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高中数学(人教版)选修2-3典型教学设计:二项式定理(之一)


2016 年高中数学课堂教学评比参评课教案

新课标人教 A 版选修 2—3

二 项 式 定 理
(第一课时)

尼一中:齐继鹏

1

课前调查:1.教学进度

2. (a ? b)2 展开式?

3. (a ? b)3 =?

有何规律? 3a 2 b 如何得到? ① a 降 b 升;②次数和 3; ③系数对称 4.不必预习,讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本,需 要时再打开! 课前准备:在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情,做好课前准 备? 教学过程与操作设计: 环 节







序 与 内 容

师 生 互 动
提示:仔细看,他的 头顶上有一只苹果! 他是著名的物理学 家、天文学家,他提 出了万有引力定律、 创立了经典力学理 论、阐述了光学原 理? 板书:二项式定理 (写在中间)

创 设 情 境 导 入 课 题

1、介绍牛顿,引出课题。 显示牛顿的图片。 师:这是谁?同学们认识吗? 师:没错,他就是牛顿。牛顿被誉为人类历史上最伟大的科学家 之一。他不仅是一位物理学家、天文学家,他还是一位伟大的数 学家。 他数学生涯中的第一个重大成果就是我们今天研究的课题 --二项式定理。切换 2、引导学生提出问题。 师:今天,就让我们沿着大数学家牛顿的足迹,重温了他探究、 发现二项式定理的过程。 牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢? 师:让我们一起回 1664 年冬,22 岁的牛顿在研读沃利斯博士的 《无穷算术》时,引发了许多思考? 师: (a ? b)2 ? ? 师: (a ? b)3 ? ? 师: (a ? b)4 ? ? 生:… 生:… 生:…

巡视 收三张卡片纸 若学生回答:研究这 三个式子的规律。 提问:研究规律的最 终目的是想得到什么 结论? (左上方) 板书: (a ? b)n ? ? 4 分钟

师:不知道?那就算一算,请将计算过程写在卡片纸上。 师:看这位同学的算法,他。 。 。 ,合并同类项后,将式子化为 最简形式,一共有这五项。再看另一位同学的算法,他。 。 。 , 他们的算法不同,但结果相同,都是对的。单击 师:我们将以上等式的右边叫做左边的展开式。 师:如果你是牛顿,接下来会思考一个什么问题呢? 师:不错,牛顿当年也是这么想的,请坐下。单击 师:牛顿思考的是,一般情形下,当 n ? N ? 时, (a ? b)n 等于 多少?这样一个问题。

2

体 验 感 知 探 索 发 现

1、确定研究方向。 师: 接下来我们来研究这个问题, 应该从哪里入手呢?生: … 师:你的想法很好,请坐下。 师:这位同学提出:从上面的特殊情形入手,研究、发现它 们的规律后,再推广到这种一般情况。 “从特殊到一般”是研 究问题的常用方法。他的提议挺不错! 师:那我们不妨从 (a ? b)4 入手。切换 师:(a ? b)4 就是四个 (a ? b) 相乘,刚才求得的展开式是这样:

(a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) ? a 4 ? 4a 3b ? 6a 2b2 ? 4ab3 ? b4

3

2、引导学生观察 (a ? b)2 、 (a ? b)3 的展开式,发现规律。 问题:请你观察 (a ? b)2 的展开式并思考: ①展开式中各种类型的项是如何得到的? ②展开式中各项的系数是如何确定的?

