12 列出关于 k 方程,解出 k,即可求出|MN|.

试题解析:(I)由题设,可知直线 l 的方程为 y = kx +1 .

因为 l 与 C 交于两点,所以

| 2k - 3 +1| 1+k 2

<1.

解得

43

7

<k <

4+ 7 . 3
骣 4- 7 4+ 7 . 琪 3 , 3 桫

所以 k 的取值范围是 琪

(II)设 M( x1, y1), N( x2, y 2) . 将 y = kx +1 代入方程 x - 2

(

) +( y - 3)

2

2

= 1 ,整理得 (1 + k 2 ) x2 -4(k +1) x + 7 = 0 ,

所以 x1 + x2 =

4(k +1) 7 , x1 x2 = . 2 1+k 1+k 2

OM ?ON

x1 x2 + y1 y 2 = 1 + k 2 x1 x2 + k ( x1 + x2 ) +1 =

(

)

4k (1 + k ) +8 , 1+k 2

由题设可得

4k (1 + k ) + 8=12 ,解得 k =1 ,所以 l 的方程为 y = x +1 . 1+k 2

故圆心在直线 l 上,所以 | MN |= 2 . 21. 答案:(I)当 a ? 0 时, f ? ( x) 没有零点;当 a > 0 时, f ? ( x) 存在唯一零点.(II)见 解析 解析:(I)先求出导函数,分 a ? 0 与 a > 0 考虑 f ? ? x ? 的单调性及性质,即可判断出零点 个数;( II)由(I)可设 f ? ( x) 在 0, +?

(

) 的唯一零点为 x ,根据 f ? ? x? 的正负,即可
0

判定函数的图像与性质,求出函数的最小值,即可证明其最小值不小于 2a +a ln 明了所证不等式. 试题解析:(I) f ( x ) 的定义域为 0, +?

2 ,即证 a

(

) , f ?( x)=2e

2x

-

a ( x > 0) . x

当 a ? 0 时, f ? ( x) > 0 , f ? ( x) 没有零点;

当 a > 0 时,因为 e 2 x 单调递增, -

a 单调递增,所以 f ? ( x) 在 ( 0, +? x

) 单调递增. 又

f? (a) > 0 ,当 b 满足 0 < b <
零点.

a 1 且 b < 时, f ? ( x) 存在唯一 (b) < 0 ,故当 a > 0 时, f ? 4 4

(II)由(I),可设 f ? ( x) 在 0, +?

(

) 的唯一零点为 x ,当 x ? ( 0,x ) 时, f ?( x) < 0 ;
0

0

当 x 违 x0, +

(

) 时, f ?( x) > 0 .

故 f ( x ) 在 0,x0 单调递减,在 x0, +? 小值,最 小值为 f ( x0 ) .
2 x0

(

)

(

) 单调递增,所以当 x = x 时, f ( x) 取得最
0

由 于 2e

-

a 2 2 a =0 , 所 以 f ( x0 )= + 2ax0 + a ln ? 2a a ln . 故 当 a > 0 时 , 2 x0 a a x0

2 f ( x ) ? 2a a ln . a
22. 答案:(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)60° 解析:(Ⅰ)由圆的切线性质及圆周角定理知,AE⊥BC,AC⊥AB,由直角三角形中线性质知 DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°,即∠OED=90°,所以 DE 是圆 O 的切 线 ; ( Ⅱ ) 设 CE=1, 由 OA ? 3CE 得 , AB= 2 3 , 设 AE=

x ,由勾股定理 得

BE ? 12 ? x2 ,由直角三角 形射影定理可得 AE 2 ? CE BE ,列出关于 x 的方程,解出

x ,即可求出∠ACB 的大小.
试题解析:(Ⅰ)连结 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB, 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,∴∠DEC=∠DCE, 连结 OE,∠OBE=∠OEB, ∵∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°, ∴∠OED=90°,∴DE 是圆 O 的切线. ……5 分
2

(Ⅱ)设 CE=1 ,AE= x ,由已知得 AB= 2 3 , BE ? 12 ? x ,
2 由射影定理可得, AE ? CE BE ,

∴ x2 ? 12 ? x2 ,解得 x = 3 ,∴∠ACB=60°.

……10 分

23.答案:(Ⅰ) ? cos ? ? ?2 , ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 (Ⅱ)

1 2

解析:(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得 C1 , C2 的极坐标方程;(Ⅱ)将 将? =

?
4

代入 ? ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求
2

出 C2 MN 的面积. 试题解析:(Ⅰ)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , ∴ C1 的 极 坐 标 方 程 为

? cos ? ? ?2 , C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 .……5 分
(Ⅱ)将 ? =

?
4

代入 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin? ? 4 ? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 ?1 =
2

2 2 , ?2 = 2 ,|MN|= ?1 - ?2 = 2 ,
因为 C2 的半径为 1,则 C2 MN 的面积

1 1 ? 2 ?1? sin 45o = . 2 2

24. 答案:(Ⅰ) {x |

2 ? x ? 2} (Ⅱ)(2,+∞) 3

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? 解析:(Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?

所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) , 3

2 C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积为 ( a ? 1) 2 . 3
由题设得

2 ( a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 . 3
……10 分

所以 a 的取值范围为(2,+∞).


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