3、引导学生探索 (a ? b)4 的展开式的项和系数的规律。 问题:①展开式中会有哪几种类型的项? ②展开式中各项的系数是多少? 师:你分析得不错,请坐下。其实,根据多项式乘法法则, 体 验 感 知 探 索 发 现

单击

(a ? b)4 展开式的每一项都是从这四个括号中各任取一个字母
相乘得到的。他分析的结论是有五种不同类型的项,第一类: 四个括号都取 a 相乘得到 a 4 ;第二类: 。 。 。得到 a 3 b 是;… 师:他说的很好。再请一位同学说明第②点。单击 师:请你以第二项为例, (单击)具体分析 a 3 b 有哪几种情形 可以得到?它的系数 4 又是如何确定的?这位… 师:你回答得很好,请坐下。 生:... 点击触发器: a 3 b 点击触发器:问题①

师:这位同学分析, a 3 b 是这四个括号中一个括号取 b ,另三 个括号取 a 相乘得到的,共有四种取法,所以系数为 4。 师:我们一起来看一看这四种具体的情形: 第一种情况: b 取自于第一个括号。点击按钮 1;第二种… 师:由于这四种情况,相乘后都是 a 3 b ,属于同类项,将这四 个同类项合并后,a 3 b 的系数的确应该是 4。 他分析得很到位。 师:能不能用前面所学过的知识,说明这个系数 4 是怎么得 来的呢? 师:这位同学,请。 生:…

动画演示

竖双大拇指

4

师:只要从四个口号中取 1 个 b ,3 个 a 相乘都可以得到 a 3 b , 师:不妨先取 b ,从这四个口号中取 1 个 b ,有几种取法? 生:… 师: 从剩下 3 个括号中取 3 个 a 有几种取法?用组合数表示? 师:不错!请坐下。 师: 他用两个计数原理和组合的知识很好地解释了这个问题。 师:这位同学…,你能分析其它几项的系数吗? 师:分析的很好,请坐下。 师:综合两位同学的成果,我们轻松地得到了展开式各项的 系数。 师:作一点说明:由于 b 选定后, a 的取法也随之确定,因此
3 2 这里的 C3 、 C2 …,都可以省略。

(右下)
1 3 3 板书: C4 C3 a b

体 验 感 知 探 索 发 现

(右下) 板书:
0 4 4 C4 C4 a 3 1 C4 C1 ab3 2 2 2 2 C4 C2 a b 4 4 C4 b

师:我们可以将 (a ? b)4 的展开式写成。 。 。 , 师:这种形式的展开式,结果与前面的展开式相等吗? 师:刚才,同学们运用计数原理,分析了项的类型和项的系 数,发现某些规律,并直接写出了 (a ? b)4 的展开式,有没有 像刚才那样一项一项地乘开?。 。 。看来,这是一个重大发现! 这实际上是多项式乘法的一种推广。 板书:(a ? b)4 展开式 (右中)

5

4、类比猜想,对二项式定理形成初步认识。 师:下面,按照这种规律, 问题:你能将 (a ? b)3 的展开式直接写成类似的形式吗? 师:结果正确吗? (a ? b)2 和 (a ? b) 呢?单击 体 验 感 知 探 索 发 现 5、归纳猜想,进一步认识二项式定理。 师:这个规律,对于这四种情况都成立。请大家猜想(a+b)n=? 问题:你能猜想 (a ? b)n 的展开式吗? 师:你很了不起!牛顿当年的结论跟你的一摸一样!请坐下。 师:咱们班的学生都很聪明啊,只要肯努力,说不定,将来 你们中间会出一个牛顿一样的人物!这里的 n ? N ? 。 6、引导学生发现一般项。 (暂不称通项)切换
k n-k k 若学生的回答中含有 Cn a b 项,则,

学生说 教师单击: 逐项显示

板书:猜想: 板书:展开式

语言激励! 板书: n ? N ?

提问:展开式中的哪一项具有一般性?单击 否则提问:展开式中的每一项 a 、b 的指数各不相同,你能用 一个式子表示它们吗? 师:我们通常在展开式中写出这一项。 师:它是第几项? 生:第k+1项; 师:其中 k 可以取那些值? 生:k=0, 1, …, n;

k n-k k 板书:加入 Cn a b

6

体 验 感 知 探 索 发 现

7、证明二项式定理。 师:猜想的结论不一定正确,因此必须经过证明。怎样证明 这个结论呢? 师:其实,只要说清楚两点即可。①展开式中会有哪几种类型的 巡视 2 分钟 项?②展开式中各项的系数是多少? 先来说明第①点。(a+b)n是n个(a+b)相乘,由于展开式中每 一项都是从这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的,因此每一 项都是an-kbk的形式, 由于最少取0个 b , 最多取n个 b , 因此, k=0, 1, …, n; 单击 这就说清楚了,展开式中会有哪几种类型的项? 再来解释第②点。因为an-kbk是从这n个(a+b)中取k个b, n-k个 单击
k k a相乘得到的,而共有 Cn 种取法,也就是说,有 Cn 种情形,相乘 k 后可以得到an-kbk,合并同类项后,该项的系数就是 Cn ,这样就

单击 单击

得到了它的展开式。 师: 回顾这一证明, 它主要运用了计数原理对展开式中会有哪几 种类型的项进行了分类讨论,并对系数是多少进行了说明。 师:请同学们打开书本,翻到第 30 页,课本对该等式也进行 了证明,同样运用了计数原理,但思路略有不同,请同学们 课后再认真阅读。 板书:二项式定理 8、提出“二项式定理”的概念。 师:经过证明后的这个公式就叫做二项式定理。单击

7

1、初步应用,熟悉公式。 师:下面,请同学们做一个小练习。
0 1 2 2 k k n n (1 ? x )n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? Cn x

师:这个例子说明,定理中的 a、 b 仅仅是一种符号,它可以 是任意的数或式子什么的,只要是两项相加的 n 次幂,就能 运用二项式定理展开。 概 念 理 解 2、掌握特点,熟记公式。 师:其中公式的右边叫做(a+b)n 的二项展开式。 师:这个二项展开式的项数、次数、系数有什么规律? 生: 。 。 。 板书: 1.项数:共 n ? 1 项; 2.次数: n ;
k 3.系数:Cn k=0, …, n;

3、认识二项展开式的通项。
k n-k k 师:我们把一般项 Cn a b 叫做二项展开式的通项。

k n-k k 4、通项:Tk ?1 ? Cn a b

k=0, 1, …, n;

师:它是第几项?…所以用 Tk ?1 表示。 师:k 的取值? 生:从 0 到 n。

8

师:请同学们完成例 1,将解答过程写在卡片纸上。 例 1、 求(2 x ?
1 6 ) 的展开式 . x

板书:例 1 巡视 1 分钟 收三张卡片纸

师:我们来看这位同学的解答。 。 。 ,他很细心,注意到了定理
1 的左边是(a+b) ,他将 2 x 看做 a ,将 ? 看做 b ,再运用二 x
n

实 战 演 练 提 升 能 力

项式定理依次展开,解法不错!但他还没有算完,注意:像 例 1 这样求展开式,答案一定要化到最简形式,化简后的结 果应该是这样的……。单击 师:他的解法就是直接展开。 师:这里还有一种不同的解法。这位同学先通分化简,然后运用 二项式定理展开。显然,他的计算难度小了许多,这是个很聪明 的解法。 师:他的解法是先化简后展开。 {师:哪些同学是用这种方法的?请举手。… 嗯,请放下!} 师:同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。 师:继续看这道题,观察展开式的第三项,解题过程中出现
2 了两个系数。一个是刚才我们讲过的 C6 ,还有一个是 240.这

板书: 方法 1.直接展开

板书: 方法 2.先化简后展开

师:两个系数相等吗?240 是怎么算出来的?
2 师:为了区别这两个系数,我们将组合数 C6 称作第三项的二

实 战 演 练 提 升 能 力

项式系数,将 240 称作第三项的系数,显然二项式系数和系 数是两个不同的概念,二项式系数就是一个组合数,与 a 、 b 无关,而系数与 a 、 b 有关。 师:另外我们把将“ 240 x ”的称作第三项。 师:请同学们完成例 2,将解答过程写在卡片纸上。 例 2、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1. 师:我们来看这位同学的解答。 。 。 ,他将原式中的系数 1、4、 6、4、1 改写成组合数的形式,然后就变形化为[(x-1)+1]4,最 后等于 x4。 师:能看懂它的解法吗? 师:很显然,他将(x-1)当做一个整体,看作公式中的那个字母? a 还是 b ?… a !很好 师: b 呢?不错, b 看成是 1! 师:那么,变形后式子完全符合二项展开式的结构特征,这样倒 过来用二项式定理,一下就得到了答案。这位同学观察入微、思 路清晰,同时对全局的把握也很好,适合当领导啊! 师:这种方法就是逆用定理。 师:哇,其他同学都是这种解法!看来,你们都能当领导啊!

板书: 4、改“二项式系数” 与 a 、 b 无关 5、系数:与 a 、 b 有关 板书:例 2 巡视 1 分钟 收三张卡片纸

板书:逆用定理 翻看卡片

9

思 维 拓 展

感 悟 分 享

师:请同学们完成拓展练习: 1.求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数. 师:这位同学… 生: 师: ?15 ,很好,解释一下怎么算出来的? 生: 师:说得很清楚,请坐下。 师:这道题,不能直接套用公式。但这位同学很聪明,他运用计 数原理分析:x4 项有哪些情形可以得到?从而顺利的解出了此 题。 师:其实,他用的这种方法,就是我们在推导二项式定理时所使 用的方法!{我们在证明定理时,就是运用了计数原理对展开式 中会有哪几种类型的项进行了分类讨论, 并对系数是多少进行了 说明。} 师:此题是08年的浙江高考题。通过这个题,我们发现,有的时 侯,二项式定理所蕴含的数学思想方法比这个定理本身更有用! 所以, 同学们不能仅仅满足于会使用二项式定理, 还要掌握运用 计数原理分析问题的这种方法, 这种方法用的好的话, 许多难题, 都能迎刃而解! 2. 求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.(备用题) 师:同学们,今天我们沿着大数学家牛顿的足迹,重温了他 探究、发现二项式定理的过程。其实,牛顿并没有满足于这 个结论,后来牛顿将它推广到了更一般的情况,牛顿这种不 断求索的精神是值得我们学习的! 师:在这短暂的时光里,我们因探索而体验快乐;因发现而 感到兴奋;因收获而倍感充实! 师:今天我们收获了什么呢?请同学们谈一谈自己的收获和 体会。 师:有哪些数学思想方法值得总结? 生: 师:同学们说得都很好。我认为,知识背后所蕴含的思想方 法更值得大家去总结。 1、课后练习:课本 P37 No.1、2、3 2、探究作业: 上网搜索学习有资料。 (1)哪些成就?(2) 推广后的牛顿二项式定理? 二项式定理

板书:拓展练习 巡视 1 分钟 辅导:有哪些情形可以得 到这一项?

板书:
? x 4 ? 2 x 4 ? 3x 4 ? 4 x 4 ? 5 x 4

用计数原理分析: ①项 ②系数 辅导:同上

思想: ①特殊到一般再回到特 殊 ② “观察—类比—归纳 — 猜想—证明”的思维方 法,是人们发现事物规律 的重要方法。

自 主 学 习

师:与同学们相聚是一种 缘分,我特意准备了一份 礼物,送给大家当做纪 念。

板书设计: 二项式定理:
1 n ?1 (a ? b)n ? Cn0an ? Cn a b ? Cn2an?2b2 ? ?? Cnr an?rbr ? ?? Cnnbn (n ? N ? )

例1
CCa
1 4

0 4

4 4 4

方法 1.直接展开 方法 2.化简后展开 例2 逆用定理

CC ab

3 3 3

1、 2、

项数: n ? 1 ; 次数: n ;
( k ? 0,1, 2,..., n ) ,与 a 、 b 无关

CCab
3 1 C4 C1 ab3
4 4 C4 b

2 4

2 2 2 2

k 3、二项式系数: Cn

10

4、

k n-k k 通项: Tk ?1 ? Cn a b ( k ? 0,1, 2,..., n )

(a ? b)4 =…

拓展练习 1
? x 4 ? 2 x 4 ? 3x 4 ? 4 x 4 ? 5 x 4

11


